2024年中考数学试题分类汇编：解直角三角形（含勾股定理）及其应用（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇

专题25解直角三角形（含勾股定理）及其应用

一、选择题

1.（2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

【答案】D

【解析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,根据图1,结合已知

条件得到/+〃=°2=24,（。―bp=/+〃—2仍=4,进而求出仍的值，再进一步求解即可.

【详解】如图，直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,

a2+Z?2=c2-24»

・・,小正方形的面积是4,

二.(a—6)=a?+—2aZ?=4,

/.ab=10,

1

・••图2中最大的正方形的面积=，?+4x—ab=24+2xl0=44；

2

故选：D.

4

2.（2024甘肃临夏）如图，在A43c中，AB=AC=5,sin^=y,则5C的长是（）

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理.正确作出辅助线是解题关键.过点

1Ar\4

/作/。工5C于点D由等腰三角形三线合一的性质得出5。=CD=—BC.根据sin8=£2=；,

2AB5

可求出ND=4,最后根据勾股定理可求出5。=3,即得出3c=28。=6.

【详解】如图，过点N作4015c于点D

AB=AC=5,

：.BD=CD=-BC.

2

AT)4

在RtZ\48Z)中，sin5=----二—,

AB5

44

AD=-AB=-x5=4,

55

,"BD=VAB2—AD2=V52—42=3'

BC=2BD=6.

故选B.

3.（2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2,ZABD=120°,

其中点A,B,C都在格点上，贝！ItanNBCO的值为（

D.3

【答案】B

【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC交格点于点连接NF，E,G分别在

格点上，根据菱形的性质，进而得出N4FC=90°,解直角三角形求得的长，根据对顶角相

等，进而根据正切的定义，即可求解.

【详解】如图所示，延长交格点于点尸，连接力尸，E,G分别在格点上,

依题意，ZEGF=120°,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

ZCEF=30。,NEC尸=60°

ZAFC=90°

又尸C=2,

巧

•••AF=2EF=4EGcos300=4x2x—=473

2

•••tan/BCD=tanNACF=——=*=26

FC2

故选：B.

4.（2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高

度为10米的小楼房N3,小李同学在小楼房楼底B处测得。处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测

得。处的仰角为30°.（48、CD在同一平面内，氏。在同一水平面上），则建筑物的高为（）

米

A.20B.15C.12D.10+573

【答案】B

【解析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A作于E,则四边形48DE为

CEI-

矩形，设CE=x,而/C4E=30。，可得=------=13x=BD,CD=x+10,结合

tan30°

CDx+10[T、

tan60------r=1-v3,再解方程即可.

BDV3x

【详解】如图，过A作力ELCD于£,

依题意，ABLBD,CD1BD

・•・四边形ABDE为矩形,

：.AB=DE=10,AE=BD,

设CE=x,而NG4£=30。,

CFi-

・・.AE=--------=y/3x=BD,

tan30°

CD=x+10,

CDx+10

tan60°=

~BDA/3X

解得：x=5,

经检验x=5是原方程的解，且符合题意；

CD=x+10=15（m）,

故选B

5.（2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪ER测得的仰角为45。，

小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪3测得的仰角为53。，则电子厂48的高度为（）

434

（参考数据：sin53°,cos53°,tan53°）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EEDG、

EFBM、CDBN是矩形，再设GM=xm,表示£W=(x+5)m,然后在

^AEM,tanAAEM=,以及Rt~4CN,tanNZCN=」，运用线段和差关系，即

EMCN

4

MN=AN-AM=yX-(x+5)=0.3,再求出x=15.9m,即可作答.

【详解】如图：延长交EM于一点G,

NMEF=NEFB=ZCDF=90°

...四边形EEDG是矩形

ZMEF=NEFB=NB=90°

四边形EE8M是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，^EF=MB=1.8m,CD=1.5m,AAEM=45°,ZACN=53°

CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=MN=0.3m

设GM=xm,则EM=(x+5)m

在tanAAEM=也，

EM

二EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在mAACN,tanZACN=——，

CN

4

：.CNtan53°=-x=AN

3

4

即AN=—xm

3

4

：.MN=AN-AM=-x-(x+5)=Q3

x=15.9m

/.=15.9+5=20.9(m)

/.AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22J（m）

故选：A

6.（2024安徽省）如图，在中，ZC=BC=2,点。在的延长线上，且CD=/8,

A.V10-A/2B.V6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作。ELC8

的延长线于点E,则48£。=90。，由4c8=90。，AC=BC=2,可得=2Ji，

=ZABC=45°,进而得到CO=2夜，NDBE=45。,即得为等腰直角三角形，得到

DE=BE,设DE=BE=x,由勾股定理得（2+x）?+/=（2也『，求出x即可求解，正确作出辅

助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作的延长线于点E,则/5£。=90。，

ZACB=90°,AC=BC=2,

,AB=N2?+2?=26，=ZABC=45°,

CD=2V2，NDBE=45°，

8BDE为等腰直角三角形，

DE=BE,

设DE=BE=x,则C£=2+x,

在RtACDE中，CE-+DE-=CD2.

.'.（2+X）2+X2=（2A/2）\

解得再=百-1,x2=—V5-1（舍去），

:•DE=BE=4i-l，

二8£»=J（百-if+（0-1丫=B-应,

故选：B.

5BD8

1.（2024深圳）如图，在AABC中，AB=BC,tan/B=—，D为BC上一'点，且满足---=—，

12CD5

过。作。交/C延长线于点E,则——=

AC--------

【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设48=8C=13x,根据

tanZS=—,AHLCB,得出AH=5x,BH=12x,再分别用勾股定理求出

12

AD=^41x,AC=^26x»故馍$/40。=迫=*叵，再运用解直角三角形得出

AD41

八“2074121V41加入CEMD

DM=---------x>AM=------x，代入二二=二二二，化间即可作答.

4141ACAM

【详解】解：如图，过点/作/7/LCS垂足为，

设45=BC=13x,

BD=8x>DC=5x，

VtanZS=—,AHLCB,

12

.AH5

••—,

BH12

•/A8=BC=13x,

AH'+BH2=AB2=169x2，

解得4f/=5x,BH=12x,

DH=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x,

AD=^AH2+DH2=V4Lx，AC=^AH2+CH2=叵x，

•••cos4DC=也4A/41

AD41

过点C作CM，垂足为M,

A

20A/4121A/41

DM=CD-cosZADC=——x，AM=AD-DM=——x，

4141

DEJ.AD,CMLAD,

：.MC〃DE,

20面

.CEDM_4］〔20

,,就一~AM—21V41-21'

---------X

41

…i20

故答案为：—.

21

2.（2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树N5的高度.如图，点C处与古

树底部”处在同一水平面上，且ZC=10米，无人机从C处竖直上升到达。处，测得古树顶部2的

俯角为45°,古树底部N的俯角为65°,则古树4B的高度约为米（结果精确到0.1米；参

考数据：sin65°®0.906,cos65°«0.423,tan65°~2.145）.

D\'X"

!W

\\

1\\、

i\'卢

I\

I\

I\

C'--------u

【答案】11.5

【解析】本题考查了解直角三角形的应用.过点。作由题意知：的/=/C=10米，

ZBDM=45°,ZADM=65°,推出AADM是等腰直角三角形，在中，利用正切函数

求出的值，根据AB=AM-BM计算求解可得AB的值.

【详解】如图，过点。作DM1AB，交AB的延长线于点M,

作------中

'''、、

1\XI

1V'p

I\

C-I--------\U

...四边形/CDM是矩形，

。河=/。=10米，

•1,ZBDM=45°,ZADM=65°,ZM=90°,

...ABDM是等腰直角三角形，

即/=。河=10米，

在RtZXZDM中，=-tanZ^Z）Af=10-tan650-10x2.145-21.45（米），

AAB=AM-BM=21A5-IQ=11A5~11.5（米）,

古树48的高度约为11.5米.

故答案为：H.5.

3.（2024江西省）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形45CD,连接/C,则

tanZCAB=.

【答案】:##0.5

【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1,设等腰

直角△MVQ的直角边为。，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边

长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图1,设等腰直角△MVQ的直角边为则〃0=缶，小正方形的边长为。，

MP=2Q,

二EM=J（2a『+（2a『=2缶，

MT=EM=242a，

QT=2>/2«-42a=41a，

如图2,过点。作。〃，48的延长线于点X,则S=AD,BH=CD,

由图（1）可得，AB=BD=2y[2a>CO=缶+0。=2也。，

CH=141a>BH=2垃a,

•■­AH=2缶+2缶=4缶，

.…门CH2缶1

••tan/CAB-——尸———,

AH4缶2

故答案为：

2%〃__7V

B

图2

4.（2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点尸

处，测得教学楼底端点/的俯角为37。，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点0处，测得

教学楼顶端点8的俯角为45。，则教学楼的高度约为m.（精确到1m,参考数据：

sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【答案】17

【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长N5交直线尸。于点X,先用三角函数解

求出？H，进而求出纱，再证纱=8笈，最后根据45=瓦7即可求解.

【详解】解：如图，延长48交直线夕。于点”,贝UZPHA=90°,

由题意知4f/=30m,

ATJ30

在Rt△尸H4中，tan/LPHA=-----,BPtan37°-----«0.75,

PHPH

解得7W=40m,

QH=PH-PQ=40-26.6^13

•••ZPHA=90°,4QHB=45°,

ZQBH=ZQHB=45°,

QH=BH=13Am,

AB=AH-BH=30-13A=16.6-n(m),

故答案为：17.

5.（2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部

点。的仰角为60。，测得底部点8的俯角为45。，点A与楼的水平距离2。=50m,则这栋楼的

高度为m（结果保留根号）.

c

【答案】（50+50V3）##（50A/3+50）

【解析】本题考查解直角三角形一仰角俯角问题.注意准确构造直角三角形是解答此题的关键.根据

题意得NA4O=45。，ACAD=60°,AD=50m,然后利用三角函数求解即可.

【详解】依题意，ZBAD=45°,ZCAD=60°,AD=50m.

在RtZ\A8Z）中，BD-AD-tan45°=50x1=50m,

在RtzX/CD中，CD=^r>-tan60°=50xV3=50V3m-

/.BC=BD+CD=（50+50V3）m.

故答案为：（50+5073）.

6.（2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合

实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端N的俯角为45°,底端8的俯角为63°,则测得黄鹤楼

的高度是m.（参考数据：tan630-2）

【答案】51

【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键.延长A4交距水平

地面102m的水平线于点。，根据tan63°a2,求出=它51m,即可求解.

【详解】延长以交距水平地面102m的水平线于点。，如图，

设AD=x，

•/ZDCA=45°

DC=AD=x

…BD1020

・・tan63—----------才2

DCx

DC=AD«51m

，AB^BD-AD=102-51-51m

故答案为：51.

7.（2024四川达州）如图，在中，NC=90°.点。在线段5C上，ZBAD=45°.若

AC=4,CD=1,则的面积是.

【答案】专

【解析】本题考查解直角三角形，勾股定理.过D作DE人AB于E,设DB=x,则C8=x+1,

利用sinD8=----=列出等式即可.

ABDB

【详解】解：过。作。E148于£,

/BAD=45。

:N是等腰直角三角形

、V2734

\DE-——AD------

22

设DB=x,则C8=x+1

\AB=J42+(x+Ip

.iACDE

•：sinD5=-----=-----

ABDB

V34

\,4A

J42+(x+1)2X

1717

解得了二一,(舍去)或x=一

53

17

经检验x=—是原分式方程的解，

3

\S△血=；髦8NC=；0(1@4y--

_,40

故答案为：—.

3

8.(2024四川眉山)如图，斜坡的坡度，=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树48,当

太阳光与水平面的夹角为60。时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树4B的高为米.

【答案】(4^/15-275)##(-275+4715)

【解析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形.

如图，过点£作水平地面的平行线，交48的延长线于点设=x米，EH=2x米,勾股定

理求出》=2若，解直角三角形求出/笈=1211/4£打・£5=屉〃=4诟，进而求解即可.

【详解】如图，过点E作水平地面的平行线，交N5的延长线于点X,

则NBEH=NDCF,

BHI

在RtAJ5EH中，tan/BEH-tanZBCF=i==—,

EH2

设BH=x米，EH―2x米，

BE=^EH2+BH2=氐=10，

x=2亚，

:.BH=2加米,EH=4也米,

QZAEH=60°,

:.AH=tan/AEH•EH=jEH=4岳（米），

AB=AH-BH=（4>/15-275）（米），

答：大树48的高度为卜巫-26）米.

故答案为：（4巫-26）.

三、解答题

1.（2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为碎框架式结构，

造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度48的实践活动.A为乾元塔的顶端,

AB，BC,息C,。在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=1.6米）测得A

点仰角为37。，向西平移14.5米至点。，测得A点仰角为45。，请根据测量数据，求乾元塔的高度

AB.（结果保留整数，参考数据：sin37°«0.60,cos37°»0.80,tan370®0.75）

图1图2

【答案】乾元塔的高度N3约为45米

【解析】本题考查解直角三角形的应用，设CE平移后得到0G,延长EG交Z3于点/，设厂G=x,

分别解RtA4FE,RtA4FG,表示出/尸的长，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设C£平移后得到。G,延长EG交N3于点E,则：C£=QG=5尸=1.6,E尸，,

£G=14.5,

设G77二x,贝U：£尸=14.5+工，

在RsaFE*中，=£F-tan37°«0.75(x+14.5),

在中，AF=FG-tm45°=x,

0.75(x+14.5)=x,

x-43.5t

：./尸=43.5,

AB=AF+BF=43.5+1.6-45；

答：乾元塔的高度Z5约为45米.

2.（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机

组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔

筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒2笈垂直于地面，测角仪CO,E尸在4F/两侧，

CD=£E=1.6m,点C与点£相距182m（点C,H,E在同一条直线上），在。处测得简尖顶点

/的仰角为45。，在尸处测得筒尖顶点/的仰角为53°.求风电塔筒/笈的高度.（参考数据：

434

sin53°a一,cos53°®—,tan53°®—.）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点。作。

于G,连接尸G,则四边形CDGH是矩形，可得G/f=CD=1.6m,DG=CH,再证明四边形

EFGH是矩形，则/G=HE,ZHGF=90°,进一步证明。、G、尸三点共线，得到DF=182m；

33

设/G=xm,解RR4DG得到Z>G=xm；解RtaAFG得到尸G土一xm；则x+—x=182,解

44

得x=104,即/G=104m,则Aff=ZG+G//=105.6m.

【详解】解：如图所示，过点。作。于G,连接FG,则四边形COGH是矩形,

GH=CD=1,6m,DG=CH,

■：CD=EF=1.6m,

：.GH=EF,

由题意可得G/f，CE,EFLCE,

GH//EF,

二四边形所G〃是矩形，

:.FG=HE,ZHGF=90°,

ZDGH+ZFGH=180°,

:.D、G、尸三点共线，

：.DF=DG+FG=CH+HE=CE=182m：

设/G=xm,

AQ

在.中，tanN4Z)G=-----

DG

Y

tan45°=-----

DG

DG=xm；

在RtZ\4FG中，tanZAFG=—

FG

Y

・•・tan53。二」一

FG

3

FGx—xm；

4

3

xH—x—182

49

解得x=104,

AG=104m,

/.AH=AG+GH=105.6m,

...风电塔筒4/7的高度约为105.6m.

3.（2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点

P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离8。=4m,仰角为&；淇淇向前走了3m后到达

点。，透过点P恰好看到月亮，仰角为尸，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面5。的距

离/8=CZ>=1.6m,点尸到8。的距离PQ=2.6m,/C的延长线交于点£(注：图中所

有点均在同一平面)

(2)求CP的长及sin/APC的值.

【答案】(1)45°,-(2)0m,2叵

434

【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是

解本题的关键；

(1)根据题意先求解CE=PE=lm,再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

(2)利用勾股定理先求解=如图，过。作4P于“，结合

「H1

tana=tanNPAE=——=—，设CH=xm,则/〃=4xm,再建立方程求解x,即可得到答案.

AH4

【小问1详解】

解：由题意可得：PQ-LAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4(m),AC=BD=3(m),

/.CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=l(m),ZCEP=90°,

/.CE=PE,

PE1

/3=Z.PCE=45°,tana=tanNPAE=----=—；

AE4

【小问2详解】

解：'：CE=PE=lm,ZCEP=90°,

CP=A/12+I2=0m，

如图，过。作4P于X,

AH4

/.x2+(4x)2=^C2=9,

17

CH=m,

17

3后

sinZAPC=^-=-^-3A/34.

CP4134

4.（2024河南省）如图1,塑像Z5在底座BC上，点。是人眼所在的位置.当点8高于人的水平

视线£>£时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当

经过4,5两点的圆与水平视线DE相切时（如图2）,在切点P处感觉看到的塑像最大，此时N4P5

为最大视角.

（1）请仅就图2的情形证明ZAPB>NADB.

（2）经测量，最大视角N4P5为30°,在点P处看塑像顶部点/的仰角/APE为60°,点尸到塑

像的水平距离小为61n.求塑像Z5的高（结果精确到0.1m.参考数据：小1.73）.

【答案】（1）见解析（2）塑像Z3的高约为6.9m

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的

关键是：

（1）连接卸/,根据圆周角定理得出AAMB=ZAPB，根据三角形外角的性质得出

ZAMB>ZADB，然后等量代换即可得证；

(2)在RtAZH0中，利用正切的定义求出幺〃，在中，利用正切的定义求出38,即可

求解.

【小问1详解】

则AAMB=NAPB.

ZAMB>ZADB，

/.NAPB>ZADB.

【小问2详解】

解：在RS/HP中，ZAPH=60°,PH=6.

4H

VtanZAPH=—,

PH

AH=PH-tan60°=6x垂）=6-\/3-

•/ZAPB=30°,

二NBPH=NAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

在0中，=%,

PH

：・BH=PH.330。=6乂皂=26.

3

AB=AH—BH=6A/3—25/3=4^3~4x1.73«6.9（m）.

答：塑像NB的高约为6.9m.

5.（2024江苏苏州）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆48工8C,活动

杆4D可绕点力旋转，CO为液压可伸缅支撑杆，已知48=10cm,BC=20cm,AD=50cm.

D

(1)如图②，当活动杆2。处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号)；

3

(2)如图③，当活动杆40绕点/由水平状态按逆时针方向旋转角度0,且tana=-为锐角),

4

求此时可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号).

【答案】（1）C£>=10VWcm（2）CD=20V5cm

【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：

(1)过点。作CE，，垂足为E,判断四边形ABCE为矩形，可求出C£,QE,然后在RUCED

中，根据勾股定理求出3即可；

(2)过点。作。尸1BC,交5c的延长线于点尸，交/。于点G.判断四边形/AFG为矩形，

3

得出N/G£>=90°.在RtA/G£>中，利用正切定义求出。G=—ZG.利用勾股定理求出

4

AD=-AG,由AD=50,可求出5尸=/G=40,FG=AB=10,CF=20,DF=4Q.在

4

RSCED中，根据勾股定理求出CO即可.

【小问1详解】

解：如图，过点C作垂足为£,

E

彳I□二

答图I

由题意可知，ZB=ZA=90°,

又・；CEL4D,

.•・四边形45CE为矩形.

•••^3=10,BC=2Q,

AE=2Q,CE=10.

•.­AD=50,

ED=30.

在RtACEZ）中，CD=JCE2+ED~=V102+302=1oVlO-

即可伸缩支撑杆CD的长度为loVlOcm；

【小问2详解】

解：过点。作。厂1BC,交的延长线于点尸，交ND'于点G.

由题意可知，四边形ZBEG为矩形,

ZAGD=90°.

DG3

在.Rt/i/GZ）中，tana----=一,

AG4

3

:.DG=-AG.

4

AD=^AG2+DG2^-AG,

4

AD=50,

NG=40,DG=3Q.

BF=AG=40,FG=AB=10,

CF=20,DF=40.

••・在RtACED中，CD=y/CF2+DF2=7202+402=2075-

即可伸缩支撑杆CD的长度为20右cm.

6.（2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一

是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表（尚不完整）

课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量

竹竿，米尺

工具

说明：ZC是一根笔直的竹竿.点。

测量

//*、水面是竹竿上一点.线段QE的长度是

示意

/«iV-点。到地面的距离.Na是要测量

图地干曲上,或工…、

的倾斜角.

测量

数据

......

(1)设N8=。，BC=b,AC=c,CE=d，DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,请根据

表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量

数据”一栏.

(2)根据(1)中选择的数据，写出求Na的一种三角函数值的推导过程.

(3)假设sina它0.86,cosa^O.52,tana它1.66,根据(2)中的推导结果，利用计算器求出

Na的度数，你选择的按键顺序为.

1|2ndH®n]0]•I8[6向

②|嬴|6|二]£]百匚|

112MHeM。I•[sill]

④。I•I5I2

51|2mlF]un[।]*[6]6]]

⑥|tnn]F|~]6|6I=j

【答案】(1)AB=a,AC=c,DE=e,CD=f.

(2)sina=与，推导见解析;

af

(3)①.

【解析】【分析】(1)根据题意选择需要的数据即可；

DECDef

(2)过点A作力于点M,可得ACDES^CAM,得至ij——二一,即得——得

AMCAAMc

ec

到AM=—,再根据正弦的定义即可求解；

(3)根据(2)的结果即可求解；

本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

【小问1详解】

解：需要的数据为：ABa,AC=c,DE=e,CD=f.

【小问2详解】

解：过点A作/于点则NZ〃B=90°,

•/DELCB,

DE//AM,

：.ACDES.CAM

.DECD

"AM~CA

即工=£

AMc

ec

：.AM=—

f

ec

.AMfec；

sina=----=-——

ABaf

地平面£

【小问3详解】

解：vsin^^—,

可

・•・按键顺序为［2ndF］、m］QI・IXI6］二］，

故答案为：①.

7.(2024天津市)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度(如图

①).某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，

DE=36m,ECLAB,垂足为C.在。处测得桥塔顶部3的仰角(NCDB)为45。，测得桥塔底

部A的俯角(NCDA)为6。，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(NCEB)为31°.

图①

(1)求线段3的长(结果取整数)；

(2)求桥塔45的高度(结果取整数).参考数据：tan31°«0.6,tan6°«0.1.

【答案】(1)54m(2)59m

【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键.

(1)设CQ=x,在上△BCD中，BC=CD-tanZCDB=x-tan45°=x.在中，

BC=CE-tanZCEB=(x+36)-tan31°,则x=(x+36)-tan31°.解方程即可；

(2)求出/C,根据45=/C+BC即可得到答案.

【小问1详解】

解：设CO=x,由。E=36,nCE=CD+DE=x+36.

•：ECLAB,垂足为C,

NBCE=ZACD=90°.

在中，tanZCDB=—,ZCDB=45°,

CD

BC=CD-tan/CDB=x•tan45°=x.

在RMBCE中,tanZCEB=—,NCEB=31。，

CE

BC=CEtanZCEB=(x+36)-tan31°.

/.x=(x+36)-tan31°.

/a36xtan31°36x0.6

得工=-----------=54.

1-tan31°1-0.6

答：线段CD的长约为54m.

【小问2详解】

AQ

在Rt^/CD中，tanZCDA=——，ZCDA=6°,

CD

AC=CD-tanZCDA«54xtan6°工54x0.1=5.4.

:.AB=AC+BC-5A+5A^59.

答：桥塔48的高度约为59m.

8.（2024重庆市B）如图，A,B,C,。分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，。在A的

正北方向，且在。的北偏西60。方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15。方向，AB=2

千米.（参考数据：72^1.41-6=1.73，V6-2.45）

（1）求5c的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点。出发去景点5,甲选择的路线为：。-C-5,乙选择的路线为：£>-/-8.请

计算说明谁选择的路线较近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲选择的路线较近

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：

（1）过点8作于E,先求出N/CS=45°,再解RtZ\4BE得到5£=豆千米，进一步

解RtAfiCE即可得到BC=———=&《2.5千米；

sinZBCE

（2）过点C作CEL/D于。，先解RtZXZBE得到2£=1千米，则ZC=ZE+CE=（1+百）千

米，再RtA^FC得至ICF=叱8千米，/尸=七目千米，最后解Rt^DCF得到DF=如目

226

千米，=千米，即可得到CD+8C=宏卫+布标4.03千米，ZD+48合5.15千米,

33

据此可得答案.

【小问1详解】

解：如图所示，过点8作于E,

NZ8C=90°—15°=75°,

ZACB=180°-ZCAB-NABC=45°，

在RtZkABE中，ZAEB=90°,A8=2千米,

•••BE=AB-cosZBAE=2-cos60°=千米，

在RtABCE1中，BC=--------------=-------=a；2.5千米,

sinXBCEsin45°

・•・8C的长度约为2.5千米；

【小问2详解】

解：如图所示，过点。作CT7,40于。，

在中，AE=AB-cosXBAE=2-cos60°=1千米，

AC=AE+CE=(1+V3)千米，

在Rtz\4FC中，。尸=2。©11/。/=(1+6)-5也30°=上13千米，

AF=AC-cosZCAF=(1+73)-cos30°=千米，

在RtA。。/中，ZDCF=30°,ZDFC=90°,

•••DF=CF-tanZDCF=5m-tan30°=3±41千米，

26

1+V3

CD二CF_F^_3+8千米,

cosZDCFcos3003

•••CD+BC=3+也+V6x4.03千米，

3

/Q+/3="+/5=2+^+6+?+Ga5.15千米,

62

V4.03<5.15,

，甲选择的路线较近.

9.（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡

秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地.

送行二步与人齐，五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进

10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设秋千的绳索拉的很

直）

图1图2

（1）如图1,请你根据词意计算秋千绳索。4的长度；

（2）如图2,将秋千从与竖直方向夹角为a的位置0/释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为£

的地方两次位置的高度差尸。=%.根据上述条件能否求出秋千绳索CM的长度？如果能，请

用含a、£和〃的式子表示；如果不能，请说明理由.

【答案】(1)秋千绳索的长度为14.5尺

h

(2)能，0A=——----------

cosp-cos(Z

【解析】

【分析