2025高考二轮模拟冲刺 数学试卷（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

2025年高考第二次模拟考试

高三数学（新高考I卷）01•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={小2-苫-2<0j,B=-xlog1x<l>,贝!|Ac值*)=(),

、2,

A.卜』B.[-3

C.(-1,2)D.

【答案】A

【详解】因为A={x*-x-2<0^={x|-l<x<2},

B=|x|logjX<l>=x>g1,则”=[卜¥,

所以

故选：A.

2.已知（2—2i）z=i,贝1]；=（)

AILn1liC.-1-liD,-lli

A.—+—1B.——+

44444444

【答案】c

i(2+2i)—2+2i]।%

【详解】由题意知，Z=T\

2-21一(2-2i)(2+2i)—8_44八

所以三=二二

44

故选：c

3.已知向量a=(1,-1),6=(x+2,x?),则“x=—1"是"ab”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】由a=(l,-l),6=(x+2,Y),

若aLb，贝卜+2-工2=0,

解得尤=2或x=—1,

故“x=T”是“a16”的充分不必要条件，

故选：A.

4.某景区新开通了AB,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志

愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则不同

的体验方法共有()

A.12种B.18种

C.24种D.30种

【答案】C

【详解】若乙、丙、丁3人体验的项目各不相同，则有C；A；=12种体验方法，

若乙、丙、丁3人有2人体验的项目相同,则有C；C；A；=12种体验方法,

故不同的体验方法共有24种.

故选：C.

5.已知sin[a—贝ljcos〔2a+,)二

=()

A.--B.-C.-D.--

9999

【答案】D

【详解】因为sin[a-岛=专，所以cosa-1]]=1-2sin2-展)=1-

即cos(2a一看]二’,

所以cosher+葛)=cos^2cr-^+7i=-cos\叫5

2a——=——.

、6J9

故选：D.

6.已知S.为等差数列｛%｝的前〃项和，％=-21,S1=Sl5,则S”的最小值为()

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【详解】设｛%｝的公差为d,因为%=-21,S7=Si5,

%=—21

可得;7x615x14,解得d=2,所以％=2〃-23,

7%T-------u=15。]H----------d

、22

—r,口〃X(〃一1)

可得s”=-2\n+———“2=抬9一22n,

2

所以当〃=11时，S”取得最小值％=11'-22x11=-121.

故选：D.

22

7.已知点P为椭圆土+上_=1上任意一点，直线/过C":f+y2—4%+3=0的圆心且与，M交于A,8两

1612'

点，则P/LPB的取值范围是()

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【详解】M:x2+y-4%+3=0,即(了一2)2+9=1的圆心〃(2,0),半径为1,

22

椭圆方程C:土+匕=1中,a2=16,Z?2=12,c2=a2-b2=16-12=4,c=2,

1612

则圆心M(2,0)为椭圆的右焦点，线段AB为一M的直径，连接尸

因止匕PAPB=｛PM+MA)-｛PM+MB)=(PM-MB)•(PM+MB)

=MM2TMs『=|刑2f点。为椭圆。：I+*i上任意一点，

贝=a-c=2,\PM\=a+c=6,gp2<|PM|<6,

IminIImaxII

所以P4PB=pM『-le[3,35].

故选：A

8.设函数〃x)=e'(2x—1)-四+a,其中,若存在唯一的整数%,使得/(/)<0,则〃的取值范围是

()

A」-；，nB.m

i2eJL2e4；

【答案】D

【详解】设g(x)=e*(2x-l),y=a(x-l),

由题意知，函数y=g(x)在直线、=取-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

g'(x)=ev(2x+l),当时，g，(%)<0；当•时，gf(x)>0.

_1_

所以，函数y=g(x)的最小值为g—2-

又g⑼=T，g(l)=e>0.

直线y=av-a恒过定点(1,0)且斜率为a,

^-«>g(O)=-l>g(-l)=-1>-a-a,解得力a<l,故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知。力20,且a+2b=l,则下列不等式中成立的有()

A.ab<—B.y[a+^Jb>

82

(

ln(ab+a+b+l]+.b-

C.—----------------^>log23-lD.y<^

In2

【答案】ABC

【详解】对于A,因为。力之0,所以〃之0,28之0,仍=：ax2力(三")2=：,当且仅当〃=2b=：时取

22282

等号，A正确；

对于B,因为a,6N0,a+2b=l:.(&『+(回『=],

令=cos0,>/^=sin6,a,b>0,:.0e0,—,Ja+db=cos^+-^sin^,

L2」2

令/(。)=cos0+^-sin(9,.'.f'(0)=-sin(9+^-cos(9,

令广⑻=0,...tanq=*,qe0,"令，

当e«o抠)时,广⑻>0"⑻在e«o,q)上单调递增;

当公。,])时,广⑻<0,〃，)在可知:上单调递减；

又〃。)=1,后卜日，

/(。)的6=]时，f(x)取最小值日，所以B正确；

对于(2

C‘I"""；；""=iog24zZ7+a+b+l)=log2[(1-2b)Z?+1-2Z?+Z?+1]=log2(-2Z7+2)log23-1=log2,

i「1133

因为。=1-2。20,r.04。《；,所以、=-2/+2在此0,-上最小值为不，log2(-2》2+2)2k»g23,C正确；

L一乙_LL

\\1f-

对于D,3a+b=3'-b,-0<b<-,-<l-b<l,:.3'-b>32=73,D错误；

22

故选：ABC.

10.设函数=(x-a)2(x-2)(aeR),贝!J()

A.当a=—l时，的图象关于点(0,-2)对称

B.当a=。时，方程〃x)+sinl=0有3个实根

C.当aN2时，。是“X)的极大值点

D.存在实数。，"x)<"x+l)恒成立

【答案】ABD

【详解】对于A选项，当4=一1时，/(X)=(X+1)2(X-2)=X3-3x-2,

因为/(-%)=(-—3.(—%)—2=-/+3x-2,所以，f(x)+f(—^)=—4,

所以"％)的图象关于点(o,-2)对称，故A正确；

对于B选项，当〃=。时，/(X)=X3-2X2,贝!Jf(元)=3%2-4%,

令/'(尤)=0,可得尤=0或x=g,列表如下：

4

X(-℃,0)0

心3

r(x)+0—0+

〃尤)增极大值减极小值增

所以，函数/(x)在(y,0)上单调递增，上单调递减，[g,上单调递增，

所以〃x)极大=〃°)=°，/(x)极小=/g]=-1|，又因为0<sinl<l,如下图所示:

由图可知，直线V=-sinl与函数“X)的图象由三个交点，

即。=0时，方程/(x)+sinl=0有3个实根，故B正确；

2(〃+4

对于C选项，=-+%-----

当〃=2时，/(X)=3(X-2)2>0,此时函数了⑴在R上单调递增，故C错误;

对于D选项，当a=2时，函数在R上单调递增，此时〃x）</（x+l）恒成立，故D正确.

故选：ABD.

IL“oo”可以看作数学上的无穷符号,也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点0,

C上的点到两定点耳乙（。,0乂“>0）的距离之积为定值.则下列说法正确的是（）（参考数据：

加x2.236）

A.若山闾=12,则C的方程为优+力2=72（/一力

B.若C上的点到两定点8、F2的距离之积为16,则点（T,0）在C上

C.若a=3,点（3,%）在C上，则2<$<3

D.当。=3时，C上第一象限内的点尸满足,尸耳工的面积为则|尸团2--工「=184

【答案】ACD

【详解】已知原点。在C上，则|0周・|0闾=。2,设（x,y）为C上任意一点，

则有/=，（…）2+『."4+产,整理得1+y2丫=2a2（x2-y2）.

若用阊=12,则C的方程为任+力2=72卜2-力，故A正确；

若闾=16,贝股=4,代入方程得（丁+力2=32y一力，显然点㈠⑼不在此曲线上，故B错误;

若a=3,点（3,%）在C上，有J（3-3）2+尤.“3+3）2+y：=9,

整理得（常+18丫=405,所以尤=94一18处2.124,故C正确；

因为S小弓=；|尸片俨剧sin/fJP入=：,「制尸阊=9,可得/片尸凶=90,

所以点尸是曲线C:（x2+y2）2=18（x2-y2）和以片招为直径的圆x2+y2=9在第一象限内的交点，

联立方程，解得x=半，v=|,即尸（述」），所以|尸耳「-^^「=18』，故D正确.

2222

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程（无2+>2）2=2〃（无2一丁）为关键.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.已知直线/与直线％->+2=。平行，且与曲线>=lnx--+1相切，则直线/的方程是.

【答案】y=%+ln2-2（或x-y+ln2-2=0）

【详解】直线％->+2=0的斜率为1,由于直线/与直线％->+2=0平行，则直线/的斜率为1,

21212

对函数y=ln%--+1求导得）/=—+一■,令y=—+_=i,解得％=2或%=_1（舍去），

XXXXX

所以切点的坐标为（2』n2）.

故直线/的方程为y-ln2=x-2,即y=x+ln2-2.

故答案为：J=x+ln2-2（或尤-y+ln2-2=0）.

13.在三棱台ABC-ABC中，AB_LAC,3C=6，A4=AG=40,A4,=572,平面，平面ABC,

则该三棱台外接球的体积为.

分别取BC/C的中点O,Q,则。平面ABC,且外接球球心M在直线上，由题意,

2

AO=3,AlO[=4,OOi=^AA;-（AiOI-AO）=7.

设跖4==x,

若球心在线段0a上，则/=9+（7-无y,r=4?+/,得x=3,r=5；

若球心不在线段。。1上，则户=9+（7+4,/=4?+尤2,无正数解.

所以外接球体积为V=竺4刀"。〃3=S0077.

33

50071

故答案为:

3

14.小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有

标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪

同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为X,然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取X张

牌，记这X张纸牌的点数和为「则。"）=,E（V）=.

14

【答案】y7

【详解】X的分布列为：

X2的分布列为:

X21491625

]_4]_21

P

31551515

21A

同理：E(X)=7,故：D(X)=E(X2)-[E(X)]­=—,

当X=1时，匕的分布列为:

12345

]_111J_

P

55555

所以石（工）=3,

当X=5时，工的分布列为:

所以£区）=15,

当X=2时：右的分布列为:

A3456789

11J_j_111

P

W10555io10

E(Y2)=6,

当X=3时：打的分布列为:

6789101112

1111111

p

10105551010

E(Y3)=9,

当X=4时：匕的分布列为:

匕1011121314

工111]_

p

55555

E化)=12,

14121

所以：£(y)=--3+——6+-9+——12+——15=7.

V731551515

14

故答案为：—;7

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.如图(1),在直角梯形中，AD//BC,ABLBC,AB=BC=1,AD=2,现沿着AC折起，使得平

面BAC_L平面ZMC,如图(2).

图(1)图(2)

(1)求证：CD_L平面54c.

⑵求二面角A—C的大小.

【答案】(1)证明见解析

呜

【详解】(1)由题可求得AC=CO=及，且AD=2,

贝ljAC2+C£>2=AT>2,可知AC_LCD,

且平面R4CJL平面DAC,平面BACc平面ZMC=AC,C£>u平面DAC,

所以CD_L平面3AC.

(2)取AC的中点。，连接80,

因为AB=3C,贝lj8O_LAC,

且平面区4C_L平面DAC,平面B4Cc平面ZMC=AC,BOu平面8AC,

所以801平面ACD.

以。为坐标原点，OCOB所在的直线分别为x，z轴，平行于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系,

m-CD=及弘=0

设平面3DC的一个法向量为应=(百,％,zj,贝卜__V2V2_

mBC=——x------z.=。

2121

令石=1,则M=。，4=1,可得加=(1,0,1)；

n•AB=%+z=0

2222

设平面瓦M的一个法向量为H=(x2ly2,z2),贝卜

n•AD=A/2X2+Oy?=0

令％2=1,则%=Z2=—1,可得〃=(1,—1,—1),

m-n0

贝—尸

Ucosm,n=।-j-j—r=—r==09

IT

所以二面角A-BD-C的大小为彳.

2

16.已知数列｛%｝是等差数歹U，其前〃和为％的=2,Sg=45,数列也｝满足她+她+。也=5-1b2"+1

(1)求数列｛%｝，｛〃｝的通项公式;

(2)若对数列｛。“｝,｛2｝,在4与七十1之间插入4个l(%eN*),组成一个新数列｛4｝,求数列口｝的前2025

项的和心)25.

【答案】(1)4=〃，"=2"T；

(2)2080

【详解】(1)｛。0｝为等差数列，设其公差为d,

则％+d=2,S9=9al+36d=45,解得ai=d=l,

故=4+(〃T)d=〃；

aibi+a2b2++a/“①,

故当〃22时，afy+a2b2+=(〃-2)-2"'+1②，

两式相减得a“d=(〃—1)2"+1-(〃—2)•2'T—1=〃•2"T,

故的=〃-2"。所以a=2片，n>2,

又4伪=0+1=1,故4=1,满足a=2"L

从而2=2"，

(2)由(1)知，a„=n,bn=2"T,

所以在｛4｝中，从4开始到项氏为止，

1_T

k2

共有项数为％+2°+2〔+2?+.+l-=k+------=左+21—1,

1-2

当上=11时，11+21°—1=1034<2025,

当上=12时，12+211-1=2059>2025,

所以数列｛4｝前2025项是项知之后，还有2025-1034=991项为1,

故(025=。+2+3++11)+2°+2'+22++29+991=2080.

17.甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进

的次数相同，则甲、乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，

若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.已知甲每次投进的概率为9,乙每次投进的概率为;,

各次投进与否相互独立.

（1）求甲、乙需要进行第3次投篮的概率；

（2）若每次投篮投进得1分，否则得。分，求甲得分X的分布列与数学期望.

【答案】⑴123

36

QC

（2）分布列答案见解析，数学期望：三

54

【详解】⑴设甲第V=L2）次投进为事件A”乙第币=1,2）次投进为事件与，

71

则尸（a）=§,P（B,）=-.

设甲、乙需要进行第3次投篮为事件C,则事件C包括以下两两互斥的三个事件：

①“甲、乙前2次都投进2次”，其概率为尸（A4）•尸（用旦）=[|]xQj=、

②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为P（A4+44）・尸（旦瓦+瓦B2）=2xgxgx2><m，

③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为尸伍（瓦瓦x（l-£|=f.

ioi13

则由互斥事件的概率加法公式，可得尸（c）=§+§+*=..

（2）由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

211217

尸(X=l)=C；X1X§xH---x

36354

（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进。次或2次;

②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）

2214

+_V_—__

93-27

尸”=3）=酒后

所以X的分布列为:

X0123

517142

P

54542727

所以E(X)=Ox9+lx卫■+2xV+3*2=9.

''5454272754

22

18.已知椭圆£:，+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为乙，F2,抛物线C:：/=4X的焦点与工重合，点

G是C与E在第一象限的交点，且|Gg|=(

(1)求E的方程.

⑵设过点歹2的直线/与E交于点M,N,交C于点A,B,且A,B,M,N互不重合.

(i)若/的倾斜角为45。，求\上MN高\的值；

I叫

(ii)若尸为C的准线上一点，设B4,PB,PR的斜率分别为勺/2，%，证明：质为a和%的等差中项.

22

【答案】⑴'+匕=1

43

3

(2)(i)|；(ii)证明见解析

【详解】(1)由已知得C的焦点为(1,0),即入(1,0),所以公一户=1.①

因为|GEI《，由抛物线的定义可得%=>i=g,所以G1|，A]

代入E的方程可得小4+苏8=1•②

22

由①②解得储=4,廿=3,所以E的方程为土+匕=1.

43

(2)设4国,%),8(尤2，%)，M(%，%)，N(XQ4).

(i)因为直线1的倾斜角为45。，所以号=1,直线1的方程为y=x-L

联立，〃整理得r-6x+l=0,贝1]占+无2=6,

[y=4x,

所以|43|=占+%+0=6+2=8.

y=xT

联立1尤22整理得7/_8X-8=0,

1一4+—3=1,

E88

贝11%3+%=,,X3X4=--

8824

所以|肱V|=+k；|x-x|=A/2-yl(x+x)2-4XX=A/2•

343434T

24

所以g.五=3.

\AB\87

(ii)由题意知耳(-LO),B(l，°)，

设尸(-1,加)，且直线AB的方程为X=)+1.

[x=ty+l,c

联立Jy2=1x整理得4/y—4=0,显然A>0,

贝!J%+必=今,%.%=一4,

皿+上=（必-㈤号+l）+0-M）（%+D.

%+1x2+1(石+1)(%+1)

=(y一㈤(优+2)+(%一7)(。1+2)=2以%+Q一7力(必+%)―4加

((Yi+2)(%+2)+2/(%+%)+4

-St+(2-mt)-4/-4m-4m(t2+1)

=-------------------=----------=—m

-4产+8/+44(产+1)

又2k3=-m,即2k3=%+匕，

所以网为占和程的等差中项.

19.若对V占，尤2eD且司＜々，函数/（X）,g（x）满足：|/。）-/（工2）性7电（西）一（工2）|（机＞。），则称函数

“X）是函数g（x）在区间。上的“级控制函数.

⑴判断函数"X）=2x是否是函数g（x）=Y在区