复数的三角形式（解析版）

第16讲复数的三角形式

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课程标准课标解读

通过复数的几何意义，了解复数的三角表

示，了解复数的代数形式与三角表示之间1.了解复数的三角形式的概念；

的关系，了解复数乘、除运算的三角表示2.了解复数三角形式的乘除法。

及其几何意义

四%’知识精讲

知识点oi复数的三角形式的概念

1.复数的辐角

⑴定义：以无轴的非负半轴为始边、向量次所在的射线（起点是原点。）为终边的角。叫作复数z=a+bi的辐角.

（2）辐角主值

[0,2兀）内的辐角0的值叫作复数z=a+bi的辐角主值,记作argz,即（0Wag纪2兀），非零复数与它的模和辐角主

值——对应.

（3）常用的有关辐角主值的结论

兀37r

当时，arga=0；arg（-〃）=匹，arg（出）,arg（-山）=5-；〃喈0可以是[0,2兀）中的任一角.

2.复数相等：两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.

3.复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模厂和辐角。来表示:z=rfa?s8+祖力。），其中ra2+万,cosO=—,sin3=—,

rr

4cos0+is血。）叫作复数z的三角形式,而〃+万叫作复数Z的代数形式.

【即学即练。若〃<0,则〃的三角形式为（）

A.«（cos0+isin0）B.a（cos»+isin»）

C.-q(cos万+isin%)D.一4(cos;r-isin乃)

【答案】C

【分析】由。对应的辐角主值可得其三角形式.

【详解】。＜0,，辐角主值为万，则其三角形式为-a(cos;r+isin乃).故选：C.

知识点02复数的三角形式的乘除法

1.复数的乘法与乘方

把复数zi，Z2分别写成三角形式zi=n(cos加+屈〃01),22=厂2・(。。5。2+由，汾2)，则zrzz=[n(cos9i+加加01)][r2(cosGi+isin

02)]=nr21cos(0l+92)+z'si〃(d+0?)].

这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.

上面的结果可以推广到〃个复数相乘：

z；-z2-z3...zn=h(cosq+zsin^1)]-[/;(cos^2+zsin02)]....[z;(cos^n+zsin^()]

rr

=r2.,…。,卜。(优+%+…+，)+，sinei+%+•••+4/

因此，如果公=4=…=q=r；*=%=…=9n=e,

就有上(cose+isin。)]"=rn(cosn^+zsinn^)(neN*)

这就是说，复数的〃(〃eN*)次幕的模等于这个复数的模的w次幕，它的辐角等于这个复数的辐角的红倍.

2.复数的除法

设zi=McosOi+小力仇)，Z2=r2(cosQi+isin02),则zi除以Z2的商：

用""=二即(4-幻+汴出(4-幻]

々(cos%+zsin，2)G

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减

去除数的辐角所得的差.

【即学即练2]复数z=(cos25+isin25)(cos50+isin50)的三角形式是()

A.cos(-25)+isin(—25)B.sin75+icos75

C.cos15+isinl5D.cos75+isin75

【答案】D

【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.

【详解】z=(cos25+isin25)(cos50+isin50)=cos(25+50)+isin(25+50)=cos75+isin75.

故选：D.

I」能力拓展

考法01复数的三角表示

【典例1】棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)创立.指的是设两个复数(用三角函数形式

表示)4=Mcos'+isin4),z2=zj(cos^+isin6^),则=彳弓［cos('+G2)+isin(4+幻］.已知々的辐

角主值为3，%的辐角主值为利用棣莫弗定理猜测Z|Z?的辐角，并证明.

OJ

7T

【答案】x+2E,%eZ；证明见解析

2

【分析】利用复数的代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式进行证明即可.

TT

【详解】猜想Z］Z2的辐角为5+2E«£Z,证明如下：

71..71

依题意，得％="cos£+isin£),z2=r2cos—+isin—

33

所以ZjZ2=彳［cos^+isinV々［cos］+isin^J

兀.2.兀.兀..兀71.

=|cos—71cos—+1sin—sin—+1sin—cos—+17c1os.—71s।m—

1\63636363J

(兀兀.兀.兀兀兀71.兀、1

cos—cos---sin—sin—+isin—cos—+cos—sin—

［(6363j6363〃

(兀..兀、

=cos-+isin-I,

jrjr

故4z的辐角主值为万，则其辐角为5+2E,左eZ.

考法02复数乘除法的三角表示

【典例2】在复平面内，点A对应的复数是6+i,向量OA绕着点。按逆时针方向旋转120。得到向量OC.

(1)求点C对应的复数zO；

(2)已知点8对应的复数z满足|z-z0|=l,且(C8,OC)=120。，求复数z.

【答案】(l)z0=—石+i

(2)z=-+3i或z=—>/3

22

【分析】(1)利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解；

(2)根据题意，由向量eg对应的复数4=20・；［85(-120。)+1$m(-120。)］或4=2()-：(3120。+1$出120。)求

解.

【详解】(1)解：因为点A对应的复数是6+i,向量。4绕着点。按逆时针方向旋转120。，

所以z0=(豆+i)•(cos120°+isin120。)=-g+i；

(2)因为点2对应的复数z满足|z-z0|=l,且(C2,OC)=120。，

所以向量CB对应的复数Z1=z°-Jcos(-120o)+isin(-12()o)］=¥+；i,

或Z］=z。q(coslZOo+isinlZO。)=-i,

OB=OC+CB=或OB=OC+CB=bg,0),

(22)

z=+—ifiKz=-A/3.

22

fii分层提分

题组A基础过关练

1.欧拉公式ei，=cos_x+isiiu建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结

论：①e加+1=0;②"才‘si啥］"|^+isin|^j"|^+isin|^j=i.下列说法正确的是()

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

【答案】A

【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②

【详解】@e17t+1=COSTC+isinjc+1=—1+1=0

7i..7iV2兀..2KA(9兀..9兀1

(1010人1010J1010)

i2Liai电仁+型++组色9兀9兀

=e10xe10xxe10=e11010loJ=e2=cos—+isin—=i

22

则①②均正确

故选：A

2.设函数z=F+/,那么维gz是()

5-兀-2

A.-7iB.—C.一兀D.——兀

6333

【答案】C

【分析】利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出.

【详解】z=i2^-^/3i=-l^-^/3i=2(-^-+^-i)=2(cos^+isin^-),argz=.

故选：C.

3.复数z=Ti化成三角形式，正确的是()

.(3兀..3兀、(3兀..3兀)

A.41cos—+isin—IB.-41cos—+isin—I

(3兀..3兀、(3兀..3兀、

C.41cos--1sin-ID.-41cos--isin-I

【答案】A

【分析】求出复数z的模与辐角主值，从而即可求解.

【详解】解：设复数z的模为r,则厂=府+(5=4,argzg,

所以复数z=Ti的三角形式为z="cos；"+isin^J.

故选：A.

4.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i.z=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-1-i

【答案】B

【分析】根据题意可得z=l+2i,然后计算i-z即可.

【详解】由复数的几何意义可知，z=l+2i,所以i-z=i.(l+2i)=-2+i,

故选：B.

TT

5.写出一个argz=：的复数____.

6

【答案】立+Li(答案不唯一)

22

JT

【分析】根据复数三角形式写出一个满足argz=*的复数即可.

TT

【详解】由题设z="cose+isin。），＜0=argz=—,而厂20,

6

所以z=cos巴+isinN=3+，i满足要求.

6622

故答案为：心+^i（答案不唯一）

22

6.将复数一2表示成三角形式是.（用辐角主值）

【答案】2（cos;t+isin。）

【分析】直接写出复数一2的三角形式即可.

【详解】-2=2（cos7t+isinji）；故答案为：2（cos7t+isin7t）

7.复数l+（i为虚数单位）的辐角主值为

【答案】j

【分析】将复数写成三角表达形式即可.

【详解】l+gi=2[cos]+isinT，故答案为：g

8.若复数z=-若+i（i为虚数单位），则argz=

【答案】斗5兀

0

【分析】将复数化为三角形式即可得辐角.

【详解】设复数Z的辐角为凡

由z=-&+i=2（-3+匕=cos—+isin—

122JI66J

所以argz=

故答案为:

9.已知将复数z=l+itan6表示成三角形式.

【答案】当。｛。,m一力3+四）；

当,z=----^[cos（7r+e）+isin（万+6）]

【分析】求出复数的模长，根据oq。，，

,分两种情况，用复数的三角形式zr（cos^+isin^）写

出即可.

【详解】因为复数—，则比工=「

vcos20|cos^|

当时，cos0>0,z=l+itan°=--—(cosO+isinO)；

V2)cos。

当，工，；r],cos<0，z=1+itan=------(-cos6^-isinO')=------[cos(^+^)+isin(7r+^)l.

[2)cos。cos3

10.计算：A/^(cos]+isin31cos,+isin.

【答案】3+3i

【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可

【详解】原式=3后故答案为：3+3i

题组吕能力提升练

TT

1.将复数i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转得到向量0M，则对应的复数是（）

【答案】A

【分析】根据复数i的辐角及旋转过程确定对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可.

【详解】iargi=|,顺时针旋转（，则对应辐角为£,

所以0M对应的复数是cos工+isin^=+匕.

6622

故选：A

2.复数z=V^-"的三角形式是（）

A.2^cos—+isin—B.2]3)..34

cos---i-isin

44

C2|cos-^-+isin—ID2|cos-+isin—

•I44JV44

【答案】c

【分析】根据复数的三角形公式z=«cose+isin。）可求解.

06

【详解】解：V2-V2i=7(>/2)2+(-72)2x

7(V2)2+(-V2)27(V2)2+(->/2)2

(3

1--2-----------2----1J

故选：C.

3.向量OZ1,OZ2,分别对应非零复数z/,Z2,若OaLOZ,,则孑是()

A.负实数B.纯虚数

C.正实数D.虚数a+历(a,bGR,存0)

【答案】B

【分析】设z/=〃(cos6/+isin。/)、Z2=，2(cos仇+isin02),由OZ】_LOZ?可得4=%±90°,

利用复数除法运算的三角表示即可得出结果.

【详解】由题意得，

设复数z/=〃(cosO/+isin。/),Z2=r2(cos02+isinfc),

由OZ]_LOZ2，得4=2+90°或4=2-90°,

Z]_q(cos4+isin4)

z2G(cos%+isin

=—[cos©-劣)+isin(q-92)]

弓一一

=二[cos(±90°)+isin(±90°)]=±4i

r2ri

所以五为纯虚数.

故选：B.

4.欧拉公式/=cose+isin6(e为自然对数的底数，i为虚数单位)由瑞士数学家E"/〃(欧拉)首先发现.

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥“，则

()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【分析】根据题已知中欧拉公式e瓶=cos9+isine,直接计算可得答案.

【详解】由题意得：$=cos万+isini=-1,故选：A

5.已知z的辐角主值是:，则它的共物复数的辐角主值是____.

4

【答案】号7兀

4

【分析】根据复数的三角表示可得z=从而可得其共匏复数

\7

彳=/卜?-冬]=/cos=+sin?i],即可得共舸复数的辐角主值.

22144)

【详解】解：z的辐角主值是:，贝i]z=r"：+isinT='孝+孝i

r>0,

7兀.7兀.

所以共舸复数彳=cos——4-sin——1

44

7兀

则共朝复数的辐角主值是7

7兀

故答案为：7

6.计算，并用复数的代数形式表示计算结果：2cos'+isin乌

66

【答案】-鲁总

【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可.

_________]

-5(5兀..5兀

2cos---Fisin——

66

V31.

-------1

6464

故答案为：

兀..兀9兀..9兀

7.表示复数1+i的三角形式：①—+1sin—；②也cos+1S1I1—•(3)——+isin——

44444

④0"；+isi吟J.其中正确的个数是.

【答案】2

【分析】根据复数1+i的三角形式一一判断四个表达式，即可得答案

【详解】复数l+i=&(2+,i),模为应，对应的点(1,1)在第一象限,

设e为一个幅角，贝Ijcose=走,sin6=受，幅角主值为:，

224

9兀..9兀、

故复数1+i的三角形式为3"os(+isin：J,或---Fisin——,

44)

故①③正确，②④中角前后不一致，不是复数的三角形式,

故正确的个数是2个,

故答案为：2

8.任意一个复数Z都可以表示成三角形式即。+历=r(cose+isin。).棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗

(1667—1754年)创立的，指的是设两个复数(用三角函数形式表示)Z]=Mcosa+isinq),

z2=^(cos6^+isin6^),则：=楂[cos(65+a)+isin(q+幻],”已知复数z=；+5i,则z"+z=.

【答案】1

【分析】将Z化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简"7+Z，即可得结果.

【详解】由z=工+^^1=cos&+isin&,

2233

所以z"+z=z(z16+1)=(cosy+isiny)(cos+isin+1),

H16K..16KJ4兀..4兀1IV3.5兀..5兀

Hucos----hisin----i-l=cos---hisin---\-l=------1=cos---Fisin—，

33332233

LLt、r17|兀••115兀..571).

所以z+z=[cosy+1sin—11cos—+1sin—I=cos2兀+1sm2兀=I.

故答案为：I

9.求下列复数的模和辐角主值.

⑴Z=(l-4)5；

I(兀..兀

⑵z=—cos---isin—.

一2(44J

【答案】(I)复数Z的模为32,辐角主值为三

(2)复数z的模是1辐角主值为7兀:

24

【分析】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.

【详解】⑴(1一4)5=25口_四]=32xfcos5^+isin57^']=32fcos—+isin—

(22)(33)\33

=32(cos三+isin,

复数z的模为32,辐角主值为三.

(2)

1(兀..兀)0V2.

z=—cos—isin—1

2144j44

设辐角为6，贝Ijtan6=-1,

・・,点z一，--在第四象限,

I44J

7717兀

tan0=tan——,0=---F2kji(kGZ),

44

.7兀

..argz=­.

10.已知复数z=（〃?+3）-（根+l）i已在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.

（D求实数加的取值范围

（2）当机=-2时，求复数z的三角表示

（3）若复平面内，向量OZ对应（2）中的复数z,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ|,求向量对

应的复数4（结果用代数形式表示）

【答案】⑴

71.71.

⑵z=应cos——i-sin—1

44

ZQX1+^31—y/3.

(3)Z]—1

22

m+3＞0

【分析】（1）根据题意得_（机+1）＞0,再求解集即可；（2）根据题意得z=l+i,再分别求出厂，cos。，sin。

a2+b2=2

即可求解；（3）设根据题意得_1,再分析求解即可.

V2X7«2+b22

【详解】（1）因为复数z=（m+3）-（机+l）i已在复平面内对应的点在第一象限,

m+3＞0.、

所以[_（加+1）＞0,解得一3〈根＜—1,所以实数机的取值范围为：（―3,—1）

(_____1、历

(2)当m=—2时，z=l+i,所以r=Jf+]2=母,cos0=sin0==—

71.71.

所以。=?,所以z=3cos——Fsin—1

44

（3）根据题意得OZ=（1,1）,设其旋转60。后对应向量。Z]=（M）,

1+石1-V3

a2+b2=2a=--------a=--------

或＜2

所以a+b1,解得2

l1-5/31+^/3

6.义yja1+622b=--------b=--------

22

又因为绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ；,所以OZ；对应的点在第四象限,

1+V3

a=--------

21+拒1-73.

所以所以4=--+-----1.

,if22

b=--------

2

题组。培优拔尖练

1.复数（-1+守）5的值是（）

1+V3i

A.—16B.16C.——D."

444

【答案】A

【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可.

【详解】

/2兀..2兀、510兀..10K

（阿（cosF1sin——）cos-----1-1sin—

-1+33

=16x-------3----------3_=16x=16x（cos3兀+isin3兀）=-16.

1+后71..7171..71

cos—+isin—cos—+isin—

3333

故选：A

2.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（）

A.z2不可能为纯虚数

B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限

C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限

D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限

【答案】D

【分析】利用第二象限Z的辐角范围确定z2的辐角范围，即可判断各选项的正误.

【详解】由z为第二象限，其对应辐角范围为

所以Z。对应辐角为（1,2万），

故Z?在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.

所以A、B、C错误，D正确.

故选：D

3.复数1-3。」而/。《0,2兀））的三角形式是（）

(0+Tl（:兀、.01Tl-0

A.2sin—cos------B29sin—cos-+---i-s-i-n-

21

I22>1-2\、2T]

(e-it0-71}c0(71—0Tl—0y

C.2sm」cos-------+isin—D.2cos—cos-+---i-s--in—

2l、22J2I22J

【答案】C

【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.

0nn

【详解】1-cos-isin=2sin2—-2isin—cos—

0.6（.6,4

=2sin—sin-----icos—

2（22J

=2sin-cos上粗+isin

22

=2si/O-Tl..0-71

cos-------Fisin--------

222

故选：C.

4.设4,z2,Z3为复数，句*0.下列命题正确的有（）

A.若右2=乎3，则Z2=Z3B.若Z：+Z；＞0,则Z：＞-Z；

C.|z1+z2|^IzJ+lz^D.若z；+z；=0,则Z]=。且z?=。

【答案】AC

【分析】利用复数除法判断A,根据复数模的几何含义判断C,应用特殊值法判断B、D即可.

【详解】A:将空2=乎3两边同时除以Z],可得Z2=Zs，正确；

B：若z；=l+i£=l-i,而复数不能比大小,故此时z；＞-z；不成立,错误；

C：由复数模的三角含义有匕+22归岗+艮I，当-=%且彳＞0时等号成立,正确;

D：若z；=T+i,z；=l-i,此时z；+z：0,故此时4=0且Z2=0不成立，错误.

故选：AC

5.下列命题正确的是（）

A.若复数Z满足z2＜0,贝1是纯虚数

B.若向，Z?互为共轨复数，则ZI+Z2CR

C.21coS3-+isin-^-J是复数-l+Gi的三角形式

D."复数Z=〃+历3点R)为纯虚数”的充要条件为*W0”

【答案】ABC

【分析】根据复数的定义判断，可设Z=〃+砥£尺)进行求解判断.

[a2-b2<

【详解】设2=。+砥。,人£&,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,贝叫

2ab=0

由2az?=0得a=0或Z?=0,若Z?=0,则/一/=a2<0不成立,

所以。=0,<0,bwO,z为纯虚数，A正确;

若Z]=。+方(4,。£氏)，则Z2=Z]=。一历，Z1+Z2=2QER,B正确;

2TT..2TTY(2兀27r।

2cos-----i-isin——=2(--+—i)=-l+^i,21cosF-+isinq-J是复数的三角形式，C正确;

33)22

当aHO时，a+历不是纯虚数，D错误.

故选：ABC.

6.利用1的立方根，则8立方根是

【答案】2,-l±V3i

c°s3a=1心

【分析】设立方根为2=/905。+1$1110)形式，由z，=F(cos3a+isin3a)=8可得r=8且

sin3a=0'"口口

，30,a=argz£[0,27i)求结果.

【详解】令1的立方根为2=r905。+15,。)且〃30,6=搬2£[0,2兀),则Y=/(cos3e+isin36)=l,

8sH,故6=等且左eZ,

所以，=i，gpr=i,且cos3e+isin36=L即

则2=85手+isin手且左eZ,

当％=0时z=l,

g

当左=1时z=cos—+isin—=--+2

332

在

出7cl4兀..4兀1

rdK=2z=cos-----Flsin——=------2

332

同理，令z3=r(cos3a+isin3a)=8且，20,a=argZ£[0,2兀),

[cos3a=12E

所以r=8,即/=2,且cos3a+isin3a=1,即《.。八，故。=---且左eZ,

[sin3a=03

则z=2(cos^^+isin^^)且上eZ,

当上=0时z=2,

三

27一1n

当％=1时z=2(cos3+i3

-+lsin

竺siM

73in

当左=2时z=2(cos33一

M

故答案为：2,-

7.已知复数4、4满足归|=3,卜|=1,若4和z?的幅角之差为g,则Z\f

ZE

【答案】鲁

【分析】分别设Zj=3(cosq+isina),z2=cos02+isin^,可得五=3[cos倒一％)+isin(q-2)],由题意

Z2

Z\-z?_Z2Z2

可得或a-，2=-g，即可得五，再代入计算即可求解.

3322ZE2+1Ji

Z

2Z2

【详解】因为㈤=3也|=1，设4=3(cos4+isin〃)，z2=cos02+isinfi>2,

43(cos4+isin4)3(cos0+isin0)(cos3-isin0)

所以xx22

z2cos名+isin%(cos02+isin02)(cos02-isin32)

3[cos仇cos^2+sin6^sin+i(sin6^cos^2-cos^sin^2)]

22

cos02+sin^

=3[cos(d-。2)+isin(q-幻]

J

ZE五+1

Z2

IT1T

由题意可知a—%或a—%=—§

J71..71

当a-％=々时，-=3cos—+isin—二+喳,

I33

3z222

工+当

五-1

22

Z「Z24_

Z]+Z2至+15+叫

Z222

7T7133技

当时，—=3cos+isin--------------1,

Z2.322

13A/3.

五-1---------------1

Zl—A_22

Z1+2

2幺+153技

--------------1

z?22

综上所述:

Zl+Z213

故答案为：f

8.设复数z=l-6i在复平面上对应的向量为OZ，将OZ绕原点。逆时针旋转〃个孚角后得到向量

O

OZi(neN*）,向量OZ1所对应的复数为4,若Z1<0,则自然数”的最小数值为

【答案】4

【分析】将复数z表示为三角的形式，可得出Z的三角表示，根据4<0可得出关于〃的表达式，进而可求

得自然数”的最小值.

、

【详解】因为Z=l—后=21技571.571

------1=2cos-----1-21sm——,

233

7

将OZ绕原点。逆时针旋转〃个1角后得到向量04（附eN*）,向量％所对应的复数为马,

5TT5n兀5TT5n7i

则4=2cos——+----+2isin一+---

3636

57r5nji

cos一+---=-1

36

因为Zi<0,所以，,所以，=兀+2k兀(k£N*)

5%