等差数列（原题版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第03讲等差数列

「学习目标

01

课程标准学习目标

1.通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽

1.理解等差数列的概念.象、逻辑推理和数学运算的核心素养；

2.掌握等差数列的通项公式及其应用；2.通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学

运算的素养；

3.理解等差中项的概念，了解等差数列的

3.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素

有关性质.

养。

02思维导图

等差数列的定义等差数列的通项及计算

等差数列的判断与证明

等差数列的通项公式等差中项及应用

等差数列等差数列的性质

等差中项等差数列的单调性及最值

构造法的应用

等差数列的性质

7实际问题中的等差数列

03知识清单

知识点01等差数列的定义

一般地，如果数列｛。“｝从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数%即斯+1—斯=4恒

成立，则称｛%｝为等差数列，其中d称为等差数列的公差.

【解读】(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.

(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序;

②这两项必须相邻.

(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等

差数列.

【即学即练1】下列数列是等差数列的是()

1111

A.1,一,一，B.a

3579

C.1,一1,1,-1D.0,0,0,0

知识点02等差数列的通项公式

1.通项公式：首项为田，公差为d的等差数列｛a”｝的通项公式为斯=01+("-1)4.

【解读】(1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差;

(2)在通项公式a“=ai+(〃-l)d中有四个量：a„,对,n,d,只要知道任意三个就可求出第四个.

2.从函数角度认识等差数列｛a“｝

若数列｛四｝是等差数列，首项为两，公差为4,则a“=/(M)=ai+(〃-l)d=〃d+(ai—3.

(1)点(〃，落在直线y=dx+(°i—④上；

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加4

3.等差数列与一次函数的区别与联系

一等差数列一次函数

通项公式(解析式)a〃=kn~\~b(n£N*)共x)=kx+b(k70)

定义域为N*或N*的子集｛1,2,3,〃｝,定义域为R,图象是一

不同点

图象是一系列孤立的点(在直线上)条直线

相同点等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式

4.等差数列的单调性

等差数列｛。“｝的公差为d,

⑴当办0时，数列｛a.｝为递增数列；

(2)当以0时，数列｛斯｝为递减数列；

(3)当d=0时，数列｛斯｝为赏数列.

【解读】(1)等差数列是定义域为N*或N*的子集｛1,2,3,4,成的一次函数的函数值.

(2))等差数列的通项公式不一定都是关于〃的一次函数，常数列a,a,a,....々的通项公式a.=a

为常函数.

5.等差数列通项公式的变形及推广

已知等差数列｛斯｝中的任意两项即,am(n,£N*,mWn),则

件“+1)4一,、/

。加=内+(加_])4台即刈力

所以①Q〃=Q掰+(〃一加)d(加，〃£N*),

〜a~a*「

②d=--n-----m(m,,且加W〃).

n-m

【即学即练2】已知等差数列｛小｝的首项的=4,公差d=—2,则通项公式斯=()

A.4—2〃B.2n-4

C.6—InD.2n—6

知识点03等差中项

（1）如果x,ay是等差数列，那么称/为x与丫的等差中项.

（2）在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项.

【即学即练3］（24-25高二上•上海宝山•阶段练习）-2和8的等差中项是.

知识点04等差数列的性质

一般地，如果｛%｝是等差数列，而且正整数s,p,4满足s+t=p+q,则4+《=%+他.

（1）特别地,如果2s=p+q,则2%=他+他.

（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即01+许=02+即-1=~=

。斤+a.一无+1—,".

（3）若但“｝是公差为d的等差数列，则

①｛c+a“｝（c为任一常数）是公差为d的等差数列；

②｛c0"｝（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；

③仅“+即+无｝住为常数，左GN+）是公差为2d的等差数列.

（4）若｛。“3｛仇,｝分别是公差为小,4的等差数列，则数列例见+“儿｝^,q是常数）是公差为pdi+qd?

的等差数列.

【即学即练4］（24-25高二上•湖南长沙•期中）已知等差数歹（］｛%｝满足6+%+。8=6,则%等于（）

A.1B.2C.4D.8

'P____________________

04

题型01等差数列的通项及计算

【典例1］（24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习）在等差数列｛%｝中，％=-1,%=3,则。1。=（）

A.10B.17C.21D.35

【变式1］（24-25高二上•江苏镇江•期中）等差数列｛%｝中，若出+生=4,4+&=5,则%+即）等于（）

A.9B.10C.11D.12

【变式2】（2024・山东•模拟预测）在等差数列｛%｝中，已知4=-9,%+%=-9,%T=9,贝！］〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【变式3】（23-24高二下•河南•期末）已知等差数列｛6｝满足/+。6=16,且%-%=4,则首项％=（）

A.-1B.0C.1D.3

【变式3】（24-25高二上•上海,期中）满足条件%-1,%-2q-30｛1,2,3｝的等差数列｛%｝共有（）个

A.2B.3C.4D.5

题型02等差数列的判断与证明

【典例2］（23-24高二下•海南•期中）下列数列的通项公式中，能得到｛%｝为等差数列的是（）

2

A.an=n+2B.an=2n+2

C.4=2〃+2D.an=log2n+2

【变式11（23-24高二下•上海宝山•阶段练习）已知数列｛«„｝是等差数列，下面的数列中①｛a2„｝②K+a„+l｝

③｛3%+1｝④｛㈤｝必为等差数列的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2】（2024高二•全国•专题练习）下列数列是等差数列的是（）

1111L厂厂

A.-,-,-,—B.1,G'y/s,V7

C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0

【变式3】（24-25高二上•吉林长春•期中）己知数列｛%｝和｛4｝都是等差数列，公差分别为4,d2,数列｛%｝

满足q=%+24.

（1）数列｛g｝是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.

（2）若㈤｝的公差为-2,低｝的公差为-3,%=5,4=8,求数列匕｝的通项公式.

题型03等差中项及应用

【典例3］（24-25高二上•全国,课后作业）己知等差数列｛%｝的前3项分别为"l,2a+l,a+7,则。的值为

（）

A.0B.2C.4D.9

【变式1】（24-25高二上•全国•随堂练习）若b是方程2x-3=0的两根，则。，b的等差中项为

33

A.—1B.—C.1D.一

22

【变式2】（24-25高二上•山东荷泽•阶段练习）在等差数列｛%｝中，%=5,&=3,则g=（）

A.1B.0C.-1D.-2

【变式3】（24-25高二上•全国•课前预习）已知加和2〃的等差中项是4,2加和〃的等差中项是5,贝|2加-〃

和2〃-加的等差中项是（）

A.8B.6C.4.5D.3

【变式4】（24-25高二上•上海松江•阶段练习）已知2〃构成等差数列，则实数。的值为.

题型04等差数列的性质

【典例4］.（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%｝为等差数列，且多+。5+。9=兀，则。。$（。2+。8）=

（）

A_1nV2r£口6

2222

【变式1】（24-25高二上•吉林长春•期中）已知等差数列｛%｝满足以+%+6=6,则%等于（）

A.8B.6C.4D.2

【变式2X24-25高三上•辽宁•期中）公差不为0的等差数列｛叫满足品+<=2%（%加,内V），则六+3

的最小值为（）

235

A.1B.—C.—D.一

344

1

【变式3】（24-25高二上,山东青岛,期中）等差数列｛%｝中，a1+a5+a9=11,贝Uai+a2"（）

A.12B.33C.36D.45

【变式4］（24-25高二上•重庆渝中•期中）已知在等差数列｛%｝中，〃2+〃5=&+11且％+%=。6+2,则数

列｛%｝的通项公式为（）

A.Q〃=3〃+2B.。〃二3〃-1

C.an=3n+5D.an=2n+3

题型05等差数列的单调性及最值

【典例5］（23-24高二下•安徽宿州•开学考试）已知等差数列｛%｝,则"｛%｝单调递增"是"％<出”的（）

条件

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式1】（23-24高二上•全国,课后作业）（多选）已知等差数列｛。“｝的公差d>0,则下列四个命题中真命

题为（）

A.数列｛七｝是递增数列B.数列｛|%|｝是递增数列

C.数列｛叫是递增数列D.数列｛%+3〃力是递增数列

【变式2］（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列为等差数列，且为=/=8,则％的最小值

为.

3

【变式3］（24-25局二上•江苏连云港•期中）已知等差数列｛前｝的首项的=11,公差2=当|曲|最小时,

n=.

题型06构造法的应用

【典例6】（24-25高二上•全国•课后作业）己知数列｛%｝的首项％=1,且满足%+］=:%+£,则此数列的

通项公式。“等于（）

A.2nB.H（H+1）

nn（n+l］

C.-D.——L

2r2n

【变式1】（24-25高二上•福建宁德•阶段练习）已知数列｛%｝的首项％=：,且满足N*）,

则。20的值为（）

1211

A.—B.—C.—D.—

79697875

【变式2］（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%｝满足（〃+％=3,且g=2,贝”.二（）

23232929

A.—B.—C.—D.—

20102010

【变式3］（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛〃〃｝中，%wO,4=g,2%q+i-%+%+i=0,则/=

（）

A.B.---C.-—D.---

103105107109

【变式4](2024•浙江,模拟预测)已知数列｛氏｝满足

(2〃一3)%-(2〃-=4n2一8〃+3(〃22/£N*),q=1,则。〃=()

A.2〃—2B.2rI?—nC.2,n—1D.(2/7—I)2

题型07实际问题中的等差数列

【典例7】（24-25高二上•福建龙岩•期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重

要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）

的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（）

A.3.1米B.3.8米C.4.4米D.5米

【变式1】（2024高二•全国•专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，

依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（）

A.107钱B.102钱C.101钱D.94钱

【变式2】（24-25高三上•湖北•阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重

器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，

常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水

位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为

A.4B.5C.6D.7

【变式3】（22-23高三上•辽宁•期末）我国古代数学家提出的"中国剩余定理"又称"孙子定理"，它在世界数

学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的

是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的

发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2,且被5除余3,

且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛七｝,那么此数列的项数为（）

A.17B.18C.19D.20

jiff强化训练

一、单选题

1.（23-24高二下・四川泸州•期中）等差数列5,8,11,14,…的第11项为（）

A.29B.32C.35D.37

2.（23-24高二下•云南迪庆•期中）在等差数列｛%｝中，&+。8=20,则〃6=（）

A.6B.8C.10D.12

3.（24-25高二上•全国•课后作业）已知数歹U｛〃/满足片片=2,且％=痛，则。；=（）

A.12B.16C.18D.20

（22-23高二下•山东日照•期中）已知。=£：［，8，则办6的等差中项为（）

4.

1

A.272B.V2C.1D-正

（24-25高二上,江苏苏州•阶段练习）如果〃"+1）=也”（"=1,2,3,..）,且/⑴=2,则"101）=（）

5.

A.49B.50C.51D.52

6.（22-23高三下•江苏连云港•阶段练习）已知数列｛4｝满足也+乌以=2,且％=1,%=9,则。2。23=

anan+23

（）.

1111

A.----B.----C.----D.----

2021202240454044

7.（23-24高二下•湖南湘西•期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.

假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人

共赔偿12斗粟.羊的主人说："羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的

主人说："骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半."马的主人说："马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗

总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（）

35

A.1B.C.2D.

22

8.（24-25高二上•福建龙岩•期中）公差不为。的等差数列｛%｝中，出+。8=〃加+%，则相〃的值不可能是

A.9B.16C.22D.25

二、多选题

9.（22-23高二上•甘肃金昌•期中）若｛%｝为等差数列，％=11，。5=5,则下列说法正确的是（）

A.。〃=15-2〃

B.-20是数列｛%｝中的项

C.数列｛6｝单调递减

D.数列｛%｝前7项和最大

10.（22-23高二上•甘肃武威・期中）已知等差数列｛6