8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时 完全平方公式）【知识探究】七年级数学下册高效课堂（沪科版2024）

8.3完全平方公式与平方差公式主讲：沪科版（2024）七年级数学下册

第8章整式乘法与因式分解第1课时完全平方公式目录学习目标01情景导入02新知探究03课本例题0405课本练习06分层练习0807课本习题课堂小结学习目标1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）2.会运用公式进行运算；(难点)情景导入多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

(a

+b)(m

+n)=+bmam

+an+bn新知探究(a

+b)2=_______________(a

－

b)2=_______________

a2

+2ab+b2

a2

－2ab+b2完全平方公式

两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到.观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.abab(a

+b)2

a2

ab

ab

=++(a

+b)2=a2+2ab+（）

b2观察abab(a

－

b)2

a2

=－+(a

－

b)2=a2

－（）+b2

b2

2ab例题讲解例1利用乘法公式计算：（1）(2x

+y)2；（2）(3a

－2b)2.解

（1）(2x+y)2

=(2x)2+2·(2x)y+y2(a+b)2=a2+2ab+b2

=4x2+4xy+y2运用公式计算，要先识别

a，b

在具体式子中分别表示什么.利用乘法公式计算：（1）(2x

+y)2；（2）(3a

－2b)2.（2）(3a

－2b)2=(3a)2

－2·(3a)(2b)+(2b)2(a－

b)2=a2

－2ab+

b2

=9a2

－12ab+4b2例2利用乘法公式计算：(－m－2n)2.解(－m－2n)2

=

[－(m

+

2n)]2

=

(m

+

2n)2

=

m2

+4mn+

4n2

解(－m－2n)2

=

(－m)2－2·(－m)·2n+(2n)2

=

m2+4mn+4n2

看作一个整体，运用完全平方公式(a－b)2例题讲解课堂练习1.利用乘法公式计算：（1）(3x+1)2

；（2）(a－3b)2.解（1）(3x+1)2

（2）(a－3b)2

=

(3x)2+2·(3x)·1+12

=

9x2+6x+1=

a2

－2a·(3b)+(3b)2

=

a2

－6ab+9b2

（3）

；（4）(－2x

+3y)2.（3）（4）(－2x

+3y)2

=

(－2x)2+2·(－2x)·(3y)+(3y)2

=

4x2－12xy+9y2

2.如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长.设原正方形的边长为a

cm.33（单位：cm）小正方形的边长为(a－6)

cm.a2－(a－6)2

=842.如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长.a2－(a－6)2=84a2－(a2－12a

+36)=8412a=120a=1033（单位：cm）答：原正方形的边长为10

cm.分层练习基础题1.[2024·上海月考]

下列算式能用完全平方公式计算的是(

)B

2.下列计算正确的是(

)D

A

C

C

6.

下列算式能用完全平方公式计算的是(

)B

8.计算：

9.［知识初练］

如图是利用割补法求图形面积的示意图，则与之相对应的公式是_________________________.

11.运用完全平方公式计算：

利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差.

13.利用完全平方公式进行简便计算:

综合应用题

DA.正数

B.负数

C.非负数

D.4的倍数

DA.1个

B.2个

C.3个

D.5个

（1）请你检验这个等式的正确性.

18.

【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

3(3)根据(1)题中的等量关系，解决