广东省东莞市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年第一学期期末质量自查九年级数学试题说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回．一．选择题（共10题，每小题3分，共30分）1.方程的二次项系数和一次项系数分别为（）A.和 B.和3x C.2和 D.2和3答案：C解：方程的二次项系数和一次项系数分别为2和．故选：C2.“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案是中心对称图形是（）A. B. C. D.答案：A解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A．3.不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球C.三个球中有黑球 D.3个球中有白球答案：B袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，故选项A、C、D都可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意，故选：B.4.二次函数的图象可由的图象（）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到答案：D解：二次函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到．故选：D．5.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（)A.(2，-1) B.(3，-2) C. D.答案：B∵△OAB与OCD关于原点O位似，位似比为，设点C坐标为，点A坐标为，点A与点C是对应点，，，∴C点坐标为：（3，-2）故选：B．6.如图，在⊙O中，点C是上一点，若∠AOB＝126°，则∠C的度数为()A.127° B.117° C.63° D.54°答案：B解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝126°，∴∠D＝∠AOB＝63°，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，故选：B.7.为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．设平均每批受益学生人次增长率为x，根据题意可列方程为（）A B. C. D.答案：D解：设受益学生人次的平均增长率为x，根据题意，得．故选：D．8.某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（）动力臂L（m）动力F（N）0.56001.03021.52002.0a2.5120A.120N B.151N C.300N D.302N答案：B解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，设方程为：，从表中任取一个有序数对，不妨取代入，解得：，，把代入上式，解得：，故选：B．9.如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则四边形的周长为（）A.79 B.86 C.82 D.92答案：B解：连接BE，如图，由题意知，BE=BC=25，四边形ABCD是矩形，，AB=DC=24，AD=BC=25，在中，，，在中，，四边形的周长=AB+BC+AE+CE=24+25+7+30=86．故选B．10.抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C由图象可得，,∴,故①错误；∵，∴,故,故②正确;抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；∵当时，该函数取得最大值，此时，∴点在该抛物线上,则,即,故④正确．所以正确的有②③④共三个，故选:C．二．填空题（共5题，每小题3分，共15分）11.二次函数的顶点坐标是______________．答案：解：二次函数的顶点坐标．故答案为：12.已知是一元二次方程，则______________．答案：解：∵是一元二次方程，∴，解得．故答案为：．13.如图，在科学活动课上，同学们用圆心角为，半径为的扇形纸片，卷成一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径r等于______________．答案：4cm##4厘米解：圆心角为，半径为的扇形的弧长，圆锥的底面圆的周长为，设圆锥的底面半径为，则，解得：，圆锥的底面圆的半径为，故答案为：．14.在中，E，F分别是边，上的点且，，四边形的面积为，则的面积为______________．答案：解：如图，，，，，，，，四边形的面积为，，故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的中心P在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在y轴上，则该正六边形的边长为_____．答案：解：过点P作x轴垂线PG交x轴于点G，连接BP，PC，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，∴BP＝PC＝BC＝CD，∠CPG＝30°，∴PB＝PC＝PG，∵P在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴PG•PB＝PG•PG＝，∴PG＝，∴PB＝PG=，∴六边形的边长为，故答案为：．三．解答题（共4小题，，共21分）16.解方程：．答案：解：移项得：，因式分解得：，∴或，解得：．17.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；（2）画出将ABC绕点B按顺时针旋转90°所得的．答案：（1）见解析，（，）（2）见解析【小问1详解】解：如图，即为所求，点的坐标（，）；【小问2详解】解：如图，即为所求．18.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，．若，，求k的取值范围．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】证明：，此方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：根据根与系数的关系得，，，，解得，即的范围为．19.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．答案：（1）见解析；（2）3解:（1）证明：∵弧AC＝弧AC，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠AFB＝∠ABC，∴∠ADC＝∠AFB，∴CD∥BF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∵AB是圆的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示：∵AB⊥BF，CD＝2，∴PD＝PC＝CD＝，∵BP＝1，∴OP＝r﹣1在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+（）2解得：r＝3．即⊙O的半径为3．四．解答题（共4小题，分）20.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？答案：（1）24；（2）70元解：（1）20+2×2＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，依题意，得：（80-40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．当x＝20时，40﹣x＝20＜25，∴x＝20舍去．80-10=70（元）答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．21.如图，菱形的边长为a，，分别以A，C为圆心，a为半径画及．求及所围成的叶形的周长及面积．答案：周长：；面积：解：菱形中，，，叶形的周长；连接，过点作于点，，，，叶形的面积．22.为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：此次共调查了多少名学生?将条形图补充完整；计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数；小华和小红想报名参加兴趣课堂，现从音乐、书法、球类、绘画四种兴趣课堂中随机选择一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率．答案：（1）300；（2）见解析；（3）96°；（4）解：（1）此次共调查了120÷40%=300（名），

答此次共调查了300名．（2）音乐的人数为=补全条形图如下：（3）扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为:（4）设小音乐、绘画、球类、书法四种兴趣班分别为画树状图如图所示：共有个等可能的结果，小华和小红选中同一种乐器的结果有个，选中同一种乐器的概率为23.如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、．（1）求n的值及直线l的解析式；（2）求证：．答案：（1）（2）见解析【小问2详解】证明：∵在直线上，∴，解得：，∴，把代入，得，即；把代入，得，即；∴，，∵，，，由勾股定理得，，，∴，又∵，∴；五．解答题（共2小题，每小题12分，共24分）24.如图（1），已知等边，点D，E分别是边，上的点，且，连接，交于点P．（1）求证：；（2）如图（2）连接，若点P恰好落在以为直径的圆上，求的度数；（3）在条件（2）下，求的值．答案：（1）见解析（2）（3）2【小问1详解】证明：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，即，在与中，，∴；【小问2详解】解：∵点P恰好落在以为直径的圆上，∴，由（1）知：，∴，∴，∴；【小问3详解】解：∵，∴，∵，∴，∴C、D、P、E四点共圆，连接，则，，∴，∵，∴．25.如图，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点Q，连接，，，．（1）求抛物线函数解析式；