高考数学重难点复习专练：立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型（原卷版）

重难点专题32立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题

型汇总

dnii

题型1体积最值......................................................................1

题型2线线角最值取值范围...........................................................2

题型3线面角最值取范围.............................................................5

题型4面面角最值取值范围...........................................................8

题型5外接球问题..................................................................11

题型6外接球截面相关..............................................................12

题型7正方体截面相关..............................................................13

题型8代数式最值取值范围..........................................................16

题型9向量相关最值取值范围.......................................................18

题型1体积最值

【例题1】（2021•全国•高三专题练习）在棱长为3的正方体力BCD-中，E是

的中点，P是底面4BCD所在平面内一动点，设P%,PE与底面4BCD所成的角分别为国,%

（%,%均不为0）,若出=%,则三棱锥P-BBIM体积的最小值是

A.1B.|C.|D.

【变式1-1】1.（2021・全国•校联考二模）在长方体4BCD—4历0。1中，AB=4,BC=3

,=5,M,N分别在线段441和4C上，\MN\=2,则三棱锥D—MNQ的体积最小值为

A.4B.3V2-1C.4V3-2D.6V2-4

【变式1-1】2.（2021・全国•高三专题练习）如图，已知直四棱柱4BCD-4出道1。1的所

有棱长等于1/ABC=60°,。和Oi分别是上下底面对角线的交点，”在线段。Bi上，OH=3

”为，点M在线段BD上移动，则三棱锥M-七。1”的体积最小值为

【变式1-1】3.（2023春广东•高三校联考阶段练习）设M,N,P分别是棱长为2的正方

体力BCD-4/道山1的棱CD,C1D1,的中点,R为BD上一点,且R不与D重合,且M,

N,P,R在同一个表面积为S的球面上,记三棱锥N-MPR的体积为V,贝岭的最小值是.

【变式1-1】4.（2020・全国•高三竞赛）一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们

有公共的内切球.记圆锥的体积为l,圆柱的体积为6，且匕=02.则帕勺最小值是.

【变式1-1】5.（2021・福建・统考一模）如图，在四棱锥E—4BCD中，EC1底面4BCD,

FD//EC,底面4BCD为矩形，G为线段4B的中点，CG1.DG,CD=2,DF=CE,BE与底面

4BCD所成角为45°,则四棱锥E-4BCD与三棱锥F-CDG的公共部分的体积

为

题型2线线角最值取值范围

#«5

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归

为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,4，当所作的角为钝角时，应取它的补角作

为两条异面直线所成的角.

【例题2】（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥2—BCD中，BC=BD=AC=AD=10,

AB—6,CD—16,点P在平面4CD内，且BP=V30,设异面直线BP与CD所成角为a,则

sina的最小值为（）

A主回B邈（：型D在

【变式2-1】1.（2022•全国•高三专题练习）如图，矩形48C。中，AB=4,BC=2,E为边

2B的中点，沿DE将41DE折起，点4折至公处（冬任平面4BCD）,若M为线段&C的中点,

则在/4DE折起过程中，下列说法错误的是（）

A.始终有M8〃平面4DE

B.不存在某个位置，使得41c1平面4DE

C.三棱锥公-AOE体积的最大值是竽

D.一定存在某个位置，使得异面直线BM与&E所成角为30°

【变式2-1】2.（2021•全国•高三专题练习）如图，已知等边三角形ABC中，AB=AC,0

为BC的中点，动点P在线段。8上（不含端点），记乙4PC=。，现将2Mpe沿4P折起至/4PO,

记异面直线8。与AP所成的角为a,则下列一定成立的是

c

71Ji

A.0>aB.3<aC.3+a>~D.3+a<-

【变式2-1】3.（2020・全国•高三专题练习）将正方形4BCD沿对角线4C折起，并使得平面

4BC垂直于平面4CD,直线4B与CD所成的角为

A.90°B,60°C.45°D,30°

【变式2-1】4.（2021•浙江•校联考二模）如图，正方体〃的棱长为1,线

段当小上有两个动点区尸，且EF=0.6,则当区F移动时，下列结论中错误的是（）

A.4E〃平面

B.四面体ACEF的体积为定值

C.三棱锥4-BEF的体积为定值

D.异面直线4尸、BE所成的角为定值

【变式2-1】5.（2020•全国•高三专题练习）将正方形ABCD沿对角线4c折起，当以4B,C,D

四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线力。与BC所成的角为

A.ZB.£7Df

【变式2-1】6.（2021•全国统考一模）如图所示的四棱锥P-4BCD中,底面力BCD与侧面PAD

垂直，目四边形4BCD为正方形，4D=PD=PA,点E为边AB的中点，点F在边BP上，目

BF=^BP,过C,E,F三点的截面与平面PAD的交线为l,则异面直线PB与1所成的角为（）

【变式2-1】7.（2023・全国•高三专题练习）a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角

三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有

下列结论：

①当直线AB与a成60。角时，AB与b成30。角；

②当直线AB与a成60。角时，AB与b成60。角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）

题型3线面角最值取范围

【例题3】（2020•全国•高三专题练习）在正方体力BCD-公8道山1中，E,尸分别为棱

BBi的中点，M为棱（含端点）上的任一点，则直线ME与平面小EF所成角的正弦值的

最小值为

【变式3-1]1.（2021•浙江绍兴•校联考二模）点P为棱长是2的正方体ABCD-公为的外

的内切球。球面上的动点，点M为BiCi的中点，若满足DPI则BiP与面CDP所成角的

正切值的最小值是

A.|B.C.^|^D.当

【变式3-1】2.（2021・全国•高三专题练习）如图所示，直平行六面体4BCD-&BC1D1的

所有棱长都为过体对角线的截面与棱和分别交于点、

2,^DAB=60°,BDiS4AlCCiEF,

①四边形BED*的面积最小值为2遍；

②直线EF与平面BCM/所成角的最大值为2

③四棱锥扬-BED*的体积为定值；

④点%到截面S的距离的最小值为手.

其中，所有真命题的序号为（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【变式3-1]3.（2022・全国•高三专题练习）在矩形4BCD中，=4,AD=3,E为边

上的一点，DE=1,现将44BE沿直线BE折成4&BE,使得点4在平面BCDE上的射影在四

边形BCDE内（不含边界），设二面角A—BE—C的大小为8,直线AB,AC与平面BCDE所

成的角分别为则

A.p<a<0B,P<0<a

C.a<0<pD.a<p<0

【变式3-1】4.（2021・全国•高三专题练习）已知正三棱锥P-ABC（底面是正三角形，顶

点在底面的射影是正三角形的中心），直线BC〃平面a,E,F,G分别是棱P4AB,PB上一点（除

端点），将正三棱锥P-ABC绕直线BC旋转一周，则能与平面a所成的角取遍区间［0,引一切

A.EFB.FGC.EGD.EF,FG,EG中的任意一条

【变式3-1】5.（2019•河南郑州•校联考一模）已知圆锥的母线长为2r,底面圆半径长为r,

圆心为。，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径.若点C是底面圆周上一点，且0C

与母线PB所成的角等于60。，则MC与底面所成的角的正弦值为（）

B.争婷

C-f

D.白婷

【变式3-1】6.（2021秋•黑龙江佳木斯・高三佳木斯一中校考阶段练习）下图中的几何体是

由两个有共同底面的圆锥组成.已知两个圆锥的顶点分别为P、Q,高分别为2、1,底面

半径为1.A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）.下列四个结论:

①三棱锥P-4BQ体积的最大值为3；

②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为言

③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为笔；

④直线BQ与AP所成角的最大值为方；

其中正确的结论有.（写出所有正确结论的编号）

【变式3-1】7.（2021・全国•高三专题练习）已知圆锥的顶点为S,。为底面中心，4,B,C

为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，SA=4B,M为S4的中点.设直线MC与平面

S4B所成角为a,贝！Jsina的最大值为

题型4面面角最值取值范围

【例题4】（2023•全国•高三专题练习）如图，正方体ABCD-&B1C1D1的棱长为2,E,F分

别是棱4公,CCi的中点，过点E,F的平面分别与直线交于点G,从M,P为侧面BCCi

Si（含边界）上的一个动点.给出以下命题:

①四边形EGFH一定为菱形；

②四棱锥Ci-EGF”的体积为定值；

③平面EGF”与平面4BCD所成的角不大若；

④|PDi|+|PM|的最小值为m.

其中正确命题的序号是

【变式4-1J1.（2020•浙江•高三统考期末）已知直三棱柱ABC-ABC'的底面是正三角形,

侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA，上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角

为a,直线PB与直线B'C所成的角为B，二面角P-B,B-C的平面角为丫，则（）

A.a>p>yB.a<p<yC.a>丫邛D.p>a>y

【变式4-1]2.（2020秋•新疆昌吉•高三校考期中）已知四边形力BCD中，乙4=“=90。,

BC=CD,在将44BD沿着BD翻折成三棱锥A-BCD的过程中，直线4B与平面BCD所成角的

角均小于直线4D与平面BCD所成的角，设二面角力-BC-D,A-DC-B的大小分别为a,

B,则

A.a>。B.a<。C.存在a>。D.a,夕的大小关系无法确定

【变式4-1】3.（2021•浙江嘉兴统考模拟预测）如图，矩形4BC0中,AB=1,BC=店,

E是线段BC（不含点C）上一动点，把沿4E折起得到zMB'E,使得平面B'AC,平面

ADC,分别记B'A,与平面ADC所成角为a/,平面BNE与平面4DC所成锐角为仇则

A.0>a>B.3>2aC.9>D.tan。>2tana

【变式4-1】4.（2023•全国•高三专题练习）如图，在单位正方体力BCD-4/道山1中,

点P在线段4小上运动，给出以下四个命题：

①异面直线41P与BCi间的距离为定值；

②三棱锥。-BPCi的体积为定值；

③异面直线QP与直线CBi所成的角为定值；

④二面角P-BQ—。的大小为定值.

其中真命题有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-1】5.（2020・上海•高三专题练习）设三棱锥U-4BC的底面是正三角形，侧棱长

均相等，P是棱匕4上的点（不含端点），记直线PB与直线4c所成的角为a,直线PB与平面4BC

所成的角为0,二面角P-AC-B的平面角为y,则三个角a、队y中最小的角是.

题型5外接球问题

【例题5】（2022•四川遂宁・统考一模）设半径为R的球面上有4BCD四点，且4B/C/D两

两垂直，若S44BC+S/\4C0+S/\4B£）=8,则球半径R的最小值是（）

A.2B.V2C.2V2D.4

【变式5-1】1.（2022秋・江苏南京・高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥P-4BCD

中，底面4BCD是边长为2仃的正方形，侧面为正三角形，则其外接球体积最小值为

（）

A.竽兀B.争r

C.8V67TD.4V37T

【变式5-1]2.（2023・四川宜宾・宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）在三棱锥4-BCD

中，4D1平面BCD,4ABD+ACBD=^,BD=BC=1,则已知三棱锥4-BCD外接球表面

积的最小值为（）

A.2「+i7B.C.2每1TD.

4T24T2

【变式5-1]3.（2019秋广西•高三校考阶段练习）在三棱锥4-BCD中，AB=AC,DB=

DC,AB+DB=4,ABA.BD,则三棱锥力—BCD外接球的体积的最小值为（）

As近RB5&~兀68«兀DBWTI

【变式5-1]4.（2023・全国•高三专题练习）在棱长为2的正方体4BCD-4/©以中，E,F

分别为2B,BC的中点，则（）

A.平面。J.EFII平面BAiG

B.点P为正方形AiBiCWi内一点当DP〃平面&EF时，DP的最小值为呼

C.过点Di，E,F的平面截正方体力BCD-力iBiCi%所得的截面周长为3近+2V5

D.当三棱锥&-B第的所有顶点都在球0的表面上时，球。的表面积为12n

【变式5-1】5.（2020・湖北•校联考一模）已知三棱锥P—ABC满足241底面4BC,在/4BC

中，AB=6,AC=8,ABYAC,。是线段4c上一点，S.AD=3DC,球。为三棱锥P—ABC

的外接球，过点。作球。的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40兀，则球。

的表面积为（）

A.72兀B.86兀C.112TTD.128兀

【变式5-1]6.（2022秋•新疆乌鲁木齐•高三校考阶段练习）鲁班锁是中国传统的智力玩具，

起源于古代汉族建筑中首创的樟卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）

啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表

上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90。樟卯起来，如图，若正四棱柱的高为6,底面正

方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为

（容器壁的厚度忽略不计）

A.367rB.40TTC.41TTD.447r

题型6外接球截面相关

【例题6】（2021秋•河北唐山・高三唐山一中校考期中）四面体力BCD的四个顶点在同一球面

上中，4B=BC=CD=DA=4,AC=BD=2或，E为AC的中点，过E作其外接球的截面,

则截面面积的最大值与最小值的比为（）

A.5:4B.V5：2C.V5：V2D.5:2

【变式6-1]1.（2022秋・云南・高三云南师大附中校联考阶段练习）已知四棱锥P-ABCD

的底面ABCD是矩形，且该四棱推的所有顶点都在球O的球面上，PA±2p®ABCD,PA=

AB=42,BC=2，点E在棱PB上，且丽=2PE,过E作球O的截面，则所得截面面

积的最小值是

【变式6-1]2.（2021秋•山东潍坊・高三山东省潍坊第四中学校考开学考试）正△4BC的

三个顶点都在半径为2的球面上,球心。到平面4BC的距离为1,点D是线段BC的中点，过D

作球。的截面，则截面面积的最小值为

【变式6-1】3.（2019•湖北•高三校联考期中）已知三棱锥S-ABC的所有顶点在球。的球

面上，SA1平面力BC,44BC是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2,。是BC的中点，过点

。作球。的截面，则截面面积的最小值是

【变式6-1】4.（2023春•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知菱形4BCD边长为6,

Z4DC=E为对角线AC上一点，4E=g.将△4BD沿BD翻折到△4BD的位置，E移

动到且二面角4—BD—4的大小为三，则三棱锥4—BCD的外接球的半径为；过民

作平面a与该外接球相交，所得截面面积的最小值为

【变式6-1】5.（2023・全国•高三专题练习）已知空间四边形4BCD的各边长及对角线BD的

长度均为6,平面4BD1平面CBD,点M在AC上，目4M=2MC,那么4BCD外接球的半径

为；过点M作四边形力BCD外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为.

题型7正方体截面相关

【例题7】（2021・浙江•高三专题练习）正四面体4BCD的棱长为4,E为棱力B的中点，过E

作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是

A.47TB.87TC.127rD.167r

【变式7-1]1.（2021・湖南株洲•校联考一模）过棱长为1的正方体的一条体对角线作截

面，则截得正方体的截面面积的最小值是

A.1B.V2C.D,

【变式7-1】2.（多选）（2022秋•湖南常德•高三湖南省桃源县第一中学校考期中）如图,

正方体4BCD-公名的小棱长为1,点P是线段上的一个动点，下列结论中正确的是

（）

A.存在点P,使得BPIPCi

B.三棱锥C-Bi%P的体积为定值3

C.若动点Q在以点B为球心，整为半径的球面上，贝！JPQ的最小值为空

D.过点P,B,前作正方体的截面，贝峨面多边形的周长的取值范围是［3VX2+2期

【变式7-1】3.（2022秋•吉林长春•高三长春市第六中学校考期末）棱长为1的正方体

4BCD-AiBiCWi内部有一圆柱。1。2,此圆柱恰好以直线4cl为轴，且圆柱上下底面分别与

正方体中以4,七为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）

A.在正方体ABC。-41B1clz内作与圆柱。1。2底面平行的截面，则截面的最大面积为§

B.无论点。1在线段4cl上如何移动，都有BOilBiC

C.圆柱0。2的母线与正方体4BCD-a/iCi%所有的棱所成的角都相等

D.圆柱。1。2外接球体积的最小值为孩

【变式7-1】4.（多选）（2023•全国•高三专题练习）在正方体4BCD—中，AB

=1,点P满足而=ACD+近1，其中4e[0,1],fle[0,1],则下列结论正确的是（）

A.当B1P〃平面&BD时，B1P与CD1所成夹角可能为方

B.当4=4时，|而|+的最小值为退|四

C.若BiP与平面”山道所成角为点则点P的轨迹长度为与

D.当2=1时，正方体经过点&、P、C的截面面积的取值范围为惇，闾

【变式7-1】5.（多选）（2022・安徽•校联考二模）在底面边长为2、高为4的正四棱柱

4BCD-力lBiCWi中，。为棱力遇上一点，且公。=%i4PQ分别为线段上的动

点，M为底面4BCD的中心，N为线段加的中点，则下列命题正确的是（）

A.CN与QM共面

B.三棱锥"DMN的体积为g

C.PQ+Q。的最小值为孚

D.当嬴=泅刀时，过4Q,M三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为吟®

【变式7-1]6.（2021•浙江温州统考二模）如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4,

A4i=1,设E为底面ABCD的中心，且方=AM（0<A<1）,则该长方体中经过点公£F

的截面面积的最小值为

题型8代数式最值取值范围

【例题8】（2022・四川成都•石室中学校考模拟预测）已知正四面体4BCD的棱长为痣P是棱

上任意一点（不与4B重合），且点P到面"D和面BCD的距离分别为x,y,则:+和最小值

为

【变式8-1】1.（2019・湖南•高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P—4BCD中，PDL平

面4BCD,AB1AD,AB//CD,AD=CD=PD=2,AB=1,E,F分另（］为棱P&PB上一点，

若BE与平面PCD所成角的正切值为2,则（4F+EF）2的最小值为

【变式8-1】2.（2022秋・广东广州•高三校考期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最

有规律的立体结构）是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边

形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、

正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体4BCDEF的棱长都是2（如图），P、Q分别为

DF、BF的中点，则而♦而=.若丽=2GB,过点G的直线分别交直线FE、FB于M、N

两点，设而=血丽，丽=71两（其中小、九均为正数），贝*+2的最小值为

【变式8-1】3.（2021•河南•高三校联考阶段练习）在正方体力BCD-4$1的。1中，点E6

平面A&BiB，点F是线段411的中点，若DiElCF,则当4EBC的面积取得最小值时，

S^EBC

S四边形ABCO

A-5R0-2Jr—5UD-1—0

【变式8-1]4.（2021•全国•高三专题练习）已知直三棱柱4BC-公/的的侧棱长为6,且

底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱分别交于三点M,N,

Q,若4MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）

A.2V2B.3C.2V3D.4

【变式8-1】5.（2019秋•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥P—ABC中，P4、PB、PC

两两垂直，且P4=3,PB=2,PC=1.设M是底面4BC内一点，定义/（M）=（机，n,p）,

其中“n、P分别是三棱锥M—P4B、三棱锥M—PBC、三棱推M—PC碓体积.若f（M）=（

1，%,y）,民+：）18恒成立，则正实数a的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式8-1】6.（2021秋•四川成都・高三石室中学阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为

1的正方形，平面ABCD,FBI平面ABCD,且ED=FB=1,G为线段EC上的动

点，则下列结论中正确的是

①EC1AF;②该几何体外接球的表面积为3兀；

③若G为EC中点，则GB〃平面AEF;

④"2+BG2的最小值为3.

【变式8-1】7.（2020•全国•高三专题练习）已知四面体ABCD的所有棱长都为e,0是该

四面体内一点，且点。到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为怖

和y,则鸿的最小值是

【变式8-1】8.（2021・全国•高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6.四边

形4EFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点尸的动直线/翻折，使翻折后的点C在平

面2EFG上的射影的落在直线48上，若点C在折痕比射影为则笑钠最小值

32

题型9向量相关最值取值范围

【例题9】（2021秋・浙江宁波•高三统考期末）在空间直角坐标系中，初=（2a,2瓦0）,赤=

（c-1&1）,。为坐标原点，满足a?+b2=l,c2+d2=4,则下列结论中不正确的是

A.。4。8的最小值为-6B.O4OB的最大值为10

C.|最大值为任D.|AB|最小值为1

【变式9-1】1.（2021•浙江•模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2,半径为打的球。过点

D,MN为球。的一条直径，则4M,4N的最小值是.

【变式9-1】2.（2021春・上海•高三校联考阶段练习）已知。瓦茨为空间三个向量，又。B是

两个相互垂直的单位向量，向量满足回=3,c-a=2,c-b=l,则对于任意实数x,y,

\c—xa—y臼的最小值为

【变式9-1】3.侈选）（2023秋诃南•高三校联考开学考试）已知球。的半径为2,点4

B,C是球。表面上的定点，且瓦5-0B=0B-0C=-l,0C-0A=-2,点。是球。表面上的动

点，满足布•而=0,则（）

A.有且仅有一个点。使得NC4D=30。B.点。到平面4BC的距离为亨

C.存在点。使得BD〃平面AOCD.丽・丽的取值范围为[-2,2]

【变式9-1】4.（2021・湖南长沙•高三长郡中学阶段练习）已知半径为1的球。内切于正四

面体4-BCD,线段MN是球。的一条动直径（M,N是直径的两端点），点P是正四面体4-BCD

的表面上的一个动点，则两•丽的取值范围