2024年中考数学压轴题专项训练：规律问题（含解析）

规律问题

1.某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病

毒，假如这种病毒在人体内聚集到肯定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感

到不适.(1米=ia纳米)

(1)从感染到第一个病毒起先，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？

(2)从感染到第一个病毒起先，经过多少分钟，人体会感到不适？

【答案】(1)从感染到第一个病毒起先，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；(2)从感染

到第一个病毒起先，经过10分钟，人体会感到不适.

【解析】解：(1)由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01X1X105=1000(纳米)

答：从感染到第一个病毒起先，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；

(2)1分米='米=1()8纳米

而1()8+(0.01X1)=1()1°

从感染到第一个病毒起先，经过10分钟，人体会感到不适

答：从感染到第一个病毒起先，经过10分钟，人体会感到不适.

2.你会求(。一1)(清18+。即+清16+?+a2+a+)的值吗？这个问题看上去很困难，我们可以先考虑

简洁的状况，通过计算，探究规律：

(a—l)(a+l)=/—1

(a-+a+l)=(73—1

(a-1)+a+1)=a，—1

(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得至！](a—1乂。2包9+4。18+“2017+…+/+a+])=；

(2)利用上面的结论求22019+22018+22。。+L+22+2+1的值.

⑶求52019+52018+52017+…+52+4的值

［答案】(1)“2020—1；(2)22020-1；(3)|(52020-9).

【解析】(1)由题可以得到(Q—1乂。"+।+陵~++/+〃+1)

=an+1-l

2019,„2018..„2,„,

(a-a+a++a+a+l)

=a2020-l

(2)由结论得：22°19+22°18+22°17++22+2+1

=(2-1).(22019+22018++2?+2+1)

=22020-1

2019201820172

(3)5+5+5++5+4

20192018201712

(5-1)(5+5+5+5+5+1-2

4

11

3•计算+•••+

99100

99

【答案】—

100

【解析】解：1一;++;+一+11

499WO

.111111

=]------1-------------------1-***-|---------------

223499100

_99

-100-

4.视察下列等式:

111

第1个等式：第2个等式：%

1x2122^3-2-3

第3个等式：第4个等式：«4=-^-=---

3x4344x545

解答下列问题:

(1)按以上规律写出第5个等式：％=

(2)求%+。2+。3+L+42020的值.

1111

(3)求---------1-------------1-++的值.

4x88x1212x162016x2020

11，、202063

【答案】(1)一-一；(2)-----(3)

5x65620211010

【解析】解：(1)第1个等式：al=-^-=---;

1x212

111

第2个等式：a

22^3~2-3

111

第3个等式：的

374-3-4

111

第4个等式:

"4=而丁二

111

第5个等式:

5x656

111

故答案为:

5x656

1_1]__11_]_11

(2)%+出+%++^2020~\-----------------------

1~22~33-420202021

=1_J_

2021

2020

2021

⑶—11

+H-----------------

4x88x1212x162016x2020

111

=­X+20162020

44-88~12

111

=­X

442020

1504

__x_____

-42020

63

1010

5.阅读材料：求1+2+2?+23+24+…+223的值.

解：设S=1+2+2?+23+24+…+22014+22°15,将等式的两边同乘以2,得

2S=2+22+23+24+...+22015+22016

将下式减去上式得，2S—S=22°16一1

即S=22°16—1.

BP1+2+22+23+24+,..+22015=22016-1

请你仿照此法计算：

（1）填空：1+2+2?+23=.

（2）求1+2+2?+23+24+…+2]°的值.

（3）求1+；+（；）2+（；）3+（；）4+…+（；）”的值.（其中〃为正整数）

311

【答案】（1）15；（2）2047；（3）

【解析】解：（1）由题意可得，

1+2+22+23=24-1=16-1=15,

故答案为：15；

（2）由题意可得，

1+2+22+23+24+-+210=2n-l=2048-1=2047；

（3）设S=l+g+（；）2+（；）3+（乎+...+（；）",

则;s=；+（|）2+（1）3+（1）4+...+（；）"+[严,

33

91

33

311

解得，

即1+；++《）3+（；）4+…+的值是m-*（J）”.

6.在日历上，我们可以发觉其中某些数满意肯定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四

边形框出五个数.

2020年1月:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

4

5679ic>11

12,747"n18

<59202T>22232425

2L7。C8293031

(1)将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：

(10-8)+(16-2)=16,(21-19)+(27-13)=16.不难发觉，结果都是16.若设中间位置的数为“，请

用含"的式子表示发觉的规律，并写出验证过程.

(2)用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56,求出这5个数中的最大数

的值.

(3)小明说：我用同样的四边形框也框出了5个数，其中最小数与最大数的积是120.请推断他的说法是

否正确，并说明理由.

【答案】(1)5+1)—(〃—D+5+7)—5—7)=16,见解析；(2)28；(3)正确，见解析

【解析】(1)设中间位置的数为“，左边数为〃—1,右边数"+1，上面数〃—7,下面数为72+7,

则5+1)—(〃-1)+("+7)—(〃-7)=16

(2)2(〃—7)+(〃+7)=56,〃=21,

.-.21+7=28.

(3)正确

5—7)5+7)=120,

—13(舍去)或者八=13,可以存在.

7.材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数.例如：正整数

22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数.

依据材料，完成下列问题：

(1)最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为

(2)若将随意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这

两个两位数的差肯定能被9整除吗？请说明理由.

(3)假如一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10,并且这个四位对称数能被7整除，恳求出满

意条件的四位对称数.

【答案】(1)200；(2)肯定可以，理由见解析；(3)3773

【解析】解：(1)最大的两位对称数是99,

最小的三位对称数是101,

99+101=200，

故答案是：200；

(2)设个位和千位上的数字是a,十位和百位上的数字是6,

则这两位数分别是10。+6、10b+a,

|1O«+Z?-(1OZ?+«)|-\9a-9b\,

它们的差是|9a-明，

这个数是9的倍数，所以这个数肯定可以被9整除；

(3)设这个四位数的个位数是x,则十位数是(10-%),

这个数可以表示为X+10(10—力+100(10—x)+1000%,化简得89lx+1100,

令x=1,则这个数是1991,

令J=2,则这个数是2882,

令％=3,则这个数是3773,

令x=9,则这个数是9119

其中只有3773能够被7整除,

•••满意条件的四位数是3773.

8.用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体.图中每个几何体自上而下分

别叫第一层、其次层，…，第"层（”为正整数）

4

从正面看从正面看从正面看

①②③

（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为

（2）分别求出第②、③个几何体的全部露出部分（不含底面）的面积.

（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂law?须要油漆Q2克，求喷涂

第20个几何体，共须要多少克油漆？

【答案】（1）30；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为64cm2,第③个几何体露出部分（不含

底面）面积为132cM2；（3）992克.

【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1,

搭建第②个几何体的小立方体的个数为1+4=1+22>

22

搭建第③个几何体的小立方体的个数为1+4+9=1+2+3.

归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为1+22+32+42=1+4+9+16=30,

故答案为：30；

(2)第②个几何体的三视图如下：

由题意，每个小正方形的面积为2x2=4(c"2),

则第②个几何体的全部露出部分(不含底面)面积为(3x2+3x2+4)x4=64(512)；

第③个几何体的三视图如下：

则第③个几何体的全部露出部分(不含底面)面积为(6x2+6x2+9)x4=1329")；

(3)第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为1,22,.,2()2,

则第20个几何体的全部露出部分(不含底面)面积为

[2x(l+2++20)+2x(l+2++20)+202]x4=4960(cm2),

因此，共须要油漆的克数为4960x0.2=992(克),

答：共须要992克油漆.

9.阅读下列解题过程：

]_1x(逐一_君一g_^5_^4

\[5+A/4(y/5+\/4)(^/5—A/4)(A/5)2—(A/4)2

1_lx(«-逐)_娓-逐_遥_6

布+逐一函+否)函-⑹Z府-诉2一，

请回答下列回题:

1

(1)视察上面的解答过程，请写出耐+回=

(2)请你用含〃(〃为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律;

(3)利用上面的解法，请化简：

11111

I+A/2应+后A/3+74……顾+回风+^/155

【答案】(1)10-3而；(2)

]=1x(阿-师=阿-屈

=V100-A/99

+4iQQ+j99G/i^+演)回)-G/iW-(廊下

=10-3而;

故答案为：10-3而.

1yjn+1-y[n.

(2)视察前面例子的过程和结果得:

+1+&

(3)反复运用

111]]

I+A/2&+GV3+A/4……颐+回V99+V100

=-\/2—A/T+s/3—sp2+-\/4—yj3++Jl00—《99

=-4+&-0+6-百+4-4+-799+^00

=-1+V100=-1+10=9.

10.先化简，再求值：(2+产一(2-)(2+)—5,其中=2019,=-1.

【答案】2024.

【解析】原式=42+4+2-(42—2)—5

=42+4+2—42+2—5,

=22一,

当=2019,=一1时，

2

原式=2x(-1)-2019x(-1)=2021

11.视察下列三行数，回答问题：

-1、+3、-5、+7、-9、+11>....

-3、+1、-7、+5、-11、+9、....

+3、-9、+15、-21、+27、-33、...

(1)第①行第9个数是

第②行第9个数是

第③行第9个数是

(2)在第②行中，是否存在连续的三个数，使其和为83?若存在，求这三个数；若不存在，说明理由.

(3)是否存在第m列数(每行取第m个数)，这三个数的和正好为-99?若存在，求m；若不存在，说明理

由.

【答案】(1)-17；-19；51.(2)存在，85,-91,89；(3)第加列数不存在，理由见解析.

【解析】(1)视察到第①行的规律是(-1)”(2〃-1),第②行的规律是将第①行的数-2,第③行的规律是

(-l)"+1(6n-3),

因此当n=9时，第①行的数为T7

•••第②行的数为-17-2=-19,第③行的数为—17x(—3)=51；

(2)设第②行存在连续的三个数和为83,且第一个数为X,

若x>0,即》在第②行中的偶数次列，满意第〃列的数为2〃-3(其中〃为正偶数)，

则x+(—x—6)+(X+4)=83,

得x=85,

即2〃—3=85,〃=44,符合题意，x在第②行第44列，

此时，连续的三个数依次为85,-91,89.

若x<0,即％在第②行中的奇数次列，满意第几列的数为-2〃-1(其中〃为正奇数)，

则x+(—x—2)+(x—4)=83,

得x=89,

即-2〃-1=89,n=-45,不符合题意，故舍去，

综上所述，存在这样连续的三个数使和为83,依次为85,-91,89.

(3)设存在第加列数使三个数的和为-99,且此列第①行的数为y，

则第加列第②行的数为y-2,第③行的数为-3y,

y+y-2+(-3y)=-99,

得y