高考数学重难点专项复习：三角函数零点与恒成立问题（四大题型）解析版

重难点专题19三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总

题型1含有X1与X2型...............................................................1

题型2恒成立问题....................................................................6

题型3存在成立问题................................................................11

题型4零点问题.....................................................................16

题型1含有化1与X2型

菱均#占

不等式恒成立问题的结论：

(1)V%i6A,\/X2eB,/■(%!)>。(久2)恒成立Q/Wniin>9(X)max；

(2)V%16A,BX2eB,使得/(XI)>g(%2)成立O/Wmin29(X)min；

(3)3X1eA,x/X2eB,使得/'(XI)>g(%2)成立QFCOmax2g(x)max.

'✓WSA/WWWWWWWVSAAAA^WSAAA/VWWWVXAAA/SAA/VWVWSAA/WWVSAA1AlAAZSA/WWWWWVWWSAAAA^WV^A/WWVWVXAAAAA/W

【例题1】(2023秋•江西抚州•高三阶段练习)已知函数f(x)=asinx—bcosx(其中也为正

实数)的图象关于直线％=-?对称，且〃1加6R,^且/01)/。2)<4恒成立，贝［|下

列结论正确的是()

A.a=y/3,b=1

B.不等式/(5)/(%2)<4取到等号时咫—刈的最小值为27r

C.函数f(x)的图象的一个对称中心为(|兀,0)

D.函数f(x)在区间［Q］上单调递增

【答案】B

【分析】由辅助角公式化简函数f(x),再由三角函数的周期性、对称性及单调性依次判断4

个选项即可.

【详解】对于A,函数/(%)=asinx-bcosx=Va2+b2sin(x-cp)(其中a力为正实数)sin?

=%^,30=浸而又图象关于直线％=-?对称，可得当汽=一?时，/（%）取得最值，

即一|一争=±Va2+b2,又。力为正实数，则e2+b2=5+乎b,a=®b=1显然不成

立，A不正确；对于B,VXi.%2GR,且久1力X2,/O1）/（X2）W4恒成立，说明函数最大值为

2,又函数最小正周期为2兀，则不等式打打次外）<4取到等号时咫-划的最小值为2兀，

满足题意；对于C,函数/x）=asinx-bcosx（其中a力为正实数）的图象关于直线尤=-塔

对称，周期为2兀，函数/（%）的图象一个对称中心为（或0）,不是（胡,0）,所以C不正确；对

于D,函数/'（%）=asinx-bcosx（其中a,6为正实数）的图象关于直线x=-看对称，%=-

卷函数取得最小值，%=:函数取得最大值，函数/x）在区间t,兀]上单调递增是不正确的.

故选：B.

【变式1-111.（2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试）已知函数f（x）=acos

（2%-勺+6sinxcosx_2cos2久+1的图象关于直线％=煞寸称.若对任意小6司，存在

%2e（0,+8）,使/⑶）<2"+”差成立，则m的取值范围是（）

A.m>—1B.m>—7；C.m>—7D.m>—!

Z4o

【答案】C

【分析】由三角函数恒等变换公式化简函数式，然后由对称性求得©再求得巧€[0省时的

八巧）的最大值，从而化简题设不等式，由分离参数法求得小的范围.

【详解】/（%）=acos（2%一〈+6sinxcosx—2cos2%+1=^a（cos2x+sin2x）+3sin2x—

cos2x=（3+乎a）sin2%+（券a—l）cos2xz

/（%）的图象关于直线》=煞寸称，贝次0）=/（空），

所以乎Q-1=-3—乎a，a=—V2,

所以/（%）=2sin2x—2cos2x=2&sin（2%—»此时/仔）=2V2sin[2x学一争=2我满

足对称性.

勺€[0$时，由，/(x)=2V2sin(2x-7)G[-2,242],

由题意存在%2e(0,+8),使得2y+冷+5>2也成立，即TH行+%2-1>0成立,

m>~3——=(―——-)2—2，所以血之一；.

%2%2v%22)4，“IS4

故选：C.

【变式1-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知/'(久)=|sinx|+cosx,g(x)=f(x)+f(x

+7),若存在％i，久2€R,对任意xeR,g(xi)WgO)Wg(%2)恒成立，则

)=-

【答案】2V2

【分析】依题意，先确定函数g(x),再由三角函数的性质确定最大最小值.

【详解】依题意,

9(%)=/(%)+/(%+彳)=|sinx|+cosx+|sin(x+—)|+cos(x+y)

=|sinx|+cosx+1cosxI-sinx

—sin%+cosx—cosx—sinx,xG[2/CTT—nz2fcn-

—sinx+cosx+cosx—sin%,%E(2/CR—5,2/cn]

sinx4-cosx+cosx—sin%,16(2攵、2狂[+品

sinx+cosx—cosx—sinx,%e(2kji+2kyi+Ti)

-2sinx,xG[2fcn-n,2fcn-y

275cos(x+勺,xe(2kn-£,2k-

2cosx,%£(2卅,2m+(fceZ),

0,xe(2/cn+Qkn+TT)

对任意xeR,g(%D<g(x)<。(冷)恒成立,

当xe卜日—冗,2日—4(keZ)时，g(x)e[0,2],

当冶,2所r](kez)时，贝Ik+太(2卅一詈同+可/eZ),g(x)e[2,2&],

当xe(2虹2%+飘keZ)时，g(x)6[0,2),

当xe(2kn+Qkn+TT)(keZ)时，g(x)=0.

gr-pjfgOi)wg(%)min=ozHrgOD=o

所4lg(X2)2g(x)max=2®'.力(尤2)=2盘'

所以g(*i)+g(%2)=2V2.

故答案为：2V2.

【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.

【变式1-1]3.(2021秋・江西南昌・高三阶段练习)函数〃X)=%-|,xe[l,2],9(x)=a

cosy+5-2a,(a^O),对任意的孙6[1,2],总存在冷€[0,1],使得。(电)=成立，

则a的取值范围为.

【答案】[3,4]

【分析】将题意转化为f(x)的值域是9。)的值域的子集，再根据函数的单调性分析值域即可

【详解】对任意的Xl€[l,2],总存在%2『0禹,使得g(久2)=久久1)成立，等价于/(%)的值

域是9(%)的值域的子集.函数f(x)=X-|在[1,2]上单调递增，・•./(I)</(%)<f(2),即—

1Wf(x)W1.y=co费在[0,1]上单调递减，当a>0时g(x)在[0,1]上单调递减，g(l)Wg

(x)Wg(0)即5-2aWg(x)M5-a.所以只需f羡,彳/今3WaW4.当a<0时g(x)

在[0,1]上单调递增，g(0)<g(x)<g⑴，即5-aWg(x)<5-2a,所以只需祐二公退

解得a£0.综上可得3<a<4.

故答案为：[3,4]

【变式1-1】4.(2020春・江苏南通・高三校考开学考试)已知函数f(久)=2sin3久，(3

>0)若存在句e|-|兀,o),%2G(0,^],使得/(叼)=外冷)则3的取值范围.

【答案】(1，+8)

【详解】由题意知，函数f(x)=2sin3x是奇函数,

因为存在—|兀,o),%2e(o,j],使得f(x1)=f(x2),

所以函数f(x)的周期T=〃<S解得W>|,

则3的取值范围为G，+8),

故答案为(|,+8).

【变式1-1］5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=Asincox(A>O,a)>0),若至少

存在两个不相等的实数句,久26［兀,2扪，使得以打)+，(々)=24,则实数3的取值范围

是•

【答案】［鸿U怜+8)

【分析】当兀>2T时,易知必满足题意;当兀<2T时，根据xe［兀,2兀］可得3x6［兀3,2兀3］,

由最大值点的个数可构造不等式组，结合3>0确定具体范围.

【详解】至少存在两个不相等的实数句加G［兀,2可，使得f(xi)+汽外)=24，

当兀>27=»即3>4时，必存在两个不相等的实数应沏e［兀,2扪满足题意；

当兀<2T,即0<3V4时，a)xE［兀02兀3］,

fTCO)2kn(a)<-+2k

(k£Z),.J—(fceZ);

当kWO时，解集为0,不合题意；令k=l,则译3竦；令k=2,则当W3<4;

综上所述：实数3的取值范围为玲驷恃+8).

故答案为:Li〕u怜+8).

【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关

键是能够采用整体对应的方式，根据兀3的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式

组求得结果.

题型2恒成立问题

②数形结合（y=r（x）图像在y=gQ）上方即可）；

③讨论最值/（Wmin>。或（（久）max<。恒成立.

【例题2】（2023•全国•高三专题练习）已知函数;'（X）=sin（wx+。），（w>0,|向<》/（—

$=0,/。）W卜（由|恒成立，且/（%）在区间（―白书上单调，则3的最大值为:

【答案】3

【分析】先根据“x）w|/（¥）|,得到尤=需函数八久）的对称轴，进而可以求出『=爵,

进而得到3为奇数；再根据/⑺在区间（—与冷上单调，所以，得到I

0<3W8,然后利用0<3W8,又3为奇数，得至1团=1,3,5,7,最后分别代入验算即可求

得结果

【详解】由已知得，乂=需函数/㈤的对称轴，所以，*—（—）=；+掾，得了=悬,

OO\ozT,乙十J.

所以，年=爵，3=2k+i（kez）,3为奇数；

又因为人久）在区间（—.给上单调，所以，52点—（一9=?所以，72尢所以，

。<3<8,又3为奇数，所以，3=1,357；

当3=7时，利用/（_$=0,可得°=_弟故7%_台（—翳3）,/⑴在（—工，勿上不

单掉，不符题意；

当3=5时，利用/（一3=0,可得0=_?故5久一与e（—翳,Y）,f⑶在（一羽，2

上不单掉，不符题意；

当3=3时，利用/（"）=0,可得0=*,故3x+去C，满足题意；

故3的最大值为3

故答案为：3

【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查了分析转化的能力，难度较大

【变式2-1】1.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=sina%+acosa%,周期T<2

=①且在％=艇取得最大值，则使得不等式4QIN。恒成立的实数2的最小值为

A.得B.得C.gD.§

【答案】B

【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质,以及同角的三角函数的关系可得tans=

忘=。，①，再根据/©)=6，可得co93=磊，②，通过①②求出a的值，再根据三

角函数的性质可得3=12k+1,kEZ,求出131nl讥=11,根据不等式川3恒成立，贝以》

(告),即可求出答案.

画max

【详解】/(%)=sina)x+acosoox=Va2+lsin(a)x+cp),其中tang=a,

­•-%=泓取得最大值，

717T7T71

~a)+(p=~+2/C7T,即0=5+2/C7T—kEZ,

・••tang=tan(^+2左兀—前)=tan《一，))=蒜9=a,①，kEZ,

f③=Va2+lsin(^a)+g)=Va2+lsin(^a)+]4-2/CTT—/)=Va2+lcos^co=V3,kE

Z,

7T备②，

•••COS-O)=

o

7T1

①x②得sings=--

.9a)7r9CO7T33

zZ

•••Sin6-+COS6-=a2+-l+a2(a22(+l2),1=、1,

2

即屋—2a—3=0,解得a=V3za=—V3(舍去),

由①得tan詈=tan(^+fc7r),keZ,

371

•••8叼＞0,

•••詈在第一象限，

■■■取?=tan《+2/OT),fceZ,

27r

由T=而＜2兀，即|卬＞1,

37r兀-,,_

-丁=%+2卜兀，kez,

3=12k+1,kEZ,

使⑷最小，则/C=-1,

即|3|m讥=11,

若不等式川3|加恒成立，贝[]/>(卷)=字，

⑷Imax11

故选：B

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点是求出a的值，需要转化/后)=机，且在“=泓

取得最大值，得到co93=离，sin*o=\耳，再根据同角的平方关系得到关于a的方

程，解方程即得解.也是方程思想的体现.

【变式2-1】2.(2020•全国•高三专题练习)函数fO)=e*+a(—xcos(x—1),当久>0

时，f。)>。恒成立，则a的取值范围为()

A.(0,+oo)B.(1—e,+oo)C.(―8,e)D.(e,+oo)

【答案】B

【分析】先令光=1可得a>1-e.又原不等式等价于？+a-cos(x-1)>。在(0,+8)上恒

成立令s(x)=e(0,+oo),利用导数可得s(x)>e恒成立，再利用三角函数的性质结合

放缩法可证明当a>1-e时++a-cos(x-1)>0是恒成立的.

【详解】取%=1,则有/(I)=e1+axl-lxcos(l—1)>0,故a>1-e.

又%>。时，/(%)>0恒成立等价于亍+a-cos(%-1)>。在(0,+8)上恒成立.

令s(x)=px6(0,+oo),S'(x)=

当xe(0,1州寸，s'(x)<0,xe(l,+8)时，s，(x)>0,

所以S(x)在(0,1)上减函数，在(1,+8)为增函数，

所以s(x)2e,故当a>1—e时，+a—cos(%—l)>e+a—1>0,

综上，a>1-e.

故选：B.

【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，可通过赋值法缩小参数的范围，再将复杂不等

式等价转化为简单不等式，利用导数或函数的性质证明不等式恒成立，本题属于难题.

【变式2-1]3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=sin(3x+(p),其中3>0,\(p

I<与，—衰”⑺的零点：且/(%)<|/(》|恒成立，f(x)在(—嗫各区间上有最小值无最大值,

则3的最大值是()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【分析】根据/'6)=±1,f(-卞=0求出3=2(的一七)+1,任也ez,再由/⑺在(一3

,摄)区间上有最小值无最大值，结合周期公式得出3W16,结合选项，检验3=15时，满足

题意.

【详解】由题意，x=:是/'(X)的一条对称轴，所以/'(今=±1,即的+(p=七兀+71ez①

又/■(一)=0,所以一彳3+0=k2n,k2eZ②

由①②，得3=2(的一七)+1,卜1,卜2ez

又人乃在(-已务区间上有最小值无最大值，所以T

即称,，解得3W16,要求3最大，结合选项，先检验3=15

当3=15时，由①得15+?=七兀+。1ez,即0=七兀一早用ez,又|卬|美

所以9=此时/'(%)=sin(15x"),当xe(—磊？时，15%-,

当15%—?=—卿x=—2时，f(x)取最小值，无最大值，满足题意.

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的性质求参数的值，属于中档题.

【变式2-1】4.(2022・上海•高三专题练习)已知函娄好(久)定义在R上的偶函数，在［0,+8)

是增函数，且/(好+口久+b)Wf(2久2+4X+1)恒成立，则不等式聂262Ax2一2的解集

为.

【答案】口｝

【解析】由题意可得出I%?+ax+b\<\2x2+4x+1|,可知方程%2+a%+b=0与方程27

+4%+1=0同解，可解得a=2,b=|,进而由所求不等式得出/—2x+2Wsiny,再由

%2__^rx|2—1

sin—=1，即可得出原不

｛2

等式的解集.

【详解】由于函数/(%)定义在R上的偶函数，在［0,+8)是增函数，

由/(必+ax+Z?)<f(2x2+4%+1)可得/(|%2+ax+b\)</(|2x2+4%+1|),

所以，+“％+加<|2%2+4%+1|,

解方程2/+4*+1=。可得打=二岁，冷=专与

令gO)=/+ax+b,贝方(2^)卜0,|5(ZZZV2)|<o,

所以，xi=美返，x2=号是方程/+a久+6=0的两根，

由韦达定理可得［b=羡=|，解得?=|，

由aS呜X2b2Ax2_2可得2sin缨N2^-2久+2,所以，%2_2%+2<siny,

因为/—2久+2=(久一I)2+1>1,—1<sin:<1,

所cr-以iM|—si2nxy+=21=1，解得％=L

故答案为：｛".

【点睛】对于求值或求解函数不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，

再利用其单调性脱去函数的符号"1'，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则/-x)

=/W=/(|x|).

题型3存在成立问题

【例题3】(2023•全国•高三专题练习)若对有/(%+y)=/(%)+f(y)-4,函数

9。)=关骼+f。)在区间［-2021,2021］上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的

和为()

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】利用已知条件可得/'(久)+/(-%)=8,贝加(%)=/(x)-4为奇函数，构造%(x)=g

(无)-4即可知为奇函数，又由［-2021,2021］上g(x)存在最大、最小值，易知伏久)最小、最

大值的和为0,即可求9(%)最大、最小值的和.

【详解】由题设，f(x-%)=/(0)=f［x)+f(-x)-4且f(x+0)=/(x)=f(x)+f

(0)-4,

."(0)=4,则f(x)+f(—x)=8,

■=f(x)-4为奇函数,令h(x)=g(x)-4=/署+m(x),

-x)=1江?i+m(-x)=-5黑-m(x)=,即无0)是奇函数，

.••依)在［—2021,2021］上的最小、最大值的和为0,即g(X)max—4+g(x)min-4=0,

..g(x)max+g(x)min=8.

故选：B

【点睛】关键点点睛：由题设求出八%)+/(-x)=8,构造奇函数八(x)=g(x)-4,根据区

间内存在最值可知以x)max+h(%)min=。，进而求最值的和.

【变式3-1］1.(2022•全国•高三专题练习)函数/㈤=sin(3K+勺(3>0)在区间［―葛金

］上单调递增，且存在唯一使得/(配)=1,则3的取值范围为()

A.茴B.［|)|］C.［|4］D.葭］

【答案】B

【分析】由其在闭区间上递增，而f(x)在2/OT-笄4⑺行"+激增函数，列不等式组求

3的范围，又存在唯一X。e[0,胡，使得f(均)=1,而3%+釜倍券+自，即与w等+?<

y,求3的范围，取交集即可.

【详解】由正弦函数性质，有2/OT-]W+2卜兀+最即2/OT-*W3%W2/OT+M

"⑶在[一詈，争上单调递增，

5na)、“727r,4—12k

-----7~—2kn——d)<---1

.-.{2需「3,贝亚这I,fcez,又3>0,即0<345，

-^―<Z/C7T+-0)<—^―乙

又存在唯一X。e[0总，使得八K0)=1,而此时3X+江督券+3，

-'-2~~+6<~'伤三3<3，

综上，有卷<

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由区间单调性，结合正弦函数的单调区间列不等式组，在闭区间中有

3X+狂肝券+—其中存在唯一最大值，则三等+?<：,求参数范围.

【变式3-1]2.(多选)(2023秋•浙江杭州•高三期末)若函娄好(久)=sin(2o)x+勺—|(o)>0)

在区间(0,各上单调递增，则()

A.存在以使得函数”久)为奇函数

B.函数/(%)的最大值为9

C.3的取值范围为(0,4]

D.存在4个不同的以使得函数/(久)的图象关于直线x=5对称

【答案】BCD

【分析】对A选项，计算f(-x),得到其与-f(x)的关系即可判断，对B选项，根据正弦

函数的值域即可求出外为的最大值，对C选项，根据f(久)在区间(0,5)上单调递增，得到不

工〉—2+2/cn

等式组3匕”入「，,解出即可，对D选项，令2/x升>5+导ieZ,解出电

再结合C选项3范围则可得到3的值.

【详解】解：/(x)=sin(23x+1)一3，定义域为R,

f(-x)=sin(-2a)x+^)-1=—sin(23x+^)+1=-7'(»不恒成立，

则不存在皿使得函数f(x)为奇函数，故A错误；

由—l《sin(25+》4l,得—|4f(x)号则/(%)的最大值为《故B正确；

由于f㈤在区间(0,》上单调递增，故城：，卜eZ

1262

解第一个不等式得kW£・•56乙故^^=。，解二式得3W24/C+4,故3W4,

又3>0,所以0<344,故C正确；

令2a)X与+?=znTT+与，m6Z.解得3=：+矶mEZ,

由0<344知3的取值为I，1,y,共4个值，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题的难点在于GD选项的判断，根据f(x)的某个单调增区间，则其

整体应该在[2所1-],2所1+外,keZ,即应该是后者的子集，再结合3>0,从而得到关键

的不等式组，解出口范围，而D选项我们采取代入法，将％=拊入则内部整体应等于对称

轴通项即久=kn+受kez再结合3范围，则得到所有3取值.

【变式3-1]3.(2023・上海•高三专题练习)若存在实数卬，使函数f(x)=cos(3”+

(3>0)在Xe[IT,3汨上有且仅有2个零点，则3的取值范围为

【答案】职)

【分析】利用y=cosx的图像与性质，直接求出函数/(%)的零点，再利用题设条件建立不等

关系』皿-士竺叫<2TT且等，+2--二竺叫>2TT,从而求出结果.

O)3O)0)

【详解】因为/'(X)=cos(o)x+0)-如>0),由/'(X)=0,得到COS0X+0)=g,

所以3%+0=£+2fcTT(/cGZ)或3%+(/?=—y+2fcn(fcGZ),

所以％=七竺也(keZ)或x=主竺啊(keZ),

COco

又因为存在实数9,使函数/(X)在久e[n,3汨上有且仅有2个零点，所以

三竺啊-三竺啊<2TT且量：竺啊-Z+2/5>2n,即矍<2n且赞>2n,解得q<to<

33330)0)3

5

3,

故答案为：!<0)<|

【变式3-1】4.(2023・全国•高三专题练习)已知/(久)=5皿3乂+0)(阿<?为奇函数，

若对任意ae[—]阁，存在8€[—8],满足f(a)+/(.)=0,则实数a的取值范围

是•

【答案】[。^U｛等｝

【分析】根据函数的奇偶性求得0=0,再根据题意推得a，8的关系式，结合a,S的范围，即

可求得答案.

【详解】因为/'(%)=sin(3x+<p)(|w|<9为奇函数，

故/(—x)=—f(%),・•・sin(—3x+w)=—sin(3x+cp),

即cos3汽sing=0,由于％GR,故sing=0,则g=kTC,kEZ,

由于m故0=0/所以/(%)=sin3x,

由f(a)+/(/?)=0/可得sin3a=-sin3/?z

即3/?=3a+TT+2/CTI,.,./?=a+葭+6Z

或3s=—3a+2/ciT,—a+^6Z,

对任意aw[Y片],存在满足/(a)+f(S)=°，

故一段W6=a+5+<a,贝哈+^W0,aN—等一学keZ,k取负值，

则只能k=—1,止匕时a=年,

或gw"—a+等Wa,则空waw［+竽keZ,则0Wa端

综合可得a=等或0<a<f,

即实数a的取值范围是［0$U{争，

故答案为：［0$U@}

【变式3-1】5.（2023•全国•高三专题练习）已知9>0,存在实数内使得对任意neN*,

cos（n0+0）〈亭贝的最小值是.

【答案】Y

【分析】利用单位圆确定n，+9的取值范围，再根据题给条件分析。的最值即可得出结论.

【详解】解:在单位圆中分析,由题意可得加+9的终边要落在图中阴影部分区域（其中乙40%

=ABOx-,如图，

由于VneN*,cos（n。+<p）<苧恒成立，且R为常数

2kp+^<nd+（p<2/CTT+手，:.（一*以立于连续两终边之间

①当2豆为。的正整数倍时，连续两终边间的间隔长度为。，

。取2?r=k。，kEZ*,此时，8=爷

即，金>5；•卜<5,当/c=5时。取得最小值,3min=y.

②当2兀不为。的正整数倍时，可设2兀=m。+p,（meN*,|p|<£）

这里的|p|<典根据①中的。的最小值等隹导出，这里只考虑86（0,将）情况.

0=g时，2TT=md+p,满足2兀不为。的正整数倍时，|p|=2

所以。€(0,争时，|p|<W

由2兀="1。+「得：9=千上，止匕时，nd+<p=^-2n-^-p+(p

•••\P\<i，•••当专为正整数时，W-奈P连续两终边间的间隔长度小于i

所以必定存在正整数使得0-?P的终边落在区间(-》5±,此时不符合题意.

综上，。的最小值为g.

故答案为：Y

题型4零点问题

'1，'j^r,

¥尊重盒

有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后

再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇

偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等

概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.

*/WWWSA/WXAA/WWWSA/WWWWWWWVWWWWWWWWWWWWWSA/WWWSA/WSAAA/VWWSA/WWWWWWWVWWWWWS

【例题4】(2023秋・四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知定义在R上的奇

函数f(%)满足f(2-久)+/(%)=0,当％e(0,1]时,fQ)=一log?%.若函数F(x)=/(x)-sin

兀久在区间[-1,河上有10个零点，则实数m的取值范围是()

A.[3,5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)

【答案】A

【分析】根据题意可知和sin(m<)都是周期为2的周期函数，因此可将F(x)=/(%)—sin

(nx)的零点问题转换为f(x)和sin(nx)的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出

第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.

【详解】由/'(2-x)+/(x)=0=>/(%)=-7(2-%)=f(x-2)得/(%)是一个周期为2的奇

函数，当xe(0,1]时,/(x)=-log2x,因此熊)=-log2T=1,/⑴=0

因为/'(%)是奇函数,所以/'(0)=0,/(—1)=—1,/(—1)=0

且g(x)=sin(nx)的周期为7=个=2,且g(-l)=0,=-1,g(0)=0,g©)

=1,5(1)=0

求?(无)=f(久)—sin(m<)的零点，即是f(x)与g(x)的交点，如图：

为f(x)与9(x)在［-1,1］区间的交点图形，因为久久)与90)均为周期为2的周期函数，

因此交点也呈周期出现，由图可知F(x)的零点周期为也

若在区间［-1,河上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5,0),

第11个零点坐标为(4,0),因此3,5<m<4.

故选：A

【变式4-1］1,(2023河北沧州统考三模)已知函数/'(*)=Asins+2cosa)x(A>0,3>0)

的所有极值点为器+%keZ)，且函数g(w=/(%)-a在［0/汨oeN*)内恰有2023个零点，

则满足条件的有序实数对(a,m()

A.只有2对B.只有3对

C.只有4对D.有无数对

【答案】B

【分析】根据题意求得函数f(x)=4sin(2x+2),把函数g(x)=f(x)-。的零点个数转化为

方程f(x)=a实根的个数，结合方程/(%)=。在［0,汨内实根的个数，分类讨论，即可求解.

【详解】由函数/(x)=Asin”+2cos3x=y/A2+4sin(&)x+<p),

因为函娄好(久)图象的对称轴方程为X=卜竽(keZ),

当k=0时，可得=要当卜=1时，可得冷=手，

即两个相邻的极值点间的距离为％—亚1=与，即#=i则7=%可得3=2,

因为f⑺的图象关于直线％=热称，所以/(0)=/(f),

即2=asin竽+2cosg,解得4=2V3,

则/'(x)=2V3sin2x+2cos2x=4sin(2x+。，

所以函数g(x)=/(%)-a的零点个数等价于方程久久)=a实根的个数，

先研究方程f(x)=a在［0,汨内实根的个数，

当a=±4时，方程f(x)=a在［0爪］内实根的个数为1；

当ae(—4,2)U(2,4)时，方程/(x)=a在［0爪］内实根的个数为2;

当a=2时，方程/(乃=。在［0,汨内实根的个数为3,其中在［0,汨内实根的个数为2,

因为/(x)是周期为n的函数,所以当ae(—4,4)时，在(Ti,2n］,(2n,3n］,(3n,4n］,…,

(2022n,2023E内方程f(x)=a实根的个数均为2,

因为9(%)=/(%)-a在［0,兀汨5eN*)内恰有2023个零点，且2023为奇数，

所以ae(—4,2)U(2,4),不合题意.

当。=±4时，n=2023;当a=2时，n=1011,

故满足条件的有序实数对(a,m只有3对.

故选：B.

【变式4-1】2.(2023・全国•高三专题练习)已知函娄攵/'(久)=3sina)久+4cos3久(3>0)在

区间(0,TT)内没有零点，但有极值点，则3cos(兀⑼+4sin(兀⑹的取值范围()

A」，5］B.侍5］C”,令D.(消

【答案】A

【分析】根据辅助角公式化简，由正弦函数的图像与性质求出兀3的取值范围，最后根据两

角和差公式求解.

【详解】3cos（兀3）+4sin（兀3）=5sin（兀3+硝,其中sina=|,cosa=怖（取a为锐角）,

/（X）=3sina）x+4cos（ox=5sin（（ox+0）,其中sin。=|,cosjff=|（取。为锐角）,

设。=a）x+0,由久e（0,n）,可彳导ee+S）.

y=5sin。在区间（0爪）内没有零点，但有极值点时，y<con+<TT,可得与-^<a）n<TT-

邑

以万一S+a<ton+a〈TT—S+a.

因为sina=I，sin/?=.所以a</?.

所以葭一S+a€(0,£);n-S+a£G，n),

所以y=5sin(7T3+a)在+ajr-/7+a]上的最大值在与取得，故'max=

[5sin(7m)+a)]max=5.

又5sin(5—£+a)=5cos(/?—a)=5(cosacosS+sinasinS)

5sin(n—0+a)=5sin(p—a)~^(sin/?cosa—cos.sina)

=5x(iXi-^x^)=!<^

\5555/55f

所以3cos(7T3)+4sin(兀3)的取值范围是1,5].

故选A.

【变式4-1]3.（2023•上海•高三专题练习）已知/（久）=cos2x-asinx,若存在正整数n,

使函数y=f（x）在区间（O^TT）内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（）

A.1B.-1C.0D.1或-1

【答案】B

【分析】根据题意令sinx=t分析可得关于t的方程2t2+就-1=0有两个不相等的实根，

结合韦达定理可得"t2=-1分类讨论1逆2的分布，结合正弦函数分析判断.

【详解】令/(%)-cos2x—asinx=1—2sin2x—asinx=。，

令*sin%=tG[—1,1],则1—2步—at=0,即2t?+at—1=0,

・「△=a2-4x2x(-1)=层+8>o,

则关于t的方程2/+就—1=。有两个不相等的实根，设为t逆2,令G<t2,

可得+以=—5心以=一万V0，则有：

1.若丸V—1V0<以<1,即sin%=ti<—1和sin%=力2c(0,1),

结合正弦函数图象可知:sin%=t2e(0,1)在(2/2所T+Ti)(kGN*)内有两个不相等的实数根,

sin%=ti<一1无实数根，

故对任意正整数n,y=/(%)在(0,rm)内有偶数个零点，不合题意；

2.若一1<《1<0<1<力2,即sin%=tiE(—1,0)和sin%=4>1,

结合正弦函数图象可知：sinx=七>1无实数根，sin%=以E(-1,0)在

(2所I++2f[)(/cEN*)内有两个不相等的实数根，

故对任意正整数n,y=/(%)在(0,rm)内有偶数个零点，不合题意；

3.若一1<七1<0<力2<1,即sin%=tiE(—1,0)和sin%=12c(0,1),

结合正弦函数图象可知:sin%=t2e(0,1)在(2/2所T+Ti)(kGN*)内有两个不相等的实数根,

sinx=ti6(—1,0)在(2/CR+yi,2kyi+2T[)(kEN*)内有两个不相等的实数根，

故对任意正整数n,y=/(%)在(0,rm)内有偶数个零点，不合题意；

4.若丸=-l,t2=即sin%=-1和sin%=(0,1),

结合正弦函数图象可知：sinx=纸(2所1,2所1+冗)(忆GN*)内有两个不相等的实数根，sinx

=—1在(2/cn+TT,2kf(+2n)(feEN*)内有且仅有一个实数根,

①对任意正奇数n,y=/(功在(0四1)内有3x昼+2=岁个零点，

由题意可得第=2023,解得n=等《N*,不合题意；

②对任意正偶数n,y=f0)在(。，几汨内有3xf=当个零点，

由题意可得苧=2023,解得九=竽CN*,不合题意；

5.若々=-|,t2=1,即sin%=-|fQsinx=1,

结合正弦函数图象可知：sin%=1在(2所1,2所1+互)(女EN*)内有且仅有一个实数根,sin%=-

g在(2所1+Tii2fcn+2n)(feEN*)内有两个不相等的实数根，

①对任意正奇数n,y=/(x)在(0,rm)内有3x"+1=竽个零点，

由题意可得亨=2023,解得n=1349eN*,符合题意；

②对任意正偶数n,y=八功在(0,的1)内有3xy=弓个零点，

由题意可露=2023,解得九=竽《”,不合题意；

综上所述：当以=-拉=1,=1349时，符合题意.

止匕时_]=—1+1=：,解彳导a=—

故选：B.

【变式4-1】4.侈选)(2023秋福建福州•高三福建省福州第一中学校考开学考试)已

知函数/(%)=(sin%+cos%)2-m[l+|sin2%|,贝！]()

A./(%)的最小正周期为2TT

B.f(久)图象的一条对称轴为直线x=乎

C.当血＞0时，/(%)在区间(手,TI)上单调递增

D.存在实数小，使得了(%)在区间(0,1012司上恰有2023个零点

【答案】BCD

【分析】化简/(%)的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A;根据函数图象的对称轴的性

质可判断B;结合正弦函数的单调性可判断C;取血=1,结合正弦函数的零点可判断D.

【详角星】又寸于A,/(%)=1+sin2x-znjl+|sin2%|,

故/(%+IT)=1+sin2(x+re)—mjl+|sin2(%+n)|

=1+sin2x-mjl+|sin2x|=/(%),即n为/(%)的一个周期，

说明2Tl不是f。)的最小正周期，A错误；

对于B,/伶_%)=1+sin2号—％)—mjl+|sin2(^—%)|

=1+sin(3n—2%)—my/l+|sin(3n—2%)|

=1+sin2x—my/1+|sin2x|=/(%),%eR,

故f(x)图象的一条对称轴为直线久=芫B正确；

对于C,当m>0时,xG(^,n),则2比e仔

由于正弦函数y=sinx在肾,2JI)上单调递增，且sinx<0,

故y=sin2x在(乎,豆)上单调递增，且sin2比<0,

此时/(%)=1+sin2x—my/1+|sin2x|=1+sin2x—mVl—sin2x,

而丫=-sin2x在台,TT)上单调递减，贝切=-g/1-sin2x在(乎,n)上单调递增,

故/⑶=1+sin2x-一sin2x在传,n)上单调递增,C正确；

对于D,由A可知即Ti为/(%)的一个周期，且y=sin2x的最小正周期为n,

故了(久)的最小正周期为n,

当Tn=1时，f(x)=1+sin2x—Jl+|sin2x|,

当sin2x=0时，/(无)=0,则在(0,川上f(x)的零点为寻印，

故当x6(0,1012小时,恰有2X1012=2024个零点,

且第2024个零点为1012%

故当》£(0,101211)时，/(均恰有2024-1=2023个零点,

即存在实数小，使得/'(X)在区间(0,1012JT)上恰有2023个零点，D正确，

故选：BCD

【点睛】难点点睛：本题综合考查了含sinx型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问

题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答,

对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.

【变式4-1】5.(2022春・安徽滁州•高三校考期中)已知y=久)是周期为4的奇函数，且

当xe［0,2］时，f(x)=0.9%(2-%),方程/'(x)=si吟在区间(0,1)内有唯一解x=a,则方程

/(%)=si喏在区间［0,2018］上所有解的和为

A.2018a+2034144B.036162C.3053234D.3055252

【答案】D

【分析】在同一个坐标系下作出函数y=f(x)和函数y=si肯的图像，分析得到在(k,k+2］均

有三个解，kEN,且均有对称性，所以在区间［0,2018］±所有解的和为

4+10+16+-•­=1009X4+1009x504x6=3055252,

.Ttx

产、尸in彳

【详解】T

结合图像对称性，可知，在(0,2］上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2x1=2,

第三个交点的横坐标为2,所以在(0,2］上的三个解的和为2+2=4,

在(2,4］上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2x3=6,第三个交点的横坐标为

4,所以在(2,4］上的三个解的和为6+4=10,

所以结合图像对称性，可知，在(k,k+2］均有三个解，kEN,且均有对称性，

,在区间［0,2018］上所有解的和为4+10+16+•