高一年级下册数学《复数》期末试题（易错40题16个考点专练）（解析版）

高一下册数学复数期末真题精选（易错40题16个考点专练）

题型一：复数的基本概念

1.（2022秋•上海徐汇•高二上海市徐汇中学校考期末）下列命题中，正确的是（）

A.任意两个复数都能比较大小B.任意两个复数都不能比较大小

C.设a,6eC,如果。＞8，那么a-b＞0D.设如果a-Z?＞0,那么

【答案】C

【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果.

【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；

当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；

因为且。＞＞，所以是实数，故。-少＞0,所以C正确；

因为a,6eC,^a=l-i,b=-i,则但是此时。与6不能比较大小，所以D错误.

故选:C.

2.（2022春•青海西宁•高二统考期末）复数的知识结构图如图所示，其中1,2,3,4四个方格中的内容分别为

（）

A.实数.纯虚数、无理数、有理数

B.实数、虚数、负实数、正实数

C.实数、虚数、无理数、有理数

D.实数、虚数、有理数、无理数

【答案】C

【分析】由复数与实数、有理数、无理数的包含关系即可求解.

【详解】由复数与实数、有理数、无理数的包含关系知C正确.

故选：C.

题型二：复数的实部与虚部

3.（2023秋•陕西西安・高二长安一中校考期末）若复数z满足（2+1/2-i）=5i,则复数z的虚部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】C

【分析】计算Z=9-」2+2i,得到复数的.

/一、5i5i（2+i）

【详解】（z+l）（2-i）=5i,则2==1=（21）（2（）-1=-2+21

故复数z的虚部是2.

故选：C

4.(2。23秋•山东荷泽・高三统考期末)若复数—百的实部与虚部相等，则实数0的值为()

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得.

【详解】Q""

l+i+222

由于复数z的实部与虚部相等,

„,+11—6Z

2=2

解得々=0.

故选：A.

5.(2022秋•江苏南京•高三期末)若复数z满足|z-N|=2,z2=3,则z2的实部为O

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】设复数z=x+yi,(x,ywR),则三=工一力,故根据|2-泊=2,22=3可求得尤2=2尸2=1,

结合复数的乘方运算，可求得答案.

【详解】设复数z=》+yi,ayeR),则建x-yi,

则由|2-彳|=2*-彳=3可得|2网=2且彳2+,2=3,

解得V=2,y2=i,

故z2=(x+yi)2=x2-y2+2^i,其实部为/一9=2一1=1.

故选：C.

题型三：复数的相等

6.(2023秋•山东威海•高二统考期末)已知实数无，y满足(2+i)x=4+ji,则上+利=()

A.2B.4C.2夜D.8

【答案】C

【分析】先通过条件求出苍儿再代入k+到求模即可.

【详解】由(2+i)x=4+yi得2尤-4+(尤-y)i=0,

f2x-4=0[x=2

-­-n，解得、，

[x—y=U(y=2

.-.|x+yi|=|2+2i|=V22+22=242.

故选：c.

7.(2021春•陕西渭南•高二统考期末)若复数(根-3)+m(m-3)i=0,则实数机=()

A.2B.3C.0D.1

【答案】B

【分析】根据复数相等可得出关于实数机的等式组，即可解得实数机的值.

f—3=0

【详解】因为(〃?-3)+祖(租一3)i=0,则1"租-3)=0'解得m=3・

故选：B.

题型四：复数的分类

8.(2023秋•辽宁•高三校联考期末)已知z是纯虚数，2”+2是实数，那么z=()

1-1

A.2iB.iC.-iD.-2i

【答案】A

【分析】根据z是纯虚数，设z=biSwO),求出言，根据言是实数，求出匕后可得z=2i.

1-1l-i

【详解】因为z是纯虚数，故可设z=ZriSwO),

z+2_2-M(2-fa)(l+i)2+6+(2-b)i

"以l-il-i"(l-i)(l+i)=2，

7+2

因为；一是实数，所以2-b=0,即6=2,

l-i

所以z=2i.

故选：A

9.(2023春河南周口•高一校考期末)已知i是虚数单位，复数z="-5瓶+6)+(疗-2租)i,meR.

⑴当复数z为实数时，求加的值；

(2)当复数z为纯虚数时，求加的值；

【详解】(1)...2为实数，「.〃-2租=0,解得：m=。或加=2.

⑵,.•2为纯虚数，；.[根2丁+：=°，解得：m=3.

[m一2mw0

题型五：复数的坐标表示

10.(2023秋•广东•高三统考期末)如图，在复平面内，复数4/2对应的向量分别是双，砺，且复数

Z3=3+-,若复数Z3，Z4在复平面内的对应点关于虚轴对称，则Z,=()

歹八

2A

-2

A.3—iB.3+iC.—3—iD.—3+i

【答案】D

【分析】先从图象得到Z=1+2i,z?=2-i,再利用乘除运算得到Z3=3+i,根据Z3,z,在复平面内的对应点关

于虚轴对称即可求解

【详解】•.•Z|=l+2i,Zz=2-i,

z

.行物73+i-1+方R+(l+2i)(2+i)5i

32

z22-i4-i5

所以Z3在复平面内的对应点的坐标为(3,1),

又Z3,Z4在复平面内的对应点关于虚轴对称，

所以Z4在复平面内的对应点的坐标为(-3,1)，:.Z4=-3+i,

故选：D.

1L(2022秋•福建宁德•高三校考期末)已知复数4，%在复平面内对应的点分别为Z"0,5),Z2(l,2),则

五二()

Z2

3

A.-B.Jr5C.2D.5

2

【答案】B

【分析】由复平面对应的点写出复数的代数形式，然后求出五，进而可求模.

z?

【详解】由已知复数Z],Z?的代数形式为Z]=5i,Z2=l+2i,

.五一旦―5i(l-2i)_2+i

■,z2l+2i(l+2i)(l-2i)，

五=74+1=75

Z2

故选：B.

题型六：实轴、虚轴上的点对应的复数

12.(2021秋•山西运城•高三统考期末)复数z在复平面内对应的点是(0,1),则复数[匚=()

1-Z

1+z1+z\-i1-i

A.---B.-----C.-----D.---

2222

【答案】A

【解析】先求出z,再进行的计算.

1-z

【详解】•.•复数Z在复平面内对应的点是(0,1),二z=i

..111+Z

,…二一口―一

故选：A.

【点睛】⑴复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根；

⑵复数除法实际上是分母实数化的过程.

题型七：判断复数所在的象限

13.（2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末）已知I（l+i）=2-i,则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由复数的除法运算，和共辗复数的概念求得z,由复数的几何意义可得结论.

-2-i(2-i)(l-i)2—2i—i+i?l-3i13.

【详解】由题意z=------------=---------1

1+i(l+i)(l-i)2222

13I3

z=-+-i，对应点坐标为（彳q），在第一象限,

故选：A.

14.（2021春•安徽宿州•高一校考期末）复数z满足（T+i）z=（l+i）2,其中i为虚数单位，则在复平面上复

数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的运算律求出复数z,再求出对应的点即可.

(l+i『_l+i?+2i__2j__2i(-l-j)_2i(-l-i)__.

【详解】1

-1+i--1+i--1+i-(-l+i)(-l-i)—2—一一—

故z在复平面内对应的点的坐标为（1,-1）位于第四象限.

故选:D.

15.（2023秋•贵州贵阳•高三统考期末）欧拉公式e，=cosx+isin尤是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式

将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要

的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（）

A.e等对应的点位于第二象限B.油为纯虚数

C.与二的模长等于JD./的共软复数为J■一ei

V3+12e22

【答案】D

【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共辗

复数的概念逐项分析即可得出结论.

【详解】对于A：=cos—+isin—=--+^i,.°争对应的点位于第二象限，故A正确；

3322--e

对于B：e2'=cos—+isin—=i,飞泉为纯虚数，故B正确;

22-e

故c正确;

2

对于D：/=*+国吟¥+手，所以蓝，的共轨复数为*三，故D错误.

故选：D.

题型八：根据复数坐标写出相应的复数

16.（2023秋•河南郑州•高三校联考期末）已知在复平面内，复数4/2所对应的点分别为（2,5）,（-3,-7）,

Z「Z2

则()

i

A.-29-29iB.29-29i

C.29+29iD.-29+29i

【答案】A

【分析】由复数的几何意义表示出复数4/2,再代入所求式子，利用复数的运算法则化简即可得到所求结

果.

(2+5i)-(-3-7i)_614i—15i+35_29-29i

【详解】依题意，幺工=-29-29i.

iiii

故选：A.

。.⑵23秋・新疆喀什•高三统考期末）在复平面内，复数z对应的点为（-3,4）,设i是虚数单位，则占二

)

11.B.2

A.------i

2222

D.1-li

C.-l+5i

22

【答案】B

【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式,再求其共辗复数和模，并应用复数的除法化简即可.

【详解】由题设，z=—3+4i,所以z=—3—4i,H=J(_3y+(_4『=5,

故县二55(1-i)5-5i55.

---------1.

1+i1+i(l+i)(l-i)222

故选：B

题型九：根据复数对应坐标的特点求参数

18.（2022春・河南新乡•高二封丘一中校考期末）若复数z=M-i（aeR）在复平面内对应的点位于实轴上,

贝！J4=()

A.4B.2C.-3D.-4

【答案】C

【分析】由复数z的对应的点位于实轴上，可得其虚部为0,结合条件列方程可求。.

(a-i)(l-i)a—1a+3.

【详解】因为z==—i=--------------------1——--------------1,

1+i222

由题意可得z为实数，

所以a+3=0,所以。=—3.

故选：C.

19.（2023秋•北京昌平•高三统考期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（a,1）,且满足。-i>z=2,

则a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求得z=l+i,结合复数的几何意义可得z=a+i,由此求得答案.

【详解】由（1一i）z=2得2=含=彗2=1+1，

又复数z对应的点的坐标是gpz=a+i=l+i,.-.<7=1,

故选：A

题型十：求复数的模

20.（2021春・陕西渭南•高二统考期末）若复数z=：N，则忖=__________.

1—1

【答案】75

【分析】先根据复数的除法运算求出复数Z,再根据复数的模的计算公式即可得解.

3-i+

【详解】

所以忖=J4+1=A/5.

故答案为：x/5.

21.（2021春•陕西渭南•高二统考期末）已知复数2=858+1$皿夕（i为虚数单位），则|z-Z的最大值为

【答案】3

【分析】根据复数模长公式以及三角函数的有界性即可求解.

【详解】由题意可得z-2=（cos。—2）+isin。，所以|z—2|=J（cos夕一2）。+sin。。=J'5—4cos0,

由于cos。。-1』,所以5—4cos6e[l,9],因此lM|z—2区3,

故|一Z的最大值为3,

故答案为：3

题型十一：由复数的模求参数

21.（2023秋•浙江•高三期末）已知复数4=2+历3£2*2=彳（其中i为虚数单位），若|z「2?卜巫，则

b=（）

A.1B.-5C.1或-5D.一1或5

【答案】C

【分析】根据复数的除法求得4=-2i,再根据复数的模的计算公式，求得答案.

【详解】由题意得%=*2=—2i,则z「Z2=2+（0+2）i,

1

所以|z]_zz|="22+3+2）2=屈,解得6=—5或6=1,

故选：C

22.（2022春・北京延庆•高二统考期末）若复数z=的模等于值，则实数。=.

1

【答案】±2

【分析】利用复数的除法运算化简复数z,结合复数模的公式可求解。的值.

【详解】解：因为复数2=三望=3+山，所以行寿=而，解得“2=4,a=±2.

故答案为：±2.

题型十二：与复数的模相关的轨迹

23.（2023秋•江苏•高三统考期末）若复数z满足|z-l|W2,则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为

（）

A.兀B.2冗C.3兀D.4兀

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义判断z在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.

【详解】z在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，S=4兀，

故选：D.

24.（2023・全国•期末）若zeC,且|z|=l,则|z-l-2i|的最大值是.

【答案】75+1/1+75

【分析】由复数模的几何意义求解.

【详解】恸=1,则复平面上表示复数2的点2在以原点为圆心,1为半径的圆上，2-1-型表示2到点41,2）

的距离，

•••\OA\=y/5,所以|z-冽的最大值为6+1.

故答案为：A/5+I.

题型十一：共辗复数

25.（2021春•陕西渭南•高二统考期末）在复平面内，与复数z=3-4i的共轨复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】得到共朝复数及对应的点的坐标，求出所在象限.

【详解】复数z=3-4i的共辄复数为1=3+4i,故对应的点的坐标为（3,4）,位于第一象限.

故选：A

26.（2021春•陕西渭南•高二统考期末）若复数z=U，则同=（）

1-111

A.72B.2C.1D.3

【答案】C

【分析】计算得到2=口再计算模长得到答案.

故选:C

27.（2023秋•广东深圳•高二校考期末）设复数z满足z-（l+2i）T-3+4i|,贝匹的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求得复数z,继而得〉从而求得答案.

【详解】由z«+2i）T-3+4i|可得z=0叫=工=也二四=1-2i,

1+2il+2i5

故z=l+2i，则z的虚部为2,

故选：D

题型十二：复数的加减

28.（2022春•上海浦东新•高一校考期末）在复平面内，向量通对应的复数是2+i,向量诬对应的复数是

-l-3i,则向量直对应的复数为（）

A.l-2iB.-l+2iC.3+4iD.-3-4i

【答案】D

【分析】结合向量、复数运算求得正确答案.

［详解】^^CA=CB+BA=CB-AB=-l-3i-（2+i）=-3-4i.

故选：D

29.（2023秋•河北保定•高三统考期末）若z=（2+i）（l-i）,贝上+W等于（）

A.2B.6C.-2D.-6

【答案】B

【分析】根据复数的乘法公式可得z=3-i,再根据共辗复数的概念及复数的加法运算即可求解.

【详解】z=（2+i）（l-i）=2-2i+i-i2-3-i,

所以z+z=3-i+3+i=6.

故选：B

30.（2022秋•北京•高二人大附中校考期末）如图，在复平面内，复数4，的对应的向量分别是砺，OB,

贝1J|zi+Z21=•

2

【答案】非

【分析】首先表示出4，z2,再根据复数代数形式的加法运算求出4+Z2,从而求出其模.

【详解】解：依题意可得况=（2,1）,OB=（-1,1）,所以z=2+i,z2=-l+i,

所以4+Z2=（2+i）+（-l+i）=l+2i,

所以[Z]+z?|=A/12+22=A/5.

故答案为：下

题型十三：复数的乘除

31.（2023秋•陕西西安•高二长安一中校考期末）若复数z满足（z+l）（2-i）=5i,则复数z的虚部是（

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】C

【分析】计算z=p-l=-2+2i,得到复数的虚部.

2-1

/X/5i5i（2+i）

【详解】（z+l）（2-i）=5i,则2=17rl=（2」）（2；i）T7+2i.

故复数z的虚部是2.

故选：C

32.（2022秋•安徽亳州•高二校联考期末）若i（z+i）=-（2+i）,贝!lzi=（）

A.y/2B.V10C.2D.10

【答案】C

【分析】计算z=KD-i=-i+i,再计算z。得到答案.

i

【详解】i（z+i）=—（2+i）,则z=g^_i=i（2+i）-i=-l+i,

则z-z=（-l+i）（-l-i）=2,

故选:C

8-i

33.（2023秋•甘肃天水•高二统考期末）设z==，则在复平面内z对应的点位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可.

8-i（8T）（2_i）16-8i-2i+i2

【详解】z=----=3-2i,

2+i（2+i）（2-i）-2^

所以在复平面内z对应的点为（3,-2）,位于第四象限.

故选：D

1+1

34.（2021春•陕西渭南•高二统考期末）已知优为实数，并且二十万的实部与虚部相等，则3-----------.

【答案】一7/1：1

66

【分析】利用复数的四则运算化简所求复数，利用复数的概念可得出关于加的等式，解之即可.

【详解】因为丁+:=1（2-m）+（2m+l）i1_9-2m2m+l.

+—=5+2~10+51

2-12（2-i）（2+i）2

9—2m2m+17

由题意可得解得血=7

5o

7

故答案为：7.

o

题型十四：复数的乘方

35.（2022秋•江西宜春•高三校联考期末）已知（i是虚数单位），贝ijz=（）

A.-1B.1C.0D.i

【答案】B

【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.

故选：B

36.（2021春•陕西渭南•高二统考期末）已知i为虚数单位，计算：1f/3予=.

【答案】-1

【分析】利用复数的运算化简可得结果.

【详解】原式=尸+3+4=F=任）5=（_]）5=_].

故答案为：-1.

题型十五：复数的平方根和立方根

37.（2022春,河南开封•高一统考期末）已知2i-3是关于x的方程无2+px+q=0的一个根，其中°qwR,

贝Up+q=•

【答案】19

【分析】由题意可得方程V+px+4=0的另一个根为2i+3,然后利用根与系数的关系可求出P，4的值，

从而可求出p+q

【详解】因为2i-3是关于X的方程V+px+q=0的一个根,

所以—2i—3是方程f+px+g=。的另一个根,

⑵-3)+(-2「3)=”p=6

所以

⑵-3)(-2i-3)=q4=13,

所以2+4=19,

故答案为：19

38.(多选)(2021春•浙江•高一期末)下列关于复数z的四个命题，真命题的为()

A.若则zeRB.若z?eR，则zeR

Z

C.若|z-7[=l,则忖的最大值为2D.若z3-l=0,贝Uz=l

【答案】AC

【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解方

程z3-l=0,可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，设z=a+初(a,beR),则"+k>。，

1_1_a-bi_ab\

1=a