2024-2025学年江苏省南京市励志高级中学高一下学期第二次调研考试（3月）数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市励志高级中学高一下学期第二次调研考试（3月）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=(

)A.12 B.22 C.2.cos420°+sin330°等于A.1 B.0 C.12 D.3.已知α是锐角，那么2α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180∘的正角 D.4.已知向量BA⇀=(12,3A.30 ∘ B.45 ∘ C.5.已知a=4,2，则与a方向相反的单位向量的坐标为(

)A.2,1 B.−2,−1 C.2556.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：eix=cosx+isinx(x∈R,i为虚数单位)，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知(A.−1 B.1 C.−i D.i7.若角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点(m,n)，且nm=−2，则2sinA.−2 B.−1 C.−12 8.已知点M是▵ABC所在平面内的一点，且满足5AM=AB+2AC，则▵AMB与A.52 B.25 C.75二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(

)A.已知平面向量a=(1,1)，b=(−2,2)，则a+b与共线

B.已知平面向量，满足，在上的投影向量为12b，则a⋅b的值为2

C.已知复数z满足z=1，则z⋅z=1

D.已知复数z110.下列说法正确的是(

)A.若a⋅b=0，则a=0或b=0

B.x=π6是函数fx=2cos2x+π11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD⊥AB,CD=2,AD=4,AB=5,E,F分别在线段AD,AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则(

)

A.CE⋅CF的最小值为−4 B.CE⋅CF的最大值为18

C.CE⋅EF的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数3−5i，1−i和−2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为

．13.如图所示，在直角坐标系xOy中，角α的顶角是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈π6,π2.将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B.若点A的横坐标为13，则点14.如图，△ABC中，M为AB中点，AB=5，CM=3，EF为圆心为C，半径为1的圆的动直径，则BE⋅AF的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知π3是函数f(x)=2co(1)求a的值；(2)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间；16.(本小题15分若a=1，b=m，(1)若a+2b=3(2)若a+b与a−b的夹角为2π17.(本小题15分)某地拟在一个U形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一条堤坝(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l．(1)设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；(2)求l的最小值．

18.(本小题17分)如图，在平面四边形ABCD中，BC//AD，AB=BC=2，AD=4，∠BAD=120∘，E、F分别是AD，DC的中点，G为线段BC上一点，且BG=λBC.(1)若λ=13，以，为基底表示向量AF与EG；(2)若λ∈0,1，求AF⋅19.(本小题17分已知O为坐标原点，对于函数fx=asinx+bcosx，称向量OM=(1)设函数g(x)=sinx+5π(2)记向量ON=(1,3)的伴随函数为f(x)，当f(x)=8(3)设向量OP=2λ,−2λ，λ∈R的伴随函数为u(x)，OQ=1,1的伴随函数为v(x)，记函数ℎx=ux参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.D

6.A

7.B

8.B

9.BC

10.CD

11.BCD

12.5

13.1−214.−1315.解：(1)由π3是函数f(x)=2co得f(π3)=2co(2)由(1)得f(x)=2co==cos由π2+2kπ≤2x+π而x∈[0,π]，令k=0，得函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为[π

16.解：(1)因为a=1，b=m，所以a2+2a由a+2b=3所以1+4×3−m2因为m≥0，所以m=1(2)因为a=1，b所以(a由a+b=2，得a所以a−因为a+b与a−所以cos2π−12=因为m≥0，所以m=

17.解：(1)∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=a∴l=EM+MN=a2sin(2)令f(θ)=sinθ(1−sinθ)=−sin2θ+∴f(θ)≤1当且仅当θ=π6时，取得最大值14

18.(1)解：AF=====1所以AF=因为λ=13=−=−=a所以EG=(2)解：EG=−=−=a所以EG=又∠BAD=120∘，，b=4，所以所以AF===5因为0<λ<1，所以−6<5λ−1−1<−1，所以所以AF⋅EG的取值范围为

19.解：(1)g=−所以OM=

(2)依题意fx由fx=8因为，所以cosx+所以sin x=

(3)由题知u(x)=2λsinx−2λcos所以ℎ(x)