广东深圳宝安区2024年八年级下学期期末数学试题（含答案或解析）

宝安区2023-2024学年第二学期学情调研问卷八年级数学

说明：

1.试题卷共6页，答题卡共4页.考试时间90分钟，满分100分.

2.请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记.

3.本卷选择题1~10,每小题选出答案后，用25铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案

标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写

在本卷或其他地方无效.

第一部分选择题

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是

正确的）

y

i.若分式丁+3有意义，则，满足的条件是（）

A.y=3B.y=-3C.yw3D."-3

2.下列选项中，能使不等式乃＜13成立的是（)

A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4

3.2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太

空创造新的纪录.下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（）

A.am+an-+B.ax2+bx+c=x^ax+b^+c

C.(x+l)(x-2)=x?-x-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

5.过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（）个三角形.

A.4B.5C,6D.7

6.若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4,则这个点关于原点对称点的坐标

为（）

A.（3,卜4）B.（-3,4）C.（4,-3）D.（-4,3）

第1页/共7页

hn

7.如果-+-=4,那么

8.下列命题中，假命题是（）

A.多边形的外角和都等于360°

B.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

C.两条直角边分别相等的两个直角三角形全等

D.如果。。=0,那么。=0,b=0

9.又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件

重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下：

10元/千克6元/千克

说明：①单件包裹重量不超过5千克；

②运费计算方式：首重运费+续重x续重运费，首重为1千克，超过1千克即要续重，

续重以1千克为一个计重单位（不足1千克按1千克计算）

例如：寄出的包裹为3.7千克，则总运费为10+6x3=28元.

若张华想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（）元.

A.46B.52C.56D.60

10.在045。中，已知A8=AC=3指，BC=6,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于点。，E,

点厂和点G分别是线段。石和边上的动点，则C/+R7的最小值为（）

81

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：3X2-12=.

12.若不等式（加-3）y-1>0（m为常数,且加力3）的解集为"」刀，则根的取值范围是

第2页/共7页

13.若关于尤的分式方程生]+一一=1有增根，则。的值为一.

x-88-x

14.如图，在平面直角坐标系中，四边形。4BC是平行四边形，04=AB,A（2,2月），将对角线0B绕

点。顺时针旋转60。交的延长线于点F,则点/的坐标为.

ZBAC=150°,以为边作等边AABD,连接

DC,若AE平分/D4C交于点E,则BE的长为

三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式组：《15，并把它的解集在数轴上表示出来.

—x+6>2—x

[33

2a(1a—3]

17.先化简，再求值：-1+―-,其中。=2024.

a2-9(a+3J

18.已知UABC.

第3页/共7页

AA

Z图1U图2

(1)如图1,请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段AC的中点D(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)如图2,在(1)的条件下，点E为边上一点且.EC=2BE,连接AE,取AE的中点R连

接。尸、DE、BF,求证：四边形BED尸为平行四边形.

19.人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利.某快递公司计

划购进A,8两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价

少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买3型号分拣机器人的数量的

2倍.

(1)43两种型号分拣机器人的单价各是多少？

(2)若该快递公司购进A,8两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天

能分拣0.8万个包裹，每个3种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要

分拣44万个包裹，求最多购进A种型号分拣机器人多少个？

20.在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动.

素

材两点确定一条直线

1

素

材图形平移的本质就是点的平移

2

素

材平移不改变直线的倾斜程度

3

一次函数y=2x+4,与x轴的交点为A,与y轴的交点为8,若该函数图象向左

任

平移5个单位长度，此时点A的对应点C的坐标为______，点B的对应点为D的

务1

坐标为______,并求出平移后的函数表达式；

第4页/共7页

任

一次函数y=-3x+4,与X轴的交点为E,与y轴的交点F,将该函数向右平移

务

加个单位长度，线段E尸扫过的图形面积为12,请求出平移后的函数表达式.

2

21.【阅读理解】

我们把形如。%+勿=。（a、。均为整数，且.匕70）的方程称为二元一次整系数方程.若。=1,则

y>010

可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如.x+3y=10,则x=10-3y,：〈；。^,：.0<y<—,

10-3j>0'3

x=7（x=4fx=1

•••y为正整数，，y=l,2,3,故原方程的正整数解有3个，分别为<〈C，<：

"1U=2[y=3

9-2x2

若。wOwl,则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如2x+3y=9,贝。y=-------=3一一%,设

-33

3^>03

x=3k（左为正整数），则y=3—2左，……：.0<k<—,:.k=l,故原方程的正整数解有1

3-2^>02

个，为〈\x=3..

【问题解决】

（1）结合上述内容，请直接写出4x+2y=10的所有正整数解；

（2）若关于x和y的二元一次方程x+2y=相有且只有一个正整数解，请求出机的值；

【应用迁移】

（3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品.组长小丽汇报称：

“我们购买了两种类型的笔记本，其中A类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索

取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价.”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价

不可能同时为整数.请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确.

22.【材料背景】

如图1,在048。中，以边为底边向外作等腰RZOAB。，其中乙4。8=90°,且那么点

D就被称为边的“外展等直点”.

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DA

图1

【建构与探究】

如图2,正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点。、A、B、C都在格点上，ZOAB=90°,点C为

图2

(1)连接。4、OB、AB,请分别作边。4、AB的“外展等直点”尸和。，连接尸C、QC和尸。，则

△PCQ的形状为

(2)如图3,点E、尸在格点上，请在线段E户上的格点中任取一点。(不与点A重合)，连接BD,

分别作口的边。。和边3。的“外展等直点”G、H,连接GC、和G”,请判断DGUC的形状,

并说明理由.

图3

【应用与拓展】

(3)如图4,点N为平面内某三角形两条边的“外展等直点“，已知”(-2,-1),N(3,l),请直接写

第6页/共7页

出该三角形第三条边的中点K的坐标.

斗

・N

To

M

图4

第7页/共7页

宝安区2023-2024学年第二学期学情调研问卷八年级数学

说明：

1.试题卷共6页，答题卡共4页.考试时间90分钟，满分100分.

2.请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记.

3.本卷选择题1~10,每小题选出答案后，用25铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案

标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写

在本卷或其他地方无效.

第一部分选择题

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是

正确的）

y

i.若分式丁+3有意义，则，满足的条件是（）

A.y=3B.y=-3C."3D."-3

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出

不等式并正确求解.

【详解】由题意得，y+3^0,

解得：尸-3,

故选：D.

2.下列选项中，能使不等式7/<13成立的是（）

A.f=lB.t=2C.t=3D.7=4

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了不等式的解集，将7/<13求解，得出解集，再比较即可，解题的关键是求出不等式

的解集.

【详解】解：：7/<13,

.13

../<--,

7

第1页/共21页

A、由/'=1＜一，符合题意；

7

13

B、由/=2〉一，不符合题意;

7

13

C、由/=3〉一，不符合题意；

7

13

D、由/=4〉一，不符合题意;

7

故选：A.

3.2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太

空创造新的纪录.下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对

称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形可得答案.

【详解】A、图形绕某一点旋转180。后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

B、图形绕某一点旋转180。后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

C、图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；

D、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C.

4.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是()

A.am+an=a(m+n^B.ax2+bx+c=x^ax+b)+c

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2D.(x+y)(x-y)=x2-y2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义(把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种

式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式)逐项判断即可得.

【详解】解：A.。根+皿=。(加+")是因式分解；

第2页/共21页

B.。%2+笈+。=》(办+0)+。最后运算是整式加法，不是因式分解；

C.(x+l)(x-2)=x?-%-2,是整式的乘法，不是因式分解；

D.(x+y)(x-y)=x2-俨，是整式的乘法，不是因式分解；

故选：A.

5.过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成()个三角形.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过”边形的一个顶点，可以引出("-3)条对角线，

这些对角线把该多边形分成(n-2)个三角形是解题的关键.

【详解】解：•••某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，

该多边形的边数为4+3=7,

这些对角线将这个多边形分成7-2=5个三角形.

故选B.

6.若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4,则这个点关于原点对称点的坐标

为()

A.(3,卜4)B.(-3,4)C.(4,-3)D,(-4,3)

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的

横坐标的绝对值.

尸在第二象限，那么点尸的横纵坐标的符号为负，正；进而根据尸到x轴的距离为纵坐标的绝对值.到y轴

的距离为横坐标的绝对值判断出具体坐标.

【详解】解：第二象限内的点横坐标小于0,纵坐标大于0；

•••到x轴的距离是3,

其纵坐标为3,

到y轴的距离为4,

其横坐标为-4,

第3页/共21页

坐标是（一4,3）.

...关于原点对称点的坐标为（4,-3）

故选：C.

ba（〃+b）

7.如果一+—=4,那么:——&的值为（）

ab（a-by

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出a2+b2=4ab代入分式进行计算即可求解.

【详解】解：V-+^=4

ab

...a=4,gpa1+b~=4ab

ab

（a+0）2a2+b~+2ab4-ab+lab

----------=—----------------=---------------=3

（。—b）~a~+b^-lab4ab-lab

故选：D.

8.下列命题中，假命题是（）

A.多边形的外角和都等于360°

B.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

C.两条直角边分别相等的两个直角三角形全等

D.如果。。=0,那么a=0,b=0

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用多边形的外角和，三角形的中位线定理，全等三角形的判定,

实数的性质，分别判断后即可确定正确的结论.

【详解】解：A、多边形的外角和都等于360。，故原命题是真命题，故该选项不符合题意；

B、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，故原命题是真命题，故该选项不符合题意；

C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题是真命题，故该选项不符合题意；

D、如果。。=0,那么a=0或。=0,故原命题是假命题，故该选项符合题意；

故选：D.

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9.又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件

重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下：

首重续重

10元/千克6元/千克

说明：①单件包裹重量不超过5千克；

②运费计算方式：首重运费+续重x续重运费，首重为1千克，超过1千克即要续重，

续重以1千克为一个计重单位（不足1千克按1千克计算）

例如：寄出的包裹为3.7千克，则总运费为10+6x3=28元.

若张华想要寄7.5千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（）元.

A.46B.52C.56D.60

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了列代数式，根据表中给出的运费计算方式应当分5千克和2.5千克，然后计算运费即

可，解题的关键是读懂题意，理解表中给出的运费计算方式.

【详解】解：张华想要寄7.5千克的荔枝回老家，根据表中给出的运费计算方式应当分5千克和2.5千

克，

则总运费为10+6义（5—l）+10+6x（3—1）=56（元），

故选：C.

10.在口48。中，已知AB=AC=3y/5>BC=6,4c的垂直平分线分别交AB,AC于点O,E,

点厂和点G分别是线段。E和BC边上的动点，则CP+R7的最小值为（）

A.376B.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短,勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分

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AC,得AF=CF,则CE+EG=AE+EG,当点A、F、G三点共线，且AGLBC时，CF+FG

有最小值AG,最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】•••。石垂直平分AC,

AF=CF,

：.CF+FG=AF+FG,

当点A、F、G三点共线，且AGJ_8C时，C/+FG有最小值AG,

如图，

AB=AC,

：.BG=GC=-BC=3,ZAGB=ZAGC=90°,

2

由勾股定理得：AGZAC-GC?=小石『―32=6,

CF+FG有最小值AG=6,

故选：B.

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：3d_12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：原式=3（必一4）

=3（x+2）（x-2）,

故答案为：3（x+2）（x-2）.

12.若不等式（加-3）丁-1>0（m为常数，且加力3）的解集为y<-i—,则根的取值范围是

m-3

【答案】m<3##3>m

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【解析】

【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解

题的关键.

【详解】解：由题可知，m-3<0,

解得：m<3,

故答案为：m<3.

13.若关于尤的分式方程上望+——=1有增根，则。的值为一.

x-88-x

【答案】-14

【解析】

【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键.

2x+〃—2—x—8，

x=-a-6,

•.•关于X的分式方程生］+一一=1有增根，

x-88-x

••x——ci—6=8,

解得：a=-14,

故答案为:-14.

14.如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是平行四边形，0A=A5,4（2,273）,将对角线08绕

点。顺时针旋转60°交BC的延长线于点F,则点歹的坐标为.

【分析】连接AC,过歹作轴于点歹，由。4=A3证明四边形。4BC是菱形，则

第7页/共21页

OA=AB=OC,ZAOB=ZBOC=-ZAOC,根据两点间的距离可证口。4c是等边三角形，最后由勾股

2

定理和30°所对直角边是斜边的一半即可求解.

【详解】如图，连接4C,过歹作网轴于点月，

:四边形。4BC是平行四边形，0A=A3,

.••四边形。4BC是菱形，

OA=AB=OC,ZAOB=NBOC=-ZAOC,

2

VA（2,2V3）,

•••OA=^22+（2V3）2=4，

OA=OC=4,

.-.C（4,0）,

•••AC="2—4『+（2厨=%

OA=OC=AC=4,

：.UOAC是等边三角形，

ZAOC=60°,

ZAOB=NBOC=-ZAOC=30°,

2

由旋转性质可知：ZBOF=60°,

ZCOF=NBOF—ZBOC=60°-30°=30°,NOBC=30°,

/.ZBFO=90°,

NDFC=ZCOF=30°,

CF=-OC=2,

2

CD=-CF=1,则OD=OC—C£>=4—1=3,

2

在中，由勾股定理得：DF=Jeb?一CD。=5

第8页/共21页

.­.F（3,-V3）,

故答案为：（3,-V3）.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30。所对直角边是斜边的一

半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

15.如图，在等腰口ABC中，AB=AC=6,ZBAC=150°,以AB为边作等边AABD,连接

DC,若AE平分交于点E,则3E的长为.

【答案】3V2+V6

【解析】

【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到

AB=BD=AD=6=AC,ABAD=ZABD=60°,即可得到ND4c=90°,然后根据三线合一得到

ED=EC,然后分别在RtOBO尸和中，利用勾股定理解题即可.

【详解】解：过点。作。于点R连DE,

•：△A3。是等边三角形，

AB=BD=AD=6=AC,/BAD=ZABD=60°,

又：ZBAC=150°,

ZABC=ZACB=15°,ADAC=ABAC-/BAD=150。—60°=90°,

ZDBE=45°,

BF=DF,

DFLBC,

ZBFD=90°,

BF2+DF2=BD?，即2BF?=BD2，

；•DF=BF=—BD=372，

2

又•••AD=AC,AE平分/D4C,

Z.AE垂直平分DC,ZACD=ZADC=45°

第9页/共21页

:.ED=EC,

・・・/EDC=/ECD=ZACD-ZACB=45。-15。=30°,

AZFED=60°,即//。£=30。，

・•・ED=2EF,

又：ED2-EF2=DF2，即3EF2=DF2，

解得EF=^DF=a，

3

•*-BE=BF+EF=372+V6.

D

三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

3x-l<2（x+l）

16.解不等式组：,15-并把它的解集在数轴上表示出来.

[33

11II।11B■II।Ilin童.

"5"3-2"1012345

【答案】-2<x43,在数轴上表示见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步

骤是关键.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定

不等式组的解集.

3x-l<2（x+l）①

【详解】解:15

—x+6>2——x®

133

解不等式①得3,

解不等式②得%>-2,

不等式组的解集为：-2<x<3,

第10页/共21页

数轴上表示为:

17.先化简，再求值：一—--？1--------j,其中a=2024.

a--9Ia+3)

1

【答案］--

6Z—32021

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，原式利用完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算进行化简运算,

得出最简结果，再代入a=2024,即可求解.

2a\a—3

【详解】解：丁三+A1+-------

a-9(a+3

2a〃

____________x__+__3

(a+3)(〃-3)2a

1

a-3，

1

当a=2024时，原式=---

2024-32021

18.已知口ABC.

（1）如图1,请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段AC的中点。（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）如图2,在（1）的条件下，点E为边上一点且.EC=2BE,连接AE,取AE的中点R连

接。DE、BF,求证：四边形BED尸为平行四边形.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查线段的垂直平分线的作法，三角形中位线的性质，平行四边形的判定定理，掌握三角形的

中位线定理是解题的关键.

（1）利用基本作图一作已知线段的垂直平分线的作法作图即可;

（2）先证明是DACE的中位线，得到DR口EC,DF=BE,即可得到结论.

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【小问1详解】

解：点。即为所作;

【小问2详解】

证明：EC=2BE,

AEB=-BC,EC=-BC,

33

又，：D,E是AC,AE的中点,

DFHEC,DF=-EC=BE,

2

.••四边形BEDF为平行四边形.

19.人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利.某快递公司计

划购进4B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价

少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买8型号分拣机器人的数量的

2倍.

(1)43两种型号分拣机器人的单价各是多少？

(2)若该快递公司购进A,B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天

能分拣0.8万个包裹，每个3种型号快递分拣机器人每天能分拣L2万个包裹，若该快递公司每天至少要

分拣44万个包裹，求最多购进A种型号分拣机器人多少个？

【答案】(1)A型号分拣机器人的单价是1.5万元，B型号分拣机器人的单价是4.5万元

(2)最多购进A型号分拣机器人40个

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题

的关键.

(1)设A型号分拣机器人的单价是x万元，B型号分拣机器人的单价是(X+3)万元，根据“用120万元

购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程并解答；

(2)设购进A型号分拣机器人机个，则购进B型号分拣机器人(50-租)个，根据“快递公司每天至少要

分拣44万个包裹”列出不等式并解答.

【小问1详解】

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设A型号分拣机器人的单价是了万元，B型号分拣机器人的单价是（x+3）万元,

由题意，得型=幽、2,

xx+3

解得：x=1.5,

经检验x=1.5是原方程的解，且符合题意,

x+3=4.5,

答：A型号分拣机器人的单价是1.5万元，B型号分拣机器人的单价是4.5万元;

【小问2详解】

设购进A型号分拣机器人m个，则购进B型号分拣机器人（50-m）个,

由题意，得0.8根+12x（50—根）244,解得：加＜40

答：最多购进A型号分拣机器人40个.

20.在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动.

素

材两点确定一条直线

1

素

材图形平移的本质就是点的平移

2

素

材平移不改变直线的倾斜程度

3

一次函数y=2x+4,与无轴的交点为A,与》轴的交点为B,若该函数图象向左

任

平移5个单位长度，此时点A的对应点。的坐标为______，点B的对应点为。的

务1

坐标为______,并求出平移后的函数表达式；

任

一次函数y=-3x+4,与X轴的交点为E,与y轴的交点F,将该函数向右平移

务

冽个单位长度，线段E尸扫过的图形面积为12,请求出平移后的函数表达式.

2

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【答案】任务1：(-7,0),(-5,4)；平移后的函数表达式为y=2x+14

任务2：平移后的函数表达式为y=-3x+13

【解析】

【分析】任务1：由y=2x+4得A(-2,0),8(0,4),再由函数图象向左平移5个单位长度得

C(-7,0),£>(-5,4),y=2x+14；

任务2：当x=0时，y=4,则/(0,4),由线段E尸扫过的图形面积为12,可得根=3,最后由一次函

数的平移即可求解；

本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】任务1：由y=2x+4得，

当y=0时，x=-2；当x=0时，y=4,

.•.A(-2,0),8(0,4),

•.•该函数图象向左平移5个单位长度，

(-7,0),£>(-5,4),

平移后的函数表达式为y=2(x+5)+4=2x+14,

故答案为：(-7,0),(—5,4)；

任务2：当％=0时，y=4,

F(0,4),则O/=4,

,/线段EF扫过的图形面积为12,

mxOF=12,

・'・加=3,

・・,平移不改变直线的倾斜程度，

・,•设平移后的函数表达式为y=-3x+d,

将/(3,4)代入得4=—3*3+1,解得d=13,

；•设平移后的函数表达式为y=-3x+13.

21.【阅读理解】

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我们把形如ax+6y=cQ、b均为整数，且.。工0)的方程称为二元一次整系数方程.若。=1,则

>0,；.0<”叱

可以用以下方法确定其正整数解的数量,例如.x+3y=10,则x=10-3y,；

[10-3y>0-3

x=7x=4（尤=1

为正整数，■,-y=l,2,3,故原方程的正整数解有3个，分别为],y=2'|y=3

>=1

y=^^=3--x,设

若。W匕wl,则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如2x+3y=9,则

-33

3%〉03

x=3k(人为正整数)，则y=3—2左，•/,0<A:<—,:.k=L故原方程的正整数解有1

3—2%>02

x=3

个，为<

y=l

【问题解决】

(1)结合上述内容，请直接写出4x+2y=10的所有正整数解;

(2)若关于x和y的二元一次方程x+2〉=根有且只有一个正整数解，请求出机的值；

【应用迁移】

(3)假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品.组长小丽汇报称：

“我们购买了两种类型的笔记本，其中A类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索

取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价.”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价

不可能同时为整数.请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确.

x=1[x=2

【答案】(1)〈,(2)m=3(3)吴老师的判断正确

y=31y=1

【解析】

【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，根据题意，找到解题思路.

(1)根据题意，可得y=5-2%,根据x、y均为正整数，即可求解；

(2)根据正整数解的解法计算即可；

(3)设A类型笔记本的单价为。元，8类型笔记本的单价为万元，根据题意，可得7a+126=84,根据

a、匕均为正整数，即可求解.

【详解】(1)•；4x+2y=10,

/.y=5-2x,

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•••x、y均为正整数,

%=1[x=2

y=31y=1

(2)解："：x^m-2y,

•；y〉0,

y=1,

XVx>0

m-2>0,

/.m>2,

:二元一次方程x+2y=m有且只有一个正整数解，

m=3；

设A类型笔记本的单价为。元，8类型笔记本的单价为。元，根据题意，

12

可得7a+12/?=84,即a=12——b,

7

,:a、。均为正整数,

设b=1k（%为正整数），则a=12—12左，

」7k>0

•[12-12左〉0’

•:左不能为整数，

故原方程无正整数解.

.••吴老师的判断正确.

22.【材料背景】

如图1,在048。中，以边为底边向外作等腰RZ0AB。，其中乙4。8=90°,且那么点

D就被称为边的“外展等直点”.

图1

【建构与探究】

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如图2,正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点。、A、B、C都在格点上，/。43=90°,点C为

0B的中点.

图2

(1)连接。4、OB、AB,请分别作边。4、AB的“外展等直点”尸和。，连接PC、QC和尸。，则

△PCQ的形状为

(2)如图3,点£、P在格点上，请在线段石尸上的格点中任取一点。(不与点A重合)，连接。。、BD,

分别作口。8。的边。。和边3。的“外展等直点”G、H,连接GC、和G”,请判断nGHC的形状,

并说明理由.

图3

【应用与拓展】

(3)如图4,点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点"，已知”(-2,-1)，N(3,l),请直接写

出该三角形第三条边的中点K的坐标.