导数常考题型全归纳（七大题型）原卷版-2025年高考数学复习热点题型专项训练（新高考）

热点题型•解答题攻略

专题09导数常考题型全归纳

♦>-----------题型归纳•定方向------------*>

目录

题型01导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）................................................1

题型02导数与最值（含恒成立和有解问题）......................................................4

题型03导数与方程的根（含隐零点问题）........................................................6

题型04极值点偏移问题.........................................................................9

题型05导数与不等式..........................................................................12

题型06导数中其他双变量问题..................................................................14

题型07导数结合数列..........................................................................15

o-----------题型探析・明规律-----------*>

题型01导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）

【解题规律•提分快招】

一、含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的

区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，

无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【一般性技巧】

1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，

讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区

间.

2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，

判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.

二、函数的极值

函数/(X)在点X。附近有定义，如果对x0附近的所有点都有/(X)<则称/(x0)是函数的一个极大值，

记作，极大值=〃不)•如果对尤0附近的所有点都有，(元)>/(%)，则称/(X。)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(毛).极大值与极小值统称为极值，称与为极值点.

求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数尸(x)；

(3)求方程-(无)=0的根；

(4)检验((x)在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那

么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在

这个根处取得极小值.

注①可导函数/(x)在点/处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即((为)=0,且在不左侧

与右侧，f'(x)的符号导号.

②((%)=0是不为极值点的既不充分也不必要条件，如人》=/，((0)=0,但毛=0不是极值点.另外，

极值点也可以是不可导的，如函数〃元)=国，在极小值点无。=0是不可导的，于是有如下结论：不为可导

函数/(%)的极值点n/(%)=0；但f'(x0)=0/%为/(x)的极值点.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024高三.全国・专题练习)已知函数f(x)=2(“-lnx)+e,讨论/(x)的单调性与极值.

2.(2024.河南开封.二模)已知函数十)=lnx-3

(1)讨论了(尤)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

⑵函数g(尤卜工；若方程〃尤)"(g⑺)在xe［上存在实根，试比较/⑺与int的大小.

1—x\)4

3.(24-25高三上•山西吕梁・期末)已知函数/(x)=e2*-依+a(aeR),g(x)=(3-2x)e".

⑴求函数的单调区间；

⑵求函数“X)的极值；

(3)若毛为函数“X)的极值点，则称(尤。"(尤0))为函数“X)的“靓点”.证明：g(x)上任意一点都有可能成

为/(x)的“靓点”.

4.(24-25高三上•安徽淮北•阶段练习)已知函数/(x)=ln(x+l).

⑴求曲线y=/(x)在x=3处的切线方程.

⑵求函数尸(无)=X-4-(4+1)/(尤-1)的极值;

X

(3)设函数g(x)=(x+1)/]J-/(I+1)

.证明：存在实数加，使得曲线〉=8(彳)关于直线x=对称.

5.(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数〃无)=21nx+£x2-(2m+l)x+lWeR).

⑴求函数的极值；

⑵设函数〃x)有两个极值点玉，%,求证：/(x1)+f(x2)<2/

6.(24-25高三上•云南德宏・期末)已知函数/(x)=alnx-x+a3(aeR).

⑴若函数〃x)在x=2处的切线与直线2x-3y+l=0垂直，求实数°；

(2)若函数/(X)有极大值，且极大值不大于0,求实数。的取值范围.

7.(2025高三・全国・专题练习)设函数〃x)=x2+Mn(x+D(meR).

⑴当机=-4时，求函数“X)的单调区间；

(2)已知函数/'(x)有两个极值点，求加的取值范围.

8.(2025•山西临汾•一模)已知函数f(x)=e'-收.

⑴当a=l时，求曲线y=f(尤)在点处的切线方程；

⑵当a=2时，求函数g(x)=/(x)+sinx-cosx在上的极值.

9.(24-25高三下•河北沧州•阶段练习)已知函数/'(x)=x-21n(x+l)+"b，aeR.

⑴当。=1时，求函数的单调区间；

(2)若x=l是函数f(x)唯一的极值点，求实数a的取值范围.

题型02导数与最值(含恒成立和有解问题)

【解题规律•提分快招】

一、函数的最值

函数y=/(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f{x}最小值为极小值与靠近极大值

的端点之间的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在的，山上的函数，y=/(x)在("Z,〃)内有导数，求函数y=/(x)在即，闱上

的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(尤)在〃)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将丫=/(%)的各极值与/(㈤和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

二、恒成立和有解问题

1、若函数”可在区间。上存在最小值“X)1nm和最大值”尤%以，则

不等式°在区间。上恒成立o/⑴血>a；

不等式/(x)»a在区间。上恒成立o/⑴血>a；

不等式/(x)<6在区间。上恒成立o/(%)_<b；

不等式/(%)”在区间。上恒成立of⑺侬*<b；

2、若函数“X)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，〃)，则

不等式/(x)>。(或/(x)>a)在区间D上恒成立<=>/n>a.

不等式或在区间£)上恒成立.

3、若函数/⑺在区间。上存在最小值/(力3和最大值即网可，则对不等式有解问题有

以下结论：

不等式在区间。上有解=a</(x)111ax；

不等式在区间。上有解oaW6尤/；

不等式在区间£>上有解1n；

不等式a2在区间。上有解血.；

4、若函数/(可在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，n),则对不等式有解问题有以下结论：

不等式或aW/(x))在区间。上有解

不等式6>或b2在区间D上有解

5、对于任意的国e[a,b],总存在々e[m,〃],使得〃当)4g^)o/㈤1rat4g(%)3;

6、对于任意的漓e[a,b],总存在％e[m,n],使得〃否"g(%)o"xj*2g(%)向”；

7、若存在石e[a,b],对于任意的々©[m,n],使得Vg(%)o/(%)1nhiV8(3二；

8、若存在％e[a,b],对于任意的々€加，,使得2g(%)="占^g(%)1mx；

9、对于任意的苦e[a,b],x2G[m,可使得“xjVg(%)。”占人(；

10、对于任意的再w[a,b],x2e[m,可使得“xj2g(%)o"网濡'g(xj1nM；

11、若存在西e[a,6],总存在X2«m,n],使得乳/)0，㈤111ta4g(%)1Mx

12、若存在再e[a,]，总存在％e[m,n],使得/(%)Wg(%)o皿2g(%)所.

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三下・四川内江•阶段练习)已知函数〃无)=3办2+(。一口元-Mx.

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵当a>0时，求函数/⑺在[L2]的最小值g(a).

2.(2025•辽宁•模拟预测)已知函数”x)=x+alnx(aHO)的图象的一条切线方程是y=2x-l.

⑴求a;

(2)若关于X的不等式/(X)〈加1M有解，求机的取值范围.

3.(24-25高三上•湖北•期中)已知x=2为函数/(无)=尤。-4」的极小值点.

e

⑴求C的值；

kx

(2)设函数g(x)=M，若对V%w(0,+8),3x2eR,使得/(不)-g®)20,求人的取值范围.

e一

4.(24-25高三下•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数/(X)=el+1x(x-a)(aeR),f(x)的导函数为f(x),

且/'(0)=0.

⑴求“X)的最值；

⑵求证：+lru+—x>2.

x2

5.（24-25高三上•浙江•阶段练习）已知函数/⑺=广"-6的最小值是0.

⑴求。；

（2）若实数加，"满足mn=em-l+“In”，求mn的最小值.

6.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知函数〃x）=lnx+2x+,aeR）.

（1）讨论函数/'（X）的单调性;

⑵若〃x）>2x-l+a在（1,y）上恒成立，求整数。的最大值.

7.（24-25高三下•北京・开学考试）已知函数/（x）=e'-“x-Jx2.

⑴当a=l时，求曲线y=〃”在（。,〃。））处的切线方程；

⑵若函数〃*）是增函数，求实数”的取值范围；

⑶若无）士-万厂+x+6,求的最大值.

21

8.（24-25IWJ二上,湖南常德,阶段练习）已知/（%）=Q（X—lnx）H--------fa>0）,

XX

⑴讨论八X）的单调性；

（2）当4=1时，证明/（力>广（力+5对于任意的％42,+⑹成立.

（参考数据：In2=0.69,In2.3=0.83）

题型03导数与方程的根（含隐零点问题）

【解题规律•提分快招】

一、隐零点问题

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性

之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程/'（%）=0,并结合/（x）的单调性

得到零点的范围;

第2步：以零点为分界点，说明导函数f\x)的正负，进而得到/(%)的最值表达式;

第3步：将零点方程/''(%)=0适当变形，整体代入/(%)最值式子进行化简：

(1)要么消除/(x)最值式中的指对项

(2)要么消除其中的参数项；

从而得到了(x)最值式的估计.

二、函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理：设函数/(%)在闭区间［凡句上连续，且那么在开区间(a,。)内至

少有函数/(%)的■个零点，即至少有■点光使得/(%)=0.

三、隐零点的同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到

的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方

向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

xexxlnx

=<x+ex=>/(lnx)={x+lnx

ex—x—1x-lnx-1

/(%)=xexn/In尤)=一=>x2ex+In%=0

所以在解决形如ex=-^x+\nx=O,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

X

四、一般思路

针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数,

再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者

证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊

值来确定零点存在区间。

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三下•河南•开学考试)已知函数/(x)=x+lnx—xlnx—2(0＜尤＜4).

(1)探究了(尤)在定义域内是否存在极值点；

(2)求了(尤)在定义域内的零点个数.

2.(2025高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=e'(x-l)-ge"x2,a＜0.

⑴求曲线y=在点(o,/(o))处的切线方程；

⑵求了。)的极值；

⑶求函数的零点个数.

3.(24-25高三下•山西•开学考试)已知函数/(x)=(x-G(x+l)+alnx.

⑴当。=-2时，讨论的单调性；

⑵记函数g(x)=〃x)-3x+l,己知g(尤)只有1个零点，求正整数。的最小值.

4.(24-25高三上•宁夏吴忠•阶段练习)已知函数〃x)=2sinx-x.

⑴当xe[O,兀]时，/(x)<;n,求实数加的取值范围；

⑵若函数尸(无)与小)的图象关于点(今,寸称，求尸(无)的解析式；

⑶判断函数g(x)=(x+l)〃x)+l在，，+J的零点个数，并说明理由.

5.(24-25高三上•天津西青•期末)已知函数/⑺=ei-ax-lnx(a>0).

(1)当a=l时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

⑵求证：“X)有唯一极值点；

(3)若)(X)有唯一零点看,求证：1<%<2.

6.(2025•云南曲靖•一模)已知函数/(x)=e2'+(l—2a)e“一依(aeR).

(1)当。=0时，求〃x)在尤=0处的切线方程；

⑵讨论的单调性；

⑶若/(X)有两个零点，求。的取值范围.

7.(24-25高三下•湖南岳阳•开学考试)已知函数〃x)=6ix-lnx,g(x)=alnA-+一,。为实数.

⑴当°=1时，求〃力与g(x)的极值;

⑵是否存在aeR,使与g(x)均有2个零点.若存在，请求出。的值；若不存在，请说明理由.

题型04极值点偏移问题

【解题规律•提分快招】

即可视为极值点偏移考察

三、答题模板(对称构造)

若已知函数/(%)满足/'(七)=/■(%),%为函数/(X)的极值点，求证：/+马<2%.

(1)讨论函数f(x)的单调性并求出/(%)的极值点x0;

假设此处/(x)在(7),/)上单调递减，在(％,田))上单调递增.

(2)构造/(无)=f(x0+x)—f(x0-%)；

注：此处根据题意需要还可以构造成2x)=/(x)-/(2x0-x)的形式.

(3)通过求导广(x)讨论歹(x)的单调性，判断出/(幻在某段区间上的正负，并得出/(%+x)与/(%-x)

的大小关系；

假设此处F(x)在(0,+00)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>F(x0)=/(x0)-/(/)=0,从而得到：

X〉。时,/(x0+x)>/(x0-x).

(4)不妨设玉</<々，通过/(x)的单调性，/(x1)=/(x2),/(x0+x)与的大小关系得出

结论；

接上述情况，由于X〉/时，/(/+X)〉/(%-X)且看</<%，/"(xj=/(尤2)，故

/(/)=/(x2)=f[x0+(%2-x0)]>f[x0-(x2-x0)]=/(2x0-x2),又因为玉<x0，2/—<X。且

/(x)在(-8,%)上单调递减，从而得到吃<2%；-々，从而斗+%2<2x()得证.

(5)若要证明了'(五(义)<0,还需进一步讨论七三与小的大小，得出所在的单调区间，从而

得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为斗+々<2/，故土产<X°,由于

/(X)在(-8,/)上单调递减，故/'(冯强人。.

研究f(x)的单调性与极值]数形结合

§

◎构造对称函数F(x)F(x)=f(x)_f(2x0-x)

演

盥

研究并运用F(x)的单调性化双变量为单变量

运用/'(X)的单调性脱去f利用=f(x2)

四、其他方法

1、比值代换

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的

比值作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用比值(一般用f表示)表示两个极值点，即彳=土，化为

单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于/的函数问题求解.

2、对数均值不等式

a—b/,、

------------(aA力)，

两个正数。和。的对数平均定义：L(a,b)=hna-lnb

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：猴WL(a,b)4号(此式记为对数平均不等式)

取等条件：当且仅当。=6时，等号成立.

3、指数不等式

n

2-e

--------(mwri)

在对数均值不等式中，设〃=*，b=en,则片m-n-----------,根据对数均值不等式有如下

em(m=ri)

—m.n

关系：e亍<E(a,b)<

【典例训练】

一、解答题

1.(23-24高三下・北京西城•期中)已知函数/(x)=x—Inx-a.

⑴若〃x)20,求。的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点七，％，则再々<1.

2.(23-24高三上•河北唐山•阶段练习)已知函数〃x)=(x-l)lnrr2+flx(aeR).

⑴若函数y=7'(x)有两个零点，求。的取值范围；

X+X2

(2)设为,无2是函数f(x)的两个极值点，证明：!2>.

3.(24-25高三上•江苏连云港•期末)己知函数〃x)=2尤+<2r2+xlnx,aeR.

⑴当。=。时，求曲线y=f("在％=e处的切线方程；

⑵若“X)有两个零点再，无2，且%>3%，证明：玉马>斗.

4.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/'(x)=xlnx-x.

⑴求函数/(X)的最值；

(2)若函数g(x)=/(x)-o?+。有两个不同的极值点，记作玉,马,且玉＜%，求证：1叫+21ar2＞3.

5.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数/(x)=e［依2(。＞0).

2

⑴当a=?时，判断了(x)在区间(L—)内的单调性；

⑵若/(x)有三个零点%%，且玉＜/＜三.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：占+x2+x3＞3.

6.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃x)=(尤-e-DeX-gef+e4.

⑴求函数的单调区间与极值；

%3X1

(2)若〃%)=/(%)=/(%)(玉＜%。3),求证：2＜e-l.

题型05导数与不等式

【解题规律•提分快招】

一、利用导数证明或判定不等式问题

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三下•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数"X)=/+；尤(尤-eR),/(%)的导函数为f\x),

且，(0)=。

⑴求〃元)的最值；

,x|

(2)求证：e1-Inx+—x＞2.

x2

2.(24-25高三下•全国•开学考试)已知函数f(x)=ln(x+l),g(x)=*(x>-l).

⑴比较〃无)与g(尤)的大小；

11111111

⑵证明:ln3>--1--1---1---1---1---1---1---

357911131517

3.(24-25高三下•四川乐山・期末)已知函数,(%)=卜”+中一1,且曲线丁=/(力在点(I"⑴)处的切线斜率

是e-1.

⑴求〃的值.

⑵证明：/(x)>0.

(3)证明：>inx-1.

4.(2025高三・全国•专题练习)设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=犷⑺的极值点.

⑴求。；

⑵设函数g(x)=W证明：g(无)<1

5.(2025・山东日照•一模)已知函数/(x)=Gclnx.

⑴当。>0时，讨论函数的单调性；

⑵当0<。<2时,若曲线上的动点尸到直线2x-y-lle=0距离的最小值为2&e(e为自然对数的底数).

①求实数。的值；

②求证：/(x)<er+cos.Y-2.

6.(24-25高三下•吉林长春•开学考试)已知函数/(尤)=ln尤-幺曰(aeR).

X+1

⑴讨论了(X)的极值点个数；

〃1

(2)证明：V〃cN*,ln(n+l)>V—~~-；

仁21+1

2

⑶若关于尤的方程/(x)=(a+D尤-吟»有两个不同实根々，%，求”的取值范围，并证明：V2>e.

7.(24-25高三下•江苏镇江•开学考试)已知函数〃x)=e*T,g(x)=Hnr-x(4eR).

⑴讨论g(x)的单调性；

⑵若/(x)-g(x)2x+l恒成立，求a的值;

(3)若。4%<X2，求证：e^2/一1>ln(%2+1)—也(再+1)。

题型06导数中其他双变量问题

【解题规律•提分快招】

一、双变量不等式的处理策略

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知〃无)=-ge2,4e'-iu-5.

⑴当。=3时，求的单调递增区间；

⑵若“X)有两个极值点X1,尤2.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：/(x1)+/(%2)+%1+%2<0.

2.(24-25高三上•山西•阶段练习)已知函数/(犬)=犬2-曲:+2111》,。€1^.

(1)当。=2时，求曲线y=f(x)在点(1"(1))处的切线方程；

(2)已知/(无)有两个极值点X”起,且占<%，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)求"(占)-/伍)的最小值.

3.(24-25高三上•天津南开・期末)已知函数〃x)=xe\

⑴求曲线y=〃司在其零点处的切线方程；

⑵若方程/'(x)=x"M(x>0)有两个解无|,尤2，且不<乙.

(i)求实数。的取值范围；

(ii)若演+包N二恒成立，求实数上的取值范围.

e-2

4.(2025高三・全国•专题练习)已知函数=3*e2，‘-e'+x+2(aeR).

(1)若/'(x)是定义域上的增函数，求。的取值范围;

(2)当4=-g时，证明：x2f(ln.r)<4e1-2；

/⑺一/㈤

(3)若函数有两个极值点石<々)，证明:

-eV1-e'2

5.(24-25高三上•广东深圳•阶段练习)已知函数/(力=岂2,函数g(x)=%(x>0).

⑴若没有任何一段区间使函数与函数g(x)同时单调递增或同时单调递减，求机的取值范围;

(2)若方程g(x)=l有两个不同的解占.

①求加的取值范围；

②若42>2'，证明：玉+%2>31n2.

6.(24-25高三上•内蒙古・期末)在我们学习导数的过程中，对数、指数函数模型十分重要.已知若

/(x)=mex+ox2+&v+cP(4%)与。(%，%)在上，则有，/(、\.现有

mLAh±^\kpQ

/(x)=mex-x2-2x(m^0),回答下列问题:

(1)当机<0时，证明/［七三］>原2；

⑵“X)上有4(%,%),8(々,%)<(七,力)三点(占,3,三均不为。且工产马w%)，满足为，%，工3成等差数列且

x3=3项.

(i)若不存在A8,C三点，使%,%，％成等差数列，求机的取值范围;

(ii)若〃2<0,再+加=0,g(x)=J,证明：g(m)+g(-/〃)>2.

题型07导数结合数列

【解题规律•提分快招】

导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量,

通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，己知的不等式常

由第一问根据特征式的特征而得到.

【典例训练】

一、解答题

1.(2025・云南大理•模拟预测)已知函数/(x)=lnx-〃a+1.

⑴若加=0,求函数“X)在点(ej(e))处的切线方程;

(2)若恒成立，求实数m的取值范围；

+7<e

(3)求证：VMGN,,"V2]'

2.(2025高三下•全国•专题练习)已知实数。>0,函数/(x)=e，-ax-l(e为自然对数的底数).

⑴求函数/(x)的单调区间及最小值；

⑵若/(%)>0对任意的尤eR恒成立，求实数a的值；

(3)证明：ln[l+2]+ln(l+4]+ln(l+-^-1+…+ln1+.,2"-------.

I2x3)(3x5)5x9)[(2K-'+1)(2Z,+1)JV'

3.(24-25高三下•安徽•阶段练习)已知函数f(无)=x+ln(lr).

⑴求函数的单调区间与极值；

⑵若数列｛4｝满足q=；,a“M=/(a“)，记S”为数列｛%｝的前”项和.求证:

①当〃上2时，一1<%<0；

3

②当〃之1时，S>——2In2.

2

9

4.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知函数/(力=31口%+依2-5%+3.

⑴讨论函数〃%)极值点的个数；

(2)当•=：时，数列何｝满足：求证：｛为｝的前〃项和满足“<S“<〃+|.

5.(24-25高三下•江苏•开学考试)设函数/(%)=8少+加-1.

(1)当。=g时，证明：/(x)20；

⑵若/(%)在无金[0,y)上为增函数，求Q的取值范围；

(3)证明：白

ztan-

♦>题里通关•冲高考<>

一、解答题

1.(24-25高三上•湖北武汉•期末)已知函数=］(：；“).

⑴当。=1时，求函数的单调区间；

⑵当x<l时，/(%)<!,求实数a的取值范围.

2.(2024.四川成都.模拟预测)设/⑺=9一，(2尤2+4依+4°).

(1)当a=2时，求〃x)的极小值；

⑵若的极大值为4,求a的值.

3.(2025•全国•模拟预测)已知函数〃x)=e'(lnx—a).

⑴若曲线y=/(x)在点(L〃l))处的切线与x轴平行，求实数。的值;

⑵若函数“X)在(I”内存在极值，求实数0的取值范围.

4.(24-25高三上•广西河池•期末)已知函数〃尤)=(x-l)e'-|尤2+1.

(1)当a=0时，求的极值；

⑵当。>1时，设看,无2为“X)的极值点，若/(占)+〃々)41-］，求。的取值范围.

5.(24-25高三上•河南漂河・期末)已知函数/(x)=a(x+a)-lnx.

⑴讨论函数g(x)=/(x)-/在区间1,e2上的零点个数；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+-

6.(24-25高三下•湖南•阶段练习)已知函数/(x)=(x-a)e，+a.

⑴求的单调区间；

(2)若aVl,证明：当x>0时，f(x)+ex>x+\wc+2.

7.(2024•江苏盐城•模拟预测)已知函数=其中。>0.

⑴若〃x)在(0,2］上单调递增，求”的取值范围；

⑵当a=l时，若玉+z=4且0＜占＜2,比较/(石)与/(9)的大小，并说明理由

8.(2024・四川宜宾.模拟预测)已知函数/"(x)=、-xliu,g(x)=a(x+liu)+o2-鼻.

⑴求〃x)过原点的切线方程；

(2)求证：存在使得/(x"g(x)在区间(1,+⑹内恒成立，且/(x)=g(x)在(1,+刃)内有解

9.(2025•全国•模拟预测)已知函数〃%)=罐+b一2-获"＞0且"I),当左=。时，/(x)＞0.

⑴求。；

⑵若“0)为〃尤)的极小值，求左的取值范围；

10.(24-25高三上•湖南娄底•期末)已知函数〃x)=e*,g(x)=lnx.

⑴证明：函数y=〃x)与y=g(x)的图象关于直线＞=苫对称；

(2)设尸(x)=/(x)g(x)-L

(i)判断函数尸(x)的单调性；

(ii)证明：VXG(2,+OO),.(x+1)＞尤2+*—:.

ee

11.(24-25高三上•河北•期末)已知函数/(x)=Mn(x+l)-sinAx,左wN*,awR.

(1)若左=1,函数在0弓上单调递减，求实数，的取值范围；

⑵若a=l,k=2,求函数〃x)在上的零点个数.

12.(24-25高三上•湖北襄阳・期末)设函数/(x)=x2+mln(x+l)(MeR).

⑴当帆=-4时，求函数的单调区间；

(2)已知函数/(x)有两个极值点，求加的取值范围；

⑶若函数〃力在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.

13.(23-24高三下•广东东莞•阶段练习)已知函数/(x)=x2+ar-xlnx的导函数为7''(%),若/'(x)存在两

个不同的零点