高考数学重难点专项复习：直线与圆（3大考点+强化训练）（原卷版+解析）

第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）

［考情分析］1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式

出现，中低难度2和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.

知识导图

❶考点一：直线的方程

★直线与圆

❷考点二:圆的方程

考点分类讲解

考点一:直线的方程

1.已知直线h：Aix+Biy+Ci=O,直线h：A^+B2y+C2=O,则/1〃/2今4%一心81=0,且(或

BIC2-B2CI^O),Zi±/2miA2+j5iB2=0.

|Axo+Byo+C|

2.点尸（尤o,yo）到直线/:Ax+By+C^0（A,B不同时为零）的距离d=

yjA^+B-

I_rI

3.两条平行直线/i：Ax+By+Ci=0,b：而+By+C2=0（A,B不同时为零）间的距离』=金耳亲.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

（1）利用482—4231=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

（2）要注意直线方程每种形式的局限性.

（3）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

【例1】（23-24高三上•山东青岛・期末）"相=3"是"直线乙：枢x+y+”7=0与/2,3x+O-2）y-3〃z=。平行”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1】（23-24高三上•河北•阶段练习）已知直线4：ox+2y+6=。与直线乙：公->+。=0垂直，则

/+〃的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式2】（2024・陕西安康•模拟预测）已知直线/1"加—y-m+3=0（meR）与直线

4：X+和一〃2—5=0(〃?611)相交于点尸，贝!|尸至I]直线2x+y+7=o的距离的取值集合是()

A.[75,375]B.(6,3,6]C.[2A/5,4A/5]D.(26,4如]

【变式3】(2023高三・全国•专题练习)过点A(l,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程

为.

考点二:圆的方程

1.圆的标准方程

当圆心为(〃，/?),半径为不时，其标准方程为(X—Q)2+(y—。)2=户.

2.圆的一■般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中少+序一^^》。，表示以(一景一导为圆心，4』为半径的圆.

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

【例4】(2024•江苏•一模)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过ABC的三个顶点4民。作它的外接圆的切线,

分别和所在直线交于点P,Q,R,则己。,尺三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的

Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,l),以2,0),C(0,T),则该三

角形的Lemoine线的方程为()

A.2%—3y—2=0B.2%+3y-8=0

C.3x+2y—22=0D.2x—3y—32=0

【变式1](2024・广东•一模)过A(-1,0),B(0,3),C(9,0)三点的圆与,轴交于M,N两点，则|MN|二

()

A.3B.4C.8D.6

考点三:直线、圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

(1)点线距离法.

⑵判别式法：设圆C:(x—a)2+(y—6)2=”,直线/：Ax+By+C=0(A2+B2#0),联立方程组

[Ax+By+C^O,

l（x—a）2+（y—Z?）2=r2,

消去y,得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离㈡/<0,直线与圆相切0/=0,

直线与圆相交㈡/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等

式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距

离，再结合半径利用勾股定理计算.

【例3】（2024•云南昆明•模拟预测）已知如是圆C:/+（y_l）2=i的切线，点A为切点，若|上4|=2,则点

P的轨迹方程是（）

A.（x-1）2+y2=5B.x2+（y-l）2=5C.y2=2xD.x2=2y

【变式1】（23-24高三下•山东青岛•开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是"直线与圆相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2】（2024•广东佛山•模拟预测）过点（0,-2）与圆炉+产一4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=（）

A.1B.姮C.叵D.渔E,均不是

444

【变式3】（2024•福建漳州♦一模）过点尸（x0,九）作圆。：£+>2=9的两条切线，切点分别为A,B,若直

线A3与圆C：（尤一1）2+9=1相切，则y；+18x°=.

考向2圆与圆的位置关系

[例3]（2023•浙江绍兴•模拟预测）已知圆£:/+y-=亍,圆心为G（-2,o）c（4,o）的圆分别

与圆G相切.圆C?,C3的公切线（倾斜角为钝角）交圆G于A,8两点，则线段的长度为（）

33

A.一B.一C.3D.6

42

【变式1】（23-24高三上•广东佛山,阶段练习）已知圆”的圆心为且经过圆。:

兀2+,2+6%-4=0与圆。2：尤2+,2+6,_28=0的交点.则圆M的面积为（）

厂八25兀

A.5兀B.257tC.IOTUD.---

2

【变式2】（2024・广西来宾・一模）若曲线G：/+（y一租）2=4与C2：x2_y2=o的图象有3个交点，则

m=.

【变式3】（2023•河北衡水•三模）若圆4:V+『=1和c?：/+/一26办-2ay-5a=Q^a>有且仅有一

条公切线，贝心=;此公切线的方程为

【变式4】（2024•广东深圳•模拟预测）已知圆加：彳2+^-2*=0（4>0）的圆心到直线2彳+/=2距离是石，

则圆M与圆N:（x-2）2+（y+l）2=l的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内含D.内切

【变式5］（2024•辽宁•二模）已知圆/+/=4与圆/+/-8x+4y+16=0关于直线/对称，则直线/的方程

为（）

A.2x+y-3=0B.%-2丁-8=0

C.2x—y—5=0D.%+2y=0

口强化训练

一、单选题

1.（23-24高三上•河南焦作•期末）若圆C:（x-2）2+［+（］=〃与无轴相切，则。=（）

A.1B.0C.2D.4

2.（2024・四川•模拟预测）已知直线依+勿-2=0（a>0,b>0）经过点（1,4）,则3+：的最小值为（）

ab

25

A.4B.8C.9D.——

2

3.（2024・四川南充•二模）已知圆C:/+2x+y2—i=o,直线/：X+九3-1）=0与圆。（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

4.（2024高三下•浙江杭州•专题练习）已知点A为曲线y=x+；（x>0）上的动点，B为圆（尤-2『+y?=1上

的动点，则|A@的最小值是（）

A.3B.4C.3yliD.40

5.（2024•广东•一模）已知直线4:Ax-y+1-G左=0（k£R）与直线6:x+炒+G+左=0（左ER）相交于点M,

若恰有3个不同的点M到直线/：%-，+匕=0的距离为1,贝（Jb=（）

A.±1B.土叵C.±^/3D.+2

6.（2024・浙江•模拟预测）如图，直线丁=2+3交工轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于

原点。，另两个顶点〃，N恰好落在直线>=上+3上，若点N在第二象限内，则tanNAON的值为（）

4

7.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知。为圆A:（x-lJ+y2=1上动点，直线4：MU-〃y+37"+2〃=0和直线

l2:wc+my-6m+n=0，”eR,。）的交点为P,则尸。的最大值是（）

A.6+75B.4-75C.5+75D.1+逐

8.（2023•浙江温州•模拟预测）设°>0,bwR,已知函数/（x）=xe'+a（x-3）+6,xe[l,3]有且只有一个

零点，则Y+〃的最小值为（）

e2e2e2e2

A.—B.—C.—D.—

6543

二、多选题

1.（23-24高三上•湖北襄阳,期末）已知直线/：区+丫-左-1=0,圆。：％2+/+m=0,且圆c过点

（4,0）,直线/与圆C交于A3两点，下列结论中正确的是（）

A.圆C的半径为2

B.直线/过定点（1/）

C.|明的最小值是2山

D.CACB的最大值是0

2.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）直线/：（22+1卜+（1-4y-3=0,圆C：（x-2）2+y2=9,则下列结论正

确的是（）

A.直线/经过定点且与圆C恒有两个公共点

B.圆心C到直线/的最大距离是2

C.存在一个2值，使直线/经过圆心

D.不存在2使得圆C与圆元2+。一4）2=9关于直线/对称

3.（23-24高三上•福建•阶段练习）已知直线/：〃氏+（加一2）〉+2=0与圆（7：X2+/-4%+6y-23=0,点

尸在圆C上，贝U（）

A.直线/过定点（1/）

B.圆C的半径是6

C.直线/与圆C一定相交

D.点尸到直线/的距离的最大值是6+6

三、填空题

1.（23-24高三上•江苏南通•期中）已知函数=加（aeR）在x=%,x=/处分别取得极大值和极

小值，记点4&"（占）），5（%2,/（X2））,〃x）的图象与x轴正半轴的交点为C.若ABC的外接圆的圆心尸

在以为直径的圆上，则“=.

2.（2024•河南郑州•模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角

形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上，

直线方程为尤+y-2=0,且忸C|=2j而，反48。的垂心G（2,2）在"BC内，点E在线段AG上，则圆E

的标准方程.

3.（2024•陕西•模拟预测）若直线/：（〃1户+（2W-l）y=0与曲线。：、="-。-2）2+2有公共点,则实数

m的范围是.

四、解答题

1.（2024高三•全国•专题练习）设抛物线C:/=2x,点A（2,0）,B（-2,0）,过点A的直线/与C交于

M,N两点.

⑴当/与x轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：ZABM=ZABN.

2.（2024高三•全国•专题练习）已知点A为圆C:x2+y2-2而'x-6=0上任意一点，点8的坐标为

卜亚,0）,线段AB的垂直平分线与直线AC交于点。.求点D的轨迹E的方程.

3.（23-24高三上•广东深圳,阶段练习）已知圆C:尤2+（y-3）2=4,直线力:x+3y+6=O,过A（-l,0）的直线

/与圆C相交于P,。两点，

⑴当直线/与直线机垂直时，求证：直线/过圆心C.

（2）当|PQ|=2/时,求直线/的方程.

4.（2024•甘肃兰州•一模）已知圆C过点尸（4,1）,M（2,3）和甘（2,-1）,且圆C与y轴交于点尸，点尸是抛

物线E:d=2py（p>0）的焦点.

⑴求圆C和抛物线E的方程；

⑵过点尸作直线/与抛物线交于不同的两点A,B,过点A,B分别做抛物线E的切线，两条切线交于点

Q,试判断直线与圆C的另一个交点£>是否为定点，如果是，求出。点的坐标；如果不是，说明理

由.

5.（23-24高三上•天津•期末）设A,B两点的坐标分别为（T,0）,（4,0）.直线8M相交于点V,且

3

它们的斜率之积是记点加的轨迹为C.

4

⑴求C的方程

（2）设直线x=2与C交于E,歹两点，若△但1的外接圆在E处的切线与C交于另一点P,求的面

积.

第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）

［考情分析】1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式

出现，中低难度2和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.

知识导图

❶考点一：直线的方程

★直线与圆

❷考点二:圆的方程

考点分类讲解

考点一:直线的方程

1.已知直线:Aix+2iy+Ci=0,直线，2：Azx+B2y+C2=0,则20Al&—且A1C2—AzGWO(或

BIC2-B2CI^0),/jOAAi+W

|Axo+Byp+C|

2.点尸（龙0,如）到直线/:Ax+By+C=O（A,B不同时为零）的距离d=5+序■

_rI

3.两条平行直线/i：Ax+By+Ci=O,h：Ax+By+C2=0（.A,B不同时为零）间的距离1=上耳看.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

（1）利用422—451=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

（2）要注意直线方程每种形式的局限性.

（3）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

【例1】（23-24高三上•山东青岛•期末）"相=3"是"直线4：»u+y+机=0与/2,3苫+0-2方-3帆=。平行”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线平行的条件，判断"机=3"和"直线/|:皿+y+m=0与/2,3%+（上一2）?-37=0平行"之间

的逻辑关系，即可得答案.

【详解】当"=3时，直线4：3x+y+3=O与4,3x+y-9=0平行;

当直线4：mx+y+m=0与/2,3x+（«?_2）y—3w?=0平行时，

有m（m-2）-3=0-3m-m（m-2）0,解得〃z=3,

故"m=3"是"直线4.mx+y+m=Q^l2,3x+（m-2）y-,3m=Q平行”的充要条件,

故选：C

【变式1]（23-24高三上•河北•阶段练习）已知直线4：or+2y+/?=。与直线4：bx-y+a=。垂直，贝U

/+〃的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据直线的垂直关系可得必=2,利用基本不等式即可求得答案.

【详解】因为直线4：ax+2y+b=0与直线4：次一＞+。=0垂直，

所以应＞—2x1=0,即必=2,所以/+/22°6=4,

当且仅当a=b=0或a=b=-0时等号成立.

即的最小值为%

故选：B

【变式2]（2024•陕西安康•模拟预测）已知直线y-7〃+3=O（MeR）与直线

%：x+〃9-〃2-5=O（〃7wR）相交于点尸，则尸到直线2x+y+7=0的距离的取值集合是（）

A.[75,375]B.（6,3,6]C.[2石,4正]D.（2五,46]

【答案】D

【分析】先判断4与4的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点。,1）,转化为圆心到直线的距

离求解即可.

【详解】由两直线垂直的判断条件A4+用与=。，可知根」+（-!）•机=0,

所以直线4与4始终垂直，

又由条件可得直线「恒过定点"（1,3）,直线4恒过定点N（5,l）,

所以两直线的交点尸是在以线段MN为直径的圆上，

所以该圆的圆心坐标为（3,2）,半径为世，

圆上点(1,1)是过定点M(l,3)且斜率不存在的直线与过定点N(5,l)且斜率为0的直线的交点，故挖去点

(1,1).

圆心(3,2)到直线2尤+y+7=0的距离4=〔6J=36，

所以，乙与4的交点到直线2尤+y+7=0的距离的最大值和最小值分别为46和2拓，

又(1,1)到直线2x+y+7=0的距离为26,应舍去，

所以取值集合是(2石,4q]

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点P

是在以线段为直径的圆上，从而得解.

【变式3】(2023高三・全国•专题练习)过点4L-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程

为.

【答案】2元+3>+1。=0

【分析】根据题意设所求直线为2尤+3y+c=0(cw5),然后将点A(1,T)的坐标代入可求出c,从而可求得

直线方程

【详解】设所求直线方程为2尤+3y+c=0(cH5),

因为点A(l,-4)在直线2x+3y+c=0(cw5)上，

所以2xl+3x(-4)+c=0,解得。=10,

故所求直线方程为2尤+3y+10=0.

故答案为：2x+3y+10=。

考点二:圆的方程

1.圆的标准方程

当圆心为(a,b),半径为r时，其标准方程为(x—a)2+(y—b)2=，.

2.圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中。z+/-go,表示以(一孝，一?为圆心，4-为半径的圆.

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

（2）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

【例4】（2024•江苏•一模）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过ABC的三个顶点A民C作它的外接圆的切线，

分别和所在直线交于点则尸,。,尺三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的

Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A（0,l）,3（2,0）,C（0,T）,则该三

角形的Lemoine线的方程为（）

A.2x—3y—2=0B.2%+3y-8=0

C.3x+2y—22=0D.2x—3y—32=0

【答案】B

【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在AC处的切线方程，进而求出的坐标，得到

答案.

【详解】..A5c的外接圆设为必+，2+6+£>+尸=0,

I+E+尸=0f£>=0

4+2D+F=0,解得.E=3,

16-4E+F=01F=-4

；•夕卜接圆方程为/+9+3丫-4=0,即+=/，

易知外接圆在A处切线方程为y=l,

又8C：1+V=i，令y=i得,x=|,

2—42）

在C（0,T）处切线方程为y=T,

又A3:：+y=l,令y=T得x=10,.•.WlO.Y）,

y+4_x-10

则三角形的Lemoine线的方程为=即2尤+3y-8=0

------1U

2

故选：B.

【变式1］（2024•广东•一模）过4-1,0）,8（0,3）,C（9,0）三点的圆与>轴交于N两点，贝lJ|M7|=

（）

A.3B.4C.8D.6

【答案】D

【分析】设圆的方程为x2+y2+m+Ey+F=0,代入坐标得3E,尸的值，即可得圆的方程，再令x=0,即

可求得与y轴相交弦长.

【详解】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点4(-1,0),3(0,3),C(9,0),

l-D+F=0

贝人9+3E+P=0,解得。=一8,£=0,尸=一9,

81+9D+F=0

可得x2+y2-8%-9=0,整理得(x-4)2+/=25符合题意，

所以圆的方程为x2+y2-8x-9=0,

令x=0,可得/_9=0,解得y=±3,所以同=6.

故选：D.

考点三:直线、圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

(1)点线距离法.

⑵判别式法：设圆C:(x-a)2+(y~b)2=r2,直线/:Ar+By+C=0(A2+B2#0),联立方程组

[Ax+8y+C=0,

\^x-d)1+(y-b)l=r1,

消去y,得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离台/<0,直线与圆相切0/=0,

直线与圆相交㈡/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等

式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距

离，再结合半径利用勾股定理计算.

【例3】(2024•云南昆明•模拟预测)已知如是圆C:V+(y_l)2=i的切线，点A为切点，若|上4|=2,则点

尸的轨迹方程是()

A.(x-1)2+y2=5B.x2+(^-1)2=5C.y2=2xD.x2=2y

【答案】B

【分析】根据题意，由圆的定义可知点尸的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.

【详解】因为|R4|=2,所以尸点到圆心的距离恒为万丁=石，

所以点P的轨迹方程是以（0,1）为圆心，逐为半径的圆，即f+（,-1）2=5,

故选：B

【变式1】（23-24高三下•山东青岛•开学考试）"圆心到直线的距离小于圆的半径"是"直线与圆相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线与圆的位置关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.

【详解】根据直线与圆的位置关系的判断可知，"圆心到直线的距离小于圆的半径"是"直线与圆相交”的充

要条件.

故选：C

【变式2】（2024•广东佛山•模拟预测）过点（0,-2）与圆d+y2-4丈-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝|

sin«=（）

A.1B.姮C.巫D.逅E.均不是

444

【答案】B

【分析】得到圆的圆心与半径后，借助切线性质可得sin1,即可得cos1,即可得sine.

22

【详解】圆/+/一4丈-1=0可化为（X—2）2+/=3,即圆心为（2,0）,半径为

故圆心到点（。,-2）的距离为历N=2鱼，

则sin^=4=逅，由故cos4=

22V242V2；2

+h.0-a«V6A/10V15

型sina=2sin—cos—=2x——x------=------.

22444

故选：B.

【变式3】（2024•福建漳州,一模）过点尸（x。,兀）作圆。：/+》2=9的两条切线，切点分别为4,B,若直

线AB与圆C：（x-iy+9=1相切，贝｝|北+18%=.

【答案】81

【分析】由题意可知点A8在以OP为直径的圆上，结合两圆相交可得直线AB的方程为％胚+%>-9=0,

再根据直线与圆相切列式求解.

【详解】圆。：/+9=9的圆心为0（0,0）,半径r=3；

圆C：（无一1）2+丁=1的圆心为。（1,0）,半径R=l；

由题意可知：OA1PA,OB1PB,可知点A,2在以OP为直径的圆上,

以OP为直径的圆为1-口=竹宣，

整理得犬+'2-不了一%>=。，结合圆0：x2+y2=9,

两圆方程作差，可得直线A8的方程为9-%x-%y=0,即x°x+-9=0,

若直线A2与圆C：（x-l）2+/=l相切,

整理得4+18尤。=81.

故答案为：81.

考向2圆与圆的位置关系

【例3】（2023,浙江绍兴■模拟预测）已知圆G：x?+y—=亍,圆心为园（一2,0）,a（4,0）的圆分别

与圆G相切.圆C2,C3的公切线（倾斜角为钝角）交圆G于A，2两点，则线段A2的长度为（）

33

A.—B.-C.3D.6

42

【答案】B

【分析】判断圆C2C3与G需外切，求出cz,C3的方程，进而求得圆C2，C3的公切线方程，再根据弦长的几

何求法，即可求得答案.

【详解】如图，由已知C/Y+卜一半）=弓的圆心为G（o,乎），半径为弓=|,

设C2，C3的半径为4,4，

由题意知圆C2，Cj与G需外切，否则圆c2,C3无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆C1无交点;

由题意知|CCzl=j(-2)2+(平)2ng911

即Hn4+4.+4=5，”=1；

ICCI="(粤■)?=亮，即4+1»=六钎2,

故圆C2:(x+2)2+y?=1,圆G:(x—4)~+y?=4,

设圆C?,C3的公切线方程为〉=丘+6,（左＜0）,

'\-2k+b\_^

，下:，解得上=_且/=0,即y=_lx,

则

般+H33

百一

故C](0,普至(Jy=-gx的距离为d=~r==圭生

r3

故|阴=2旧_屋=23

2

故选：B

【变式1】（23-24高三上•广东佛山•阶段练习）己知圆〃的圆心为（T,-2）,且经过圆。：

/+_/+61-4=0与圆。2：尤2+y2+6y-28=o的交点.则圆加的面积为（）

二八八25n

A.5兀B.257iC.IOTUD.

2

【答案】B

【分析】联立圆。与圆。2的方程，解得两交点坐标，即可求得圆”的半径，从而可得答案.

22

x+y+6尤-4=0

【详解】解:联立,解得:

f+6y—28=0

所以圆M的半径为：J（-l+以+（3+2）2=5,

所以M的面积为257r.

故选：B.

【变式2】（2024•广西来宾•一模）若曲线C］：x2+（y_〃z）2=4与C2：x2_y2=。的图象有3个交点，则

m=.

【答案】±2

【分析】根据题意可知曲线G：f+（y-〃z）2=4过坐标原点。，从而建立方程，即可求解.

【详解】曲线曲线。］：/+（»-加）2=4表示以（0,m）为圆心，半径为2的圆，

曲线Cz：--/：。表示直线,川或好一》,

因为两个曲线的图象由3个交点，

如图所示，曲线C］:必+（丫-m）2=4过坐标原点。，

故/—4,m=±2.

故答案为：±2.

【变式3】（2O23•河北衡水•三模）若圆G：尤2+y2=l和c2：x2+y2_26办-2ay-5a=o（a>m有且仅有一

条公切线，贝产=;此公切线的方程为

【答案】1瓜+y+2=0

【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求。，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得

出斜率即可求解.

由题意得G与G相内切，又G：(%-66+(y—a)?=4-a2+5〃1a>,

所以|GQ|=S/+/={4a2+5a—1,

所以2a+l=j4/+5a，解得a=l,

1_A/3

所以C?（石，1），左GG

A/3-3•

（731、

所以切点的坐标为"「a

故所求公切线的方程为yXH--,即y/3x+y+2=0.

I2J

故答案为：1;J§x+y+2=0

【变式4】（2024•广东深圳•模拟预测）己知圆加:彳2+'2-2"=0（0>0）的圆心到直线2工+、=2距离是斯,

则圆M与圆N:（x-2）2+（y+l）2=l的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内含D.内切

【答案】C

【分析】首先由圆心〃（。,0）到直线2x+y=2距离是岔列式求出a的值，进而可得圆心M的坐标以及圆

”的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解.

【详解】圆M：x2+y2-2ax=0（a>0）即圆M：（无一a）2+y2=/（a>o）的圆心半径分别为“（氏0）百=。,

圆―（》-2）2+仃+1）2=1的圆心半径分别为双（2,-1），4=1,

因为d="%2|=若,解得a=g或°=_|_（舍去）,

q,o],所以

从而M

因为河=《7?=半<厂4=|>

所以圆M与圆N:（尤-2）2+（v+l）2=l的位置关系是内含.

故选：C.

【变式5]（2024•辽宁•二模）已知圆Y+9=4与圆Y+/一8x+4y+16=0关于直线I对称，则直线/的方程

为（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0

C.2x-y—5=0D.%+2y=0

【答案】C

【分析】根据对称可知/是圆C1和圆c2圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即

可.

【详解】圆G：/+y2=4,圆心G（0,0）,半径4=2,

22

C2:x+y-8x+4y+16=0,圆心C?(4,-2),半径马=2,

由题意知，/是圆G和圆G圆心连线的垂直平分线,

G（0,0）,C2（4,-2）,C0的中点（2,T）,

圆心GC2连线的斜率为kCiCi=-1,则直线/的斜率为2,

故/的方程：y+l=2（尤-2）,即―,故C正确.

故选：C.

口强化训练

一、单选题

1.（23-24高三上•河南焦作•期末）若圆C：（x—2）2+卜+5]=。与x轴相切，则。二（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】D

2

【分析】求出圆心和半径，数形结合得到幺=。且。＞0,得到答案.

4

【详解】C:(x-2)2+(y+3=a的圆心为半径为夜(°＞0),

2

因为圆C与X轴相切，所以幺=。且。＞0,解得。=4

4

故选：D

2.(2024・四川•模拟预测)已知直线"+勿-2=。(4＞08＞0)经过点(1,4),则a的最小值为()

ab

25

A.4B.8C.9D.——

2

【答案】B

【分析】依题意可得々+45=2,再利用乘〃1〃法及基本不等式计算可得.

【详解】因为直线双十外-2=0(，＞0力＞0)经过点(1,4),

所以a+4Z?=2,

所-以4Z+g1=J1f_4+1(a+4b)=；(8+16ba

abab

116ba

>—8+2,=8,

2ab

当且仅当詈噎即。=1、时取等号.

故选：B

3.(2024•四川南充•二模)已知圆。：必+2了+丁2一1=0,直线/:尤+”(y—l)=0与圆C()

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

【答案】D

【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点(0,1),结合圆的方程分析可得尸在圆上，据此由直

线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案.

【详解】根据题意，直线/的方程为/：X+〃(，-1)=0,恒过定点(0,1),

设尸为(0,1),又由圆C:x2+2x+y2_]=0,即(x+iy+y2=2,

其圆心为(T,。)，半径r=0,

由|尸。|2=俨+12=2=/,则尸在圆C上,

则直线/与圆C相交或相切.

故选：D.

4o

4.（2024高三下•浙江杭州•专题练习）己知点A为曲线>=%+（@>0）上的动点，2为圆（x-2）?+丁=1上

的动点，贝l|A5|的最小值是（）

A.3B.4C.36D.4A/2

【答案】A

【分析】数形结合分析可得，当4（2,4）时能够取得|A例的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即

可.

【详解】圆（x-2y+y2=i的圆心为（2,0）,半径为1,

4

由对勾函数的性质，可知y=x+->4,当且仅当％=2时取等号，

x

结合图象可知当A点运动到（2,4）时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4,

从而的最小值为4—1=3.

5.（2024•广东•一模）已知直线4:Ax-y+l-J5左=0/£R）与直线6：1+由+6+左=0（左£即相交于点M,

若恰有3个不同的点M到直线/：%-y+〃=0的距离为1,贝ljb=（）

A.±1B.+^/2C.D.±2

【答案】B

【分析】根据直线垂直确定M轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求

解.

【详角军】由《\kx-y+\-yfik=0(^GR)KTWk(x-V3)-y+l=0,

即4过定点4有,1）,

由/2:x+初+6+k=0(左eR)可得x+G+K(y+l)=O,

即4过定点8（-若,-1），

又所以M的轨迹是以AB为直径的圆（不含点（石，-1））,

其中圆心为（0,0）,半径为4=|期=2,

所以圆上恰有3个不同的点M到直线/：彳-，+6=。的距离为1,

|0-0+fe|

只需圆心到直线的距离等于1,即1=解得人=±0,

~ir~=1,

此时（石,1）至I]直线x-y+6=。的距离不为1,故6=±0符合.

故选：B

6.（2024•浙江•模拟预测）如图，直线y=1x+3交无轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于

原点。，另两个顶点M,N恰好落在直线y=1x+3上，若点N在第二象限内，则tanNAON的值为（）

4

【答案】A

【分析】过。作OC，回于C,过N作NDLQ4于。，根据等面积求出|OC|,运用在直角三角形等知识求

出结果.

【详解】设直线与y轴的交点为8,过。作于C,过N作ND_L6H于

因为N在直线y=%+3上且在第二象限内，设小,1+3],

贝=z尤+3,|OD|=_x,又A（T,0）,3（0,3）,即=4,|。同=3,

所以|AB|=5,在AC®中，由三角形的面积公式得：^\OB\\OA\=^\AB\\OC\,

17

所以|oc|=（，

12

在RfNOW中，|QW|=|ON|,/MM9=45,所以$也45=1=工

|ON||ON|

即|0叫=工|2,

在也A©O中，|呵+|£>0『=3『，即++（-x）2=

841284

解得：玉二一石"2=不，因为N在第二象限内，所以冗=-石，

所,,⑼1噗9,,卬।喋84，所以tanNAONNnD^、1，

故选：A.

7.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知。为圆人:（工-1）2+丁=1上动点，直线乙：e-〃y+3〃z+2〃=0和直线

22

l2:wc+my-6m+n=0（m,z?eR,m+n^0）的交点为尸，则P。的最大值是（）

A.6+75B.4-&C.5+75D.1+75

【答案】A

【分析】由《、4可得4,且乙过定点矶-3,2）,4过定点C（-l,6）,则可得点尸在以BC为直径的圆

上，则PQ的最大值为AM+4+4.

【详解】由4