2025年九年级中考数学专项练习：二次函数压轴题之矩形存在性问题（含答案）

专题08矩形存在性问题

(2024•济宁二模)

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=依2+笈+4°<0)与彳轴交于人(-2,0),3(4,0)两

(1)试求抛物线的解析式；

⑵直线,=履+1(%>0)与y轴交于点。，与抛物线在第一象限交于点P,与直线BC交于点

s

M,记小=产"，试求机的最大值及此时点P的坐标；

,△CDM

⑶在(2)的条件下，机取最大值时，是否存在x轴上的点。及坐标平面内的点N,使得尸，

D,Q,N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的。点和N点的坐

标；若不存在，请说明理由.

2.如图，已知二次函数y=-Y+4〃吠-4〃/+加+1的顶点为3,点A、C的坐标分别是

A(O,-2),C(8,2),以AC为对角线作口ABC。.

(1)点8在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；

(2)若点。也在二次函数y=-/+4〃吠-47〃2+,〃+1的图象上，求m的值;

(3)是否存在矩形ABCD,使顶点3、。都在二次函数＞=@-2%)2+根+1的图象上？若存

在，请求出4的值；若不存在，请说明理由.

m

(2023•东源县三模)

(1)求抛物线的解析式.

⑵点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作尸于点交x轴于点N,过点P

作尸。〃y轴交BC于点。，求尸Q+半PN的最大值及此时P点坐标.

(3)将抛物线＞=亦2+乐+4沿射线8平移2逐个单位，平移后得到新抛物线y'.D是新抛

物线对称轴上一动点，在平面内确定一点E,使得以2、C、D、E四点为顶点的四边形是矩

形.直接写出点E的坐标.

(2023•罗定市三模)

4.如图1,抛物线＞=¥^+法+0过矶3,0),C(0,-36)两点，动点M从点B出发，以

图1图2

⑴求抛物线y=~~x2+bx+c的表达式；

⑵如图1,过点M作DELx轴于点D,交抛物线于点E,当f=l时，求四边形03EC的面

积；

（3汝口图2,动点N同时从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿08方向运动，WABW

绕点Af逆时针旋转180。得到△GMF.

①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形；

②当四边形NBPG是矩形时，将矩形NBBG沿x轴方向平移使得点P落在抛物线上时，直接

写出此时点尸的坐标.

（2023秋•铁东区校级月考）

5.如图，已知二次函数>=加（"0）与一次函数，=笈-2的图象相交于A（-l,-1）,8两点.

⑴求m上的值及点B的坐标；

⑵在抛物线上求点P,使小PAB的面积是小A03面积的一半；（写出详细解题过程）

（3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形,

若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由.

（2023•歙县校级模拟）

6.如图，若二次函数y=方,+bx+4的图象与％轴交于点A（-l，0）、B（4,0）,与V轴交于点C,

连接3c.

(1)求该二次函数的解析式；

⑵若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K,使以点2、C、。、K为顶点，BC为

边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024•淮阴区校级模拟)

7.如图1,二次函数〉=-；/+云+。与无轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点2坐标

为(6,0),点C坐标为(0,3),点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDLx轴，

垂足为。，交直线于点E,设点P的横坐标为机.

⑴求该二次函数的表达式；

⑵如图2,过点P作PFLBC,垂足为F,当机为何值时，尸尸最大？最大值是多少？

(3)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使原点。

关于直线CQ的对称点O'恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q

的坐标.

(2024•张店区二模)

8.如图1,抛物线>=加+云+3(a70)与x轴交于点A(TO),3(3,0)与y轴交于点C,

连接AC,BC.

（1）求该抛物线及直线BC的函数表达式；

（2汝口图2,在2c上方的抛物线上有一动点P（不与2,C重合），过点P作尸D〃AC,交BC

于点。，过点尸作尸£〃丫轴，交BC于点,E.在点P运动的过程中，请求出周长的最

大值及此时点尸的坐标；

⑶如图3,若点P是该抛物线上一动点，问在点尸运动的过程中，坐标平面内是否存在点。

使以8,C,P,。为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

（2024•娄底二模）

9.如图，抛物线y=x2+fox+c交X轴于A（-l,0）,3（3,0）两点，交，轴于点C,点尸是抛

物线上一个动点.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点尸的坐标为（2,-3）时，求四边形ACPB的面积；

⑶当动点尸在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以8,C,P,Q

为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

（2024•榆次区三模）

10.综合与探究

i3

如图，抛物线/=7/-=%-4与工轴交于4,8两点（点A在点3的左侧），与y轴交于点

42

C（0,-4）,作直线AC,BC,尸3c是直线下方抛物线上一动点.

备用图

⑴求4,8两点的坐标，并直接写出直线AC,8C的函数表达式.

⑵过点尸作尸。〃'轴，交直线BC于点Q,交直线AC于点T.当尸为线段TQ的中点时，

求此时点P的坐标.

（3）在（2）的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M,使以

8,P,M,N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

参考答案:

1

1.(l)y=-—x?+x+4

2

(2)当f=2时，机取得最大值此时点P的坐标为(2,4)

(3)存在，乂g,3)9gM或N?他,一3),(80)

【分析】(1)先求出点。(0,4),然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)过点尸作尸E〃y轴交直线BC于E,连接CP,先求出直线3C的解析式为y=-x+4,

设/+—4],则E«,—r+4),pE=-^t2+2t,由△EMPSACMD得出

照=4|=-，产+]乙因止匕根=2^=照=-!/+；，，最后根据二次函数的性质即可

DMCD63S^CDMDM63

求出m最大值及此时点P的坐标；

(3)分两类进行讨论：①当。P是矩形的边时，有两种情形，当四边形尸。为矩形时，

如图2,连接尸C,过点N"乍N、M，无轴于M,证明△PDC咨△QMM(AAS),APDC^DQ.O,

337

求出MM=C£>=3,02=5，OM=OQl+QiM=^+2=~,从而得出满足条件的。点和N

点的坐标；当四边形尸。区&是矩形时，如图2,过点。2作&K,无轴交CP的延长线于K,

过点M作N2T，x轴于T,证明APDCsAQFK,△OCP咨△MTQ式AAS),求出。&=8,

N2T=CD=3,OT=OQ2-Q2T=6,从而得出满足条件的。点和N点的坐标；②当DP是

对角线时，设。(％。)，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程/一2元+4=0,此方程无

解，此种情形不存在.

【详解】(1)VA(-2,0),

,04=2,

OC=2OA,

.・・。。=4,

・・・C(0,4),

・・•抛物线尸奴2+以+c经过点A(_2,0),5(4,0),C(0,4),

4a-2b+c=0

<16〃+4Z?+c=0,

c=4

1

a=—

2

解得：<b=l,

c=4

；•该抛物线的解析式为>=-)/+%+4；

(2)如图1,过点P作PE〃y轴交直线8C于E,连接CP,

设直线BC的解析式为y^kx+d,

•••B(4,0),C(0,4),

.J4左+d=0

'[d=4'

[k=-l

解得：L，，

[d=4

...直线BC的解析式为y=-x+4,

设P.-'z+f+j,则E«,T+4),

PE=~t2+t+4-^-t+4)=-^t2+2t,

V直线y=』+l化>0)与y轴交于点D,

・•・r>(o,i),

CD=4—1=3,

,.・P£〃y轴，即正石〃8,

・•・/\EMPs&CMD,

—与2+2，

・•・_P_M_=_P_E_=__±2i____=__1/2_|__2

DMCD363

qPM

••m二°ACPM

・q~DM

屋CDM

相=」产+斗=」（，一2）气2

636V73

7

・・・当，=2时，机取得最大值“止匕时点尸的坐标为（2,4）；

（3）存在这样的点Q、N,使得以P、。、Q、N四点组成的四边形是矩形.

由（2）知：D（0,l）,P（2,4）,

图2

当四边形尸QQiM为矩形时，如图2,连接PC,过点M作轴于相

则ZDCP=/N】MQ1=90°,

.・.NQNM+NN'QiM=90°,

・・,四边形尸。为矩形，

：.PD=N©,ZPDQ=/DQN=90°,

.・・ZPDC+ZQ.DO=/NQM+DQ,O=90°,

・.・ZDOQl=90。，

.・・ZQiDO+ZDQlO=90°f

.・・ZPDC=NDQQ=Q[N]M,

APDCdQMM(AAS),

・・.QiM=CP=2,MN】=CD=3,

,.・ZDCP=DOQ[=90°,ZPDC=NDQQ,

.・・APDCsADQ。,

.•.丝=吗即丝

CDCP32

3

•e-O2=「

37

・・・OM=OQX+Q{M=-+!=-,

•・・“别⑼加；

当四边形尸DMQ是矩形时，如图2,过点。2作QK，入轴交CP的延长线于K,过点也作

N2T_Lx轴于T,

・・,四边形尸DMQ是矩形，

・・./。尸。2=90。，PD=N2Q2,

ZDPC+ZQ2PK=90°,

9：ZK=ZDCP=90°,

：.NPDC+NDPC=90。,

・・・ZPDC=ZQ2PK,

△尸OCs/^QPK,

.PK=KQ2即竺=±

•*DC~CP'3~2f

：.PK=6,

OQ2=8,

•.・ZPQ2K+ZPQ2O=ZPQ2O+N2QJ=90°,

・・・ZPQ2K=ZN2QJ,

ZPQ2K=NDPC,

/.ZN2Q2T=ZDPC,

ZDCP=N2TQ,=90°,

：.^DCP^/\N2TQ2（AAS）,

：.Q2T=CP=2,N2T=CD=3,

：.OT=O22-e2T=8-2=6,

.•・M（6,-3）,2（8,0）；

②当OP是对角线时，设Q（x,o）,贝UQr>2=f+i,<2P-=（2-X）2+42,PD2=13,

..•。是直角顶点，

...QD2+QP2=PD2,

：.尤2+1+（2—无7+16=13,

整理得X2-2X+4=0,此方程无解，此种情形不存在；

综上所述，或N2(6,—3)Q(8,0).

【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判

定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数

的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键.

2.⑴yf+i

33±^/97

-16-

125

(3)存在,［或一/7

OZ4Z

【分析】(1)把二次函数的解析式化成顶点式，得出顶点3的坐标，再根据坐标特点写出函

数解析式即可；

(2)由平移的性质，用机表示。点的坐标，再将。点坐标代入二次函数的解析式，得到机

的方程，解方程即可；

(3)根据平行四边形ABCD是矩形，得NA4D=90。，由勾股定理列出方程求出加的值，再

根据顶点8、。都在二次函数y=f(%-2%)2+〃?+1的图象上，求得加、〃的关系，进而求

解.

【详解】（1）Vy=—X2+4mx—4m2+m+\=—（x—2m）2+m+l,

*.*m+1=—x2m+1,

2

・••点5（2机加+1）在函数y=g%+l上，

所求函数的表达式为y=gx+i；

（2）•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB||DC,AB=DC,

二将沿BC方向平移可得DC,

VA（0,-2）,C（8,2）,5（2/71,m+1）,

把£）（8—2〃?,一机一1）代入y=-Y+4mx-4/n2+m+l中，得

—m—1=—（8—2m）2+4m（8—2m）—4m2+m+1,

化简为：8/M2-33m+31=0,

解得：利=江区

16

（3）•・,平行四边形ABCD是矩形，

・•・ABAD=90°,

・•・AB2^AD2=BD\

（2m）2+（m+3）2+（8—2m）2+（—m+1）2=（8—4m）2+（2m+2）2,

化简得，5m2—14m—3=0,

解得：机=3或相=-y,

。点在二次函数y=-〃（％-2间?+根+1的图象上，

—m—l=—H（8—4m）2+m+l,

m+1

•n=------------

•,8（2一加广

1几|

当根=3时，n=—,此时一=一,

2m6

1r_L5IIr_L"25

当相=——时，n=---,止匕时一=-----

5242m242

故存在矩形ABCD,使顶点3、。都在二次函数、=-〃（％-2加）+w+1的图象上，一的值

m

为』或_二.

6242

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股

定理，熟练掌握上述性质及其应用是解题的关键.

191

3.（l）y=——A+—x+4；

82

⑵与，尸3,35

（3）£（-2,0）,£（14,12）,£（2,6）,E（2,-2）.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可;

（2）延长尸。交x轴于“点，则轴，根据三角函数的定义得到拽=即

5

2J5+g相+4）,根据二次函数的性质求解即可;

PQ+-^-PN=PQ+PH,

（3）求得平移后的抛物线解析式，再分情况讨论求解即可.

1

a=—

16。一40+4=08

【详解】（1）解：由题意得64Q+8Z?+4=0角军得＜

b=-

2

该抛物线的解析式为丫=-：/+:尤+4；

o2

（2）由＞=-，2+4+4可得，c（O,4）

82

延长P。交x轴于H点，则轴,

...ZPMQ=ZPHB=90°

又「ZPQM=ZBQH

：.ZNPH=ZOBC

设直线5C：y=k+t

VC(O,4),8(8,0),则

Sk+t=0

・,・直线3C:y=-L+4,05=4,OC=2

2

BC=y/oC2+OB2=2下

•：cosNNPH=cosZOBC=2=—

5PN

：.^HpN=PH

5

2-J5

PQ+—^PN=PQ+PH

3+*4,Q—1+4

设尸m,_

2

111

PH=——m9+—m+4,PQ=——m9+m

828

2J?

PQ+—^PN=PQ+PH

=一工/根+4

42

A%。，开口向下，对称轴为直线〃T,且。<，”8

...当加=3时，PQ+空PN有最大值学,

54

此时尸［吟

(3)由题意可得：抛物线>=-：/+:》+4沿射线8平移26个单位，即抛物线向右平移

82

了4个单位，向下平移了2个单位,

此时抛物线为：y=—(元—4)■!—(x—4)+4—2=—X2H—x—2

8282

1Q

则抛物线了=-弓/+彳光-2的对称轴为尤=6

82

设£)(6,〃)，E[x,y)

当以BC、DE为对角线时，由矩形的性质可得:

6+x=8x=2fx=2

<n+y=4角军得〈y=6或〈丁=一2

(x-6)2+(y-n)2=82+42n=-2[n=6

即E（2,6）,£（2,-2）；

当以8。、CE为对角线时，由矩形的性质可得:

x=8+6x=14

<4+y=n,解得<y=12

2222

x+(y-4)=2+«|"=16

即E(14,12)

当以BE、CD为对角线时，由矩形的性质可得:

8+x=6x=-2

<y=4+〃，解得-y=0

(x-8)2+y2=62+(n-4)2[n=-4

£(-2,0),

综上，£（-2,0）,£（14,12）,E（2,6）,E（2,-2）.

【点睛】此题为二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的平移，二次函

数与矩形的综合，二次函数图象与性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础

知识，能够灵活运用，学会分类讨论的方法求解问题.

4.⑴丫二手尤2一瓜_3右

0、13班

⑶①当点N运动到1秒时，四边形N2FG是菱形；②点F的坐标为［当至,-2君］或

【分析】（1）利用待定系数法将8、C两点坐标代入抛物线>=竽/+法+。求解即可；

（2）当f=l时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线

解析式即可求得E点纵坐标，再根据3四边形OBEC=§梯形ODEC+S^BDE求解即可；

（3）①根据题意可求出CW=f,BN=3-t,=再根据旋转的性质易证四边形NBFG

是平行四边形，则四边形N//G是菱形，只需BG_LNb即可，又可求出

cosZMBN=—=—,cosZCBG>=—=-,则2-=!，解出f的值即可；②当四边形

BN3-tBC23-t2

NBFG是矩形时，只需NBNG=90°.由NBNG=ZBOC=90。，得出NG〃OC,利用平行

线分线段成比例，求得/=1;将矩形NBRW沿无轴方向平移时，点尸落在抛物线的图象上,

即上=-26，再代入解析式即可求得点尸的坐标.

【详解】⑴解：：抛物线产孚1+云+。的图象过8(3,0)，4。,-3⑹两点,

x9+3/7+c=0b=—A/3

3,解得：＜

c=—3\/3

-373=c

:•抛物线的表达式为旷二手/一氐一3后;

(2)解：如图：

AOB=3,OC=3y/3,

•*-BC=VOB2+OC2=6-

当，=1时，BM=2t=2.

VDMLAB,OC±AB,

：.DM//OC,

.BDBM口口BD2

----，即---=—，

OBBC36

・•・BD=L

：.OD=OB-OD=3-1=2.

KX773

在y=~~~--百x-3百中，令X=2,得：y-22-A/3X2-3^=-

33

一一空、

1/7A/33百\x2+L拽

=

•,S四边形osECS梯形ODE。+S&BDE=—"x'--------------\-

23232

7

BM=2t.

・・・将ABMN绕点M逆时针旋转180°得至！JZ\GMF,

；.BM=GM,NM=FM,

・・・四边形N3方G是平行四边形,

若四边形NBFG是菱形，只需5GLNF,gpZBW=90°,

此时cos/MBN=g—It

BN3-t

在RtABOC中，cos/CBO==—=—,

BC62

2t1

••一，

3T2

3

解得：［=:，

3

答：当点N运动到《秒时，四边形NB尸G是菱形;

②如图:

由①得四边形N3FG是平行四边形.

当四边形NBbG是矩形时，只需N3NG=90。.

・•・ZBNG=ZBOC=9Q°,

：.NG//OC,

.BNBG3-t4r

..——=——,即nn---=——

OBBBC36

解得：t=l.

・・・当点N运动1秒时，四边形皿是矩形.

ANB=3-1=2,5G=4,

NG=yjBCP-NB2=2A/3•

将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即％=-26.

当力=—时，即孚/一氐一3后=一2石,

3+7333-733

解得：X]------,X)

44

3+733

..•点厂的坐标为-2A/3或,-26.

4

【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特

殊四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题.利用数形结合的思想是解

题关键.

5.⑴。=—1,k=-l,8的坐标为(2,-4)

'1+石-3-5

⑵4

2'2

〈乙乙)

(3)陷(0,0),

【分析】(1)根据待定系数法即可求得。，上的值，解析式联立，解方程组即可求得B的坐

标；

(2)设直线,=区-2与>轴的交点为G,则GQ-2),利用+求得AAO5

的面积.过点尸作尸C〃x交直线A8于点C,设P(加，-加)，分两种情况列方程求解即可;

(3)分48为矩形的边和A3为矩形的对角线利用勾股定理列方程求解.

【详解】(1)解：：>过点A(-LT),

**.-1=axl,角率得a=_]

・・・一次函数y=kx-2的图象相过点A(-l-1),

**•—l=-k—29解得左=—1；

y=-x-2x=-lx=2

解得或

y=-x2尸—iy=-4

・・・8的坐标为(2,T)；

(2)解：设直线y=r—2与y轴的交点为G,贝2),

S^OB=^AAOG+^ABOG=_x2xl+—x2x2=3•

过点尸作PC〃冗交直线A5于点C,

设尸(以_川),则。(苏-2,一加2),

当点。在点尸的右侧时,

(疗-2+4^3(―)

1+A/5

解得m3=],,m4

2

'"乖-3+⑹

2，-2-

\/

(3)解：设M5一川)，

则AA/2=(—1—+(—1+〃2)=/—n2+*2.n+2,

BM2=(2-«)2+(-4+M2)2=n4-7;i2-4??+20,

AB2=(-l-2)2+(-1+4)2=18.

当AB为矩形的边的边时,

由题意得

n4-〃2+2"+2+18=n4-In2-4n+20，

整理得/J?+〃=0,

解得小=。，〃2=T（与A重合，舍去）

.,.必（0,0）.

当AB为矩形的对角线时,

由题意得

+2〃+2+—7〃2—4〃+20=18

整理得（篦-2）（〃+1乂〃2+"—1）=0,

解得小=土且，%=土叵，%=2（与3重合，舍去），%=-1（与A重合，舍去）

22

.f-1-75-3-75^1（-1+际-3+75

I22J\22J

综上可知：陷（。,。），］苧，若5、.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数

的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何

图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

6.⑴y=-%2+3%+4

⑵存在，K点的坐标为（-6,-2）或（6,2）

【分析】（1）将A（T，。）、8（4,0）代入、="2+陵+4,联立方程组，求出a、6的值，即可

得出该二次函数的解析式；

（2）设。（〃7,-〃，+3〃什4）,当机＞0时，过点。作轴交”点，过K作KGIx轴交G

点，证明AC"鳗△3GK（A4S）,得到加=-疗+3帆+4-4,则政=2,所以K（6,2）；当机＜0

时，设KC与x轴的交点为尸，8。与V轴的交点为“，过点。作QG/y轴交G点，过K作

KE/x轴交E点，证明AQHG%KFE（AAS）,则有一切=一4一（一加2+3根+4）,求得加=一2,

则GQ=2,可求K（-6,-2）,综合即可得出K点的坐标.

【详解】（1）解：把A（—1,0）、8（4,0）代入＞=加+打+4,

,f。一/?+4=0

可得：｛1（AUA八,

16Q+4Z?+4=0

a=­l

解得:

b=3

・••该二次函数的表达式为产--+3%+4.

（2）解：存在，理由如下：

设Q（/n,-W+3m+4）,

当机＞0时，如图1,

・・•矩形是以5C为边，

AQK//BC,CQ1BC,KB^BC,

过点。作轴交H点，过K作KGJ_九轴交G点,

CQ=BK,OC=OB,

；・NOCB=NOBC=45?,

：.NHCQ=NGBK=45?,

：.ACHQ^BGK（AAS）,

HC=HQ=BG=GK,

m--m2+3m+4—4,

m=2或m=0（舍去）,

HQ=2,

K（6,2）；

当机＜0时，如图2,

:矩形是以BC为边，

：.QK//BC,KC±BC,BQVBC,

设KC与％轴的交点为尸，8。与y轴的交点为H,

过点。作QGJ_y轴交G点，过K作轴交E点,

；/OCB=/OBC=45?,

：.ZOBH=ZOHB^X5°,NFCO=NCFOF5。,

，OF=OC=OB=OH=4,/HQG=/EFKU5。,

KC=BQ,CF=HB,

FK=QH,

/.AQHG%KFE（AAS）,

/.QG=HG=EF=EK,

4-（-/+3〃什4）,

m=-2或r?i=4（舍去）,

GQ=2,

K（-6,-2）；

综上所述，K点的坐标为K（-6,-2）或K（6,2）.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和

等腰直角三角形的性质是解本题的关键.

7.（l）y=--x2+x+3

（2）当机为3时，PF最大,最大值是地

10

⑶点。的坐标为（2,；］或（2,-1）或（2,4）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）利用待定系数法求出直线8c的解析式，根据题意设尸（机，-;苏+加+3）,则

根，-+从而可求出PE的长，根据勾股定理可求出3C.易证ABOCSDFE,得

BOPF

出/¥1=岑=土，代入数据，结合二次函数的性质求解即可；

nC

（3）设。（2J）,抛物线的对称轴交x轴于点H,交“于点G,贝|GQ=3-,CG=2,

ZCGQ=90°.分类讨论：①当点O'恰好落在该矩形对角线O尸所在的直线上时，②当点O'

恰好落在该矩形对角线CO上时和③当点O'恰好落在该矩形对角线。C的延长线上时，分别

画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理分析求

解即可.

【详解】（1）解：：抛物线了=-：/+区+。与X轴交于A、8两点，与y轴交于点C,点8

坐标为（6,0）,点C坐标为（0,3）,

0=-9+6Z?+cb=l

解得:

c=3c=3

该二次函数的表达式为：尸-%、x+3；

（2）解：设BC的解析式为〉=区+"（%工0）,

⑹t+6'=0\k=~-

[b=3[b.=3

,.直线BC的解析式为：y=-1x+3.

••点P的横坐标为优，

P（机,一；机2+«1+3〔,则石]根,-；根+31,

\PE=-—m2+m+3-|-—m+3|=-—m2+—m.

412J42

/PFICE,PD_L尤轴，

\ZEPF+ZPEF=ZEBD+ZBED=90°.

:ZPEF=ZBED,

•.ZEPF=ZEBD.

：ZBOC=ZPFE=90°,

••小BOCs/FE,

,BOBC

,•PF-PE•

在RG5OC中，03=6,OC=3,

•*-BC=A/BO2+CO2-3A/5，

BOPE一品〃可+*

PF=

BC

当比为3时，PF最大，最大值是地；

10

(3)解：♦.•抛物线解析式为y=-：f+x+3,

4

10

x——------------―/.

•••抛物线的对称轴为直线一2x1［一-

:点。在抛物线的对称轴上，

故可设Q(2,t).

设抛物线的对称轴交无轴于点巴交CP于点G,则GQ=3T,CG=2,ZCGQ=90°.

分类讨论：①当点。’恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，则C。垂直平分。0，,

即CQLOP,

.・.ZCOP+ZOCQ=90°.

又・・•四边形oc尸。是矩形,

/.CP=OD=4,OC=3,NOb=90。，

...NPCQ+NOCQ=90。，

：.ZPCQ=ZCOPf

CP4

：.tanZPCQ=tanZCOP=—

OC3

Z.tmZPCQ=^GO-=~4,即3立-」t=上4,

CG323

解得：［=；，

②当点。恰好落在该矩形对角线8上时，如图，连接交G"于点K,

・・・点O与点。'关于直线对称,

・•・C0垂直平分00',

.・・ZOCQ=ZDCQ.

•:GH〃OC,

.・・ZCQG=ZOCQf

：.ZDCQ=ZCQG,

：.CK=KQ,

VC,尸关于对称轴对称，即点G是C尸的中点,

又•・•GH//OC//PD,

・••点K是8的中点,

0+43+0,即小,|),

：.K

3

・・・GK=~,

2

/.CK=y/CG2+GK2=^22+j=|=KQ,

3

：.KQ=--t,

解得t=-l,

2(2,-1)；

③当点O’恰好落在该矩形对角线DC的延长线上时，如图，过点O'作y轴于点K,

连接OO,交直线C0于点M,

•••点。与点。关于直线CQ对称，

CQ垂直平分

AZOCM=ZO'CM,ZOMC=Z.OMC=90°,O'C=OC=3.

:ZCfKC=ZDOC=90°,NOCK=ZDCO,

，△O'CKSADCO,

,O'KCKCO'O,KCK3

.•----=----=-----,即nn-----=

DOOCCD4T~5f

12Q

AO'K=—,CK=M，

924

OK=OC+CK=3+-=~,

55

1224

:点M是。。'的中点,

612

5'T

612

由C（0,3）,M得直线CM的解析式为y=]x+3,

5'T

当尤=2时，v=4？23=4,

-2

/.Q（2,4）.

综上所述，点。的坐标为",J或（2,-1）或（2,4）.

【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的

图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定

理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是

解答的关键.

8.（1）y=-x2+2x+3,y——x+3

（2）APDE的周长最大值：36+9A/HJ+90,尸的坐标为佶

5-旧1-755+^/51+V5

（3）点。的坐标为

2'2

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾

股定理，分类讨论是解题的关键.

（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）证明尸s4poE,得求出直线2C的解析式，设点尸的坐标（加,-/+2加+3）,则

3Q

点E的坐标（机一口+3）,得?£=TT?+2m+3-（一机+3）；当徵=3时，/）£取得最大值I，

3

即，当机=]时，APDE的周长取得最大值；

（3）设点尸的坐标（根，-疗+2机+3）,设点。的坐标（%,%）,分所求情况讨论：当点尸在

CMPM

y轴右边的抛物线上时，当A。加SAWS时，ZBPC=90°,则一二——，列方程求解徵；

PNBN

当点尸在y轴左边的抛物线上时，同理求解.

【详解】(1)解：(1)将点A(TO),3(3,0)代入y=M+6x+3,

/曰]〃-/?+3=0

得，(94+38+30'

[a=-1

解，得“、，

[b=2

所以，该抛物线的函数表达式为>=-犬+2了+3,

设直线8C的函数表达式为y=丘+〃，

将点C(0,3),3(3,0)代入>=丘+〃，

伍=3

得，[3k+n=0

解，得]“=：，

[n=3

所以，直线8c的函数表达式为y=-x+3；

(2)如图，过点A作AP〃y轴，交BC于点、F,

yjk

因为，轴，

所以，AF//PE,

所以，ZAFC=ZPED,

因为，PD//AC,

所以，ZACD=ZPDC,

所以，ZACF=ZPDE,

在AACF和ZPDE中，

ZAFC=ZPED

ZACF=ZPDE

所以，Z\ACFSAPDE

的周长=PE

所入△ACT的周长一寿'

由直线BC：y=r+3和点A（-1,O）,

得点尸坐标为（T4）,

所以，AF=4,

AC=yjAO2+OC2=Vl+9=>/io>CF=V2AO=A/2.

所以，△ACR的周长=AF+AC+C尸=4+9+&,

所以，△/>出的周长=堂.△ACR的周长=4+炳+0.2后,

AF4

设点P的坐标+2m+3）,则点E的坐标（八一根+3）,

所以，PE=-m2+2m+3-（-m+3）

=—m2+3m

（3丫9

I2j4

3Q

所以，当机=：时，FE取得最大值：，

24

即，当机=3时，△"）£的周长取得最大值：4+布+凡2=36+9加+90

24416

此时点尸的坐标为||,‘）；

（3）设点P的坐标（加,-1+2m+3）,设点Q的坐标（为,%）

①当点尸在y轴右边的抛物线上时，存在N3PC=9O。即可存在点。使以2,C,P,。为顶

点BC为对角线的四边形是矩形，过点尸作MN〃x轴，交y轴于点M,过点8且平行于y

轴的直线于点N,如图（1）,

图⑴

所以，PM=m,BN=—m'+2根+3,CM=-rrr+2m,PN=3-m,

因为，当△CMPS^PNB时,ZBPC=90°,

CMPM

所以,

PNBN

-m+2m

3-m—m+2m+3

解，得叫=1+^^,m2=］,(舍)

所以，点尸的坐标为［上乎，且普］,

I22)

由题意，易得线段BC的中点坐标为

因为，点。与点P关于线段3c的中点成中心对称,

(5-^5l-x/5^1

所以，点。的坐标为—；

②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在N3PC=90。即可存在点。使以3,C,P,为顶点

BC为对角线的四边形是矩形，过点尸作MN〃y轴，交x轴于点M交过点C且平行于x

轴的直线于点如图(2),

2

P-mm-2m

即1N，一-------=-------，

-nr+2m+33-m

解，得叫=I+',m2=]f

L5-用

所以，点尸的坐标为

同理，因为点。与点尸关于线段BC的中点成中心对称,

3、1-755+A/53〜5-A/51+A/5

所以,%=”一——--------，——x2-----------=--------

2Q222

‘5+61+B

所以,点Q的坐标为

〈乙2'乙2）

综上所述，点。的坐标为上手［或上手

\)\7

9.(l)y=x2-2x-3

⑵9

⑶存在，点。的坐标为(-5,2)或手，匚/

【分析】(1)把A(-LO),3(3,0)代入y=x2+"+c中求解，得出抛物线的函数表达式即可;

(2)连接AC、CP、BP、OP,过点尸作PELAfi于点E,利用点的坐标得出出线段。4、

OB、OC、OE>PE的长度，再根据S四边形ACPB~,AOAC+SA℃P+"OBP,进行计算即可；

(3)当BC为矩形的边时，四边形BCQP为矩形，P8