古典概型与概率的基本性质（解析版）

专题46古典概型与概率的基本性质

【考点预测】

知识点1、随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

知识点2、古典概型

(1)定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的左个样本点，则定义

事件A的概率P(A)=[=居.

知识点3、概率的基本性质

(1)对于任意事件A都有：O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率为1,即P(Q)=1；不可能事概率为0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A与事件3互斥，则尸(AU3)=P(A)+尸(3)•

推广：一般地，若事件A，4，…，4彼此互斥，则事件发生(即4，4,…，4中有一个发生)

的概率等于这n个事件分别发生的概率之和,即：p(A+&+…+A)=尸(A)+P(4)+…+P(4)-

(4)对立事件的概率：若事件A与事件3互为对立事件，则尸(A)=1-P(B),尸(3)=1-尸(A),且

P(AUB)=P(A)+P(B)=I.

(5)概率的单调性：若A=则尸(A)WP(3).

(6)若A,3是一次随机实验中的两个事件，则尸(>^3)=尸(4)+尸(3)-夕(4口3).

【方法技巧与总结】

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因此要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个；

(3)事件A是什么.

2、解题实现步骤：

(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(3)分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数机；

利用公式尸"包空臂鬻f个数求出事件的概率.

(4)(A)=基本事件的1总H数A

3、解题方法技巧：

(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.

【题型归纳目录】

题型一：简单的古典概型问题

题型二：古典概型与向量的交汇问题

题型三：古典概型与几何的交汇问题

题型四：古典概型与函数的交汇问题

题型五：古典概型与数列的交汇问题

题型六：古典概率与统计的综合

题型七：有放回与无放回问题的概率

题型八：概率的基本性质

【典例例题】

题型一：简单的古典概型问题

例1.(2022.全国•高三专题练习(理))池州九华山是著名的旅游胜地.天气预报8月1日后连续四天，每

天下雨的概率为0.6,现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0,

1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读

取如下20组四位随机数:

95339522001874720018387958693281

78902692828084253990846079802436

5987388207538935

据此估计四天中恰有三天下雨的概率为()

A.—B.-C.—D.—

1052020

【答案】B

【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753,

共8组，

on

所以估计四天中恰有三天下雨的概率为茄=不

故选：B.

例2.（2022・全国•高三专题练习（理））假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模

拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随

机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代

表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93281245856968343125739302

75564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（）

A.0.50B.0.45C.0.40D.0.35

【答案】A

【解析】解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.

它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个，

因此所求的概率为呼=0.50.

故选：A.

例3.（2022•河北•武安市第一中学高三阶段练习）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从

中有放回的摸球3次，每次摸一个球.用模拟实验的方法，让计算机产生1〜9的随机数，若1〜4代表白

球，5〜9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：

917966191925271932735458569683

431257393627556488812184537989

则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（）

A.—B.—C.-D.-

201045

【答案】B

【解析】20组随机数恰好有两个是1,2,3,4的有191,271,932,393,812,184共6个,

因此概率为尸=（=2.

故选：B.

变式1.（2022•全国•高三专题练习（文））从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取

的3人中至少有2名男生的概率为（）

37-49

A.—B.—C.—D.—

510510

【答案】B

【解析】记3名男生分别为生,a2,%，2名女生分别为伪，瓦,

从5人中随机选取3人，所有的可能结果为

（%,%,%）,（%,%,伪）,（4%也），（%,%也）,（%,。3，仿），（%,%也）,（%,）也）,（%,口也）,

（生,伪也），共10种，

“其中至少有2名男生”对应的结果有7种，故所求概率为

故选：B.

变式2.（2022•江苏・南京市秦淮中学高三阶段练习）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹

算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一

纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，

百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：_1_11表示62,二丁表示26,现有5根算筹，据

此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0）,则这个两位数大于40的概率为（）

纵式：IIIIIIlllllllllT1W

横式:———=|।——

123456789

A.-B.1C.-D.-

3235

【答案】B

【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4+1,3+2,2+3,1+4共四类情况；

第一类：4+1,即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8,个位为1,则两位数为41

或者81；

第二类：3+2,即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7,个位可能为2或者6,故两

位数可能32,36,72,76；

第三类：2+3,即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6,个位可能为3或者7,故

两位数可能是23,27,63,67；

第四类：1+4,即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1,个位可能为4或者8,则该两位数为

14或者18,

综上可知：所有的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81共计12个，

其中大于40的有41,63,67,72,76,81共计6个，

故这个两位数大于40的概率为

故选：B.

变式3.（2022・湖南・雅礼中学高三阶段练习）在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重

复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有。和1,例如001100就是一个信息.在所有

信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（）

、5「11-15n15

A.—B.—C.—D.—

16323264

【答案】D

【解析】每个位置可排。或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为26=64，恰好有2个

1的排列的个数共有C；=15,

故概率为：

64

故选：D

变式4.（2022.全国.模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的

名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的

若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（）

4824

A.—B.—C.-D.一

272799

【答案】A

【解析】根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2,3,4名，故有A；A；=18种，

当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2,3,4名，故有A；A；=36种，

故满足回答者的所有情况共18+36=54种.

其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，

当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有A；A；=4种；

当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有A；A；=4种，

所以，最终丙和丁获得前两名的情况有4+4=8种，

84

所以，最终丙和丁获得前两名的概率为尸=77=而

5427

故选：A

变式5.（2022•全国•成都七中高三开学考试（理））已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学

号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白

球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的

末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统

计：有972人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（）

A.8B.20C.148D.247

【答案】B

32

【解析】根据题意，1400人分为1400x^=840（人）和1400x^=560（人）,

840人中将有420人回答“否”，贝1」560人中有972-420=552（人）回答“否"，8人回答“是”,

则问是否带手机的回答是人数约占，，

该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为1400x*=20(人).

故选:B

题型二：古典概型与向量的交汇问题

例4.(2022.全国•高三专题练习)已知“力e｛-2,-l,l,2｝,若向量而=(a,。)，;=(1,1),则向量£与"所成的

角为锐角的概率是()

A.—B.-C.-D.—

164816

【答案】B

【解析】向量前与工所成的角为锐角等价于方方>0,且行与7的方向不同，

即根•〃=(a,b)•(1,1)=Q+Z?>0,

则满足条件的向量前有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),

其中汤=(1,1)或而=(2,2)时，与3同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，

又加的取法共有4x4=16种，

41

则向量后与♦所成的角为锐角的概率是5=

164

故选：B.

例5.(2022・全国•高三专题练习(理))从集合口,2,4｝中随机抽取一个数/从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个

数从则向量沆=3力与向量河=(2,-1)垂直的概率为()

A.-B.-C.-D.-

9933

【答案】B

【解析】从集合口，2,4｝中随机抽取一个数a,从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数人,

可以组成向量身=5,力的个数是3x3=9(个)；

其中与向量为=(2,T)垂直的向量是沆=(1,2)和沅=(2,4)，共2个；

故所求的概率为尸).

故选：B.

例6.(2022・全国•高三专题练习)设利,”e｛0,1,2,3,4｝,向量丁=(一1,一2),方=(m,〃),则£/历的概率为()

2n3-3r1

A.—B.—C.—D.一

2525205

【答案】B

【解析】al/b^—2m二一几n2m=n，

m=2

n=4

故选：B.

变式6.（2022・全国•高三专题练习）已知向量a=（-2,1）石=（x,y）.若羽y分别表示将一枚质地均匀的正方体

骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足无5=-1的概率.

【解析】x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对

（x,y）可能情况有36种，

无B=-1即-2x+y=-1,包含的情况有（1,1）,（2,3）,（3,5）三种，

31

所以满足,啰=-1的概率为三=r.

3612

故答案为：—.

12

变式7.（2022•福建省福州外国语学校高三阶段练习）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出

现的点数为相，第二次出现的点数为小向量力=（加，”），）=（2,6）,则向量力与彳共线的概率为

【答案片

【解析】•••试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6x6=36种结果，

满足条件事件是向量P=（肛可与］=（2,6）共线，

BP6m-2n=0,n=3m,

满足这种条件的有（1,3）,（2,6）洪有2种结果,

21

二.向量p与q共线的概率p=0=

故答案为：

lo

题型三：古典概型与几何的交汇问题

例7.（2022•安徽马鞍山•二模（文））在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于

1的概率为.

【答案】；

【解析】由题意，从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB,BC,CD,DA,AC,BD,共有6

种结果，

若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC,BD,共有2个结果，

21

所以对应的概率P=：=

故答案为：—

例8.（2022•云南•一模（理））河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于

河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A点沿单位正

方形的边以最短路径运动到8点，共有优种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过尸点的概率为.

【解析】一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，

共有n=Cl=20种不同的路线，

则在这些路线中，该质点经过2点包含的基本事件有777=6X2=12种,

该质点经过p点的概率为「=：m=?12=：3

3

故答案为：—.

例9.（2022.安徽•安庆一中高三期末（理））连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b,则使直线尤-2y=0

与圆（丈-4+（y-b）2=5相交的概率为.

7

【答案】n

【解析】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线x-2y=0与圆（丈-4+（〉_”=5相交,

则必二"、石,即满足|。-26|<5.符合题意的（。,6）有

(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)共21种,

217

由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P=—=—•

3612

故答案为：二7

12

变式8.（2022.四川.高考真题（文））在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一个偶数。和一个奇数6构成以原点为起点的

向量£=（°/），从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平

行四边形的个数为“，其中面积等于2的平行四边形的个数为加，则竺=（）

n

A.工B.1C.AD.1

155153

【答案】B

【解析】设丽=（q，4）,而=（%也），则以。尸、OQ为邻边的平行四边形的面积为

222

S=|op|-|oe|sinZPOQ=J而（•|丽（sinZPOQ=•|og|-（1-cosZPOQ）

=/研?.匹『一（网・匹卜。s/尸OQ）2=，|西［闻2-（丽・丽『

其中以原点为起点的向量标有（2,1）、（2,3）、（2,5）、（4,1）、（4,3）、（4,5）,共6个,

其中满足S=2的向量而、而可以为｛赤，的［｛（2,1）,（4,1）｝、｛丽，而卜｛（2,1）,（4,3）｝、

｛赤，加卜｛（2,3）,（4,5）｝,

则满足面积为2的平行四边形的个数为3,即机=3,

其中能构成平行四边形的向量组｛而，而｝有：｛（2,1）,（2,3）｝、｛（2,1）,（2,5）｝、

｛（2,1）,（4」）｝、｛⑵1）,（4,3）｝、｛（2,1）,（4,5））,｛（2,3）,（2,5）｝、｛（2⑶,（4,1）｝、

｛（2,3）,（4,3）｝、｛（2,3）,（4,5）｝、｛（2,5）,（4』）｝、｛（2,5）,（4,3）｝、｛（2,5）,（4,5）｝、

｛（4,1）,（4,3）｝、｛（4,1）,（4,5）｝、｛（4,3）,（4,5）｝,共15种，即〃=15,

l.rm31

因此，一=77==.

n155

故选：B.

变式9.（2022・全国•高三专题练习）平面内有2"个点（〃22）等分圆周，从2〃个点中任取3个，可构成直角

3

三角形的概率为石，连接这2〃个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】从2“个点中任取3个点，共有C；“种,

三个点要构成直角三角形，则有两个点为直径的端点，共有万”条直径,

还乘!]2〃-2个点，从2〃一2个点中取一个点即可,

则可构成直角三角形有WCL-2，

解得〃=6,

所以共有2〃=12个等分点，

所以正多边形的边数为12.

故选：C.

变式10.（2022•河北邯郸•高三开学考试）从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱

锥的概率为（）

A4IR38c25

636337

【答案】D

【解析】从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有C；=126个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况：

①从正方体的8个顶点中取4个点，共有C；=70个结果，

其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有6种情况，

二是四点构成对角面（如平面A41GC）,有6种情况.

在同一个平面的有6+6=12个，构成三棱锥有70-12=58个；

②从正方体的8个顶点中任取3个，共有C；=56个结果，

其中所取3点与中心共面，则这4个点在同一对角面上，共有6C：=24个结果，

因此，所选3点与中心构成三棱锥有56-24=32个.

故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，

则这4个点恰好构成三棱锥的个数为58+32=90,故所求概率尸=言90=:5

故选：D.

变式11.（2022•全国•高三专题练习（理））对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选

两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（）

【答案】A

【解析】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得C；条直线,

如图所示：

设正方体的边长为2,则4C=BZ）=£F=2,

AB=BC=CD=DA=6，EA=EB=EC=ED=y[i,

FA=FB=FC=FD=6,

由正方体性质可得AC±平面BFDE,8。_L平面AFCE,£F_L平面ABCD,

四边形四边形AFCE,四边形A3CD均为正方形，

故当中选AC时，乙选E,3或B/或尸，。或D,E或E,F或B,。时，甲，乙所选的点的连线垂直,

甲选A,3时，乙选R。或AD或E,尸时，甲，乙所选的点的连线垂直，

所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有线或=225种选法，

所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有3x6种，

若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有12x3种，

故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，

所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率尸===三，

故选：A.

变式12.（2022•浙江嘉兴.高三阶段练习）从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得

的三角形是直角三角形的概率是（）

【答案】D

【解析】从圆内接正八边形的8个顶点中任取两点连成线段，其中有4条为圆的直径，

若从这8个顶点中任取3个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，则其中直角三角形的斜边为圆的

直径，

然后从剩余的6个顶点(除去直角三角形斜边的顶点)中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形，

八4x6243

故所求事件的概率为P==*=亍.

故选：D.

题型四：古典概型与函数的交汇问题

例10.(2022・全国•高三专题练习)已知集合4=]-2,-1,-；,聂,1,2,31,从集合A中任取一个元素处使函

数y=x"是奇函数且在(0,+。)上递增的概率为_.

【答案】|【解析】从集合&=2,31中任取一个元素0,使函数y=x"是奇函数且在(0,+。)

o[252J

上递增，则

所以其概率为]

O

故答案为：金.

O

例11.(2022.全国•高三专题练习)一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：

23

fiM=x,f2(x)=x,f3(x)=x,%(x)=sinx,fs(x)=cosx,f6(x)=2\x\+l.现从盒子中逐一抽取卡片

并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设

抽取次数为X,则X<3的概率为.

【答案】*【解析】易判断力(x)=f,力(x)=cosx,/(x)=2|x|+l为偶函数，所以写有偶函数的卡片有

3张，X的取值范围是{1,2,3,4}.

PE）■4尸（X=2）=||3

10

1384

所以尸（X<3）=P（X=l）+P（X=2）=]+^=

105

4

故答案为：—

例12.(2022・全国•高三专题练习)对于定义域为。的函数/(x),若对任意的不^^。，当％时都有

〃不）4〃々），则称函数〃x）为“不严格单调增函数”，若函数的定义域。={1,2,3,4,5},值域为

A={6,7,8）,则函数为“不严格单调增函数”的概率是.

122

【答案】《【解析】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1,1,3：=10,②1,2,2：fc2C=15,

则总共有（10+15）6=150种,

求函数/（无）是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1,2,3,4,5中间有4个空，插入2块板分成3组，

分别从小到大对应6,7,8共有C；=6种情况，

；・函数/⑺是“不严格单调增函数”的概率是4

故答案为：

变式13.（2022•全国•高三专题练习）已知四条直线4：y=x,/2：V=3X-2,4：y=3x+2,从这三条直线中

任取两条，这两条直线都与函数〃x）=x3的图象相切的概率为（）

A.-B.-C.；D.-

6323

【答案】B

【解析】由题设，尸（幻=3d,当/'⑴=3,得x=±1,若x=1,则/⑴=1,即切点为（1,1）的切线为4：y=3x-2；

若x=-L,则/（一1）=一1,即切点为（T-1）的切线为4：y=3x+2,当/（x）=l,得工=土也，若尤=遮，则

33

切点为，切线方程为：y=x-3叵，若x=,则切点为-~~~，切线方程为：y=x+W

（39J93139）9

故直线y=x与/。）=式的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有（44）,4），（4,4）三种情况，

与/⑴二炉的图象相切只有亿人）,故概率为

故选：B

变式14.（2022・河北•唐山市海港高级中学高三开学考试）已知函数〃尤）=£/+法2+%+2.若©%分别

是从1,2,3中任取的一个数，则函数“X）有两个极值点的概率为（）

A.iB.1

63

C.-D.-

36

【答案】C

【解析】由题意得广（力=奴2+的+1=0有两个根，贝IJ有A=4〃-4a>0,解得62>人

a,6分别是从1,2,3中任取的一个数，表示为（a,6）,

有如下(1,1),(1,2),(1,3)(2,1),(2,2)(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种情况，

其中满足从>④的有(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),共6种情况，

则函数/(x)有两个极值点的概率为g，即g,

故选:C.

变式15.(2022•河南•鹤壁高中高三阶段练习(理))一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义

域为R的函数：力(x)=x,f2(x)=cosx,力(x)=/,于4(x)=x5,于5(x)=sin_x,f6(x)=\x\.现从盒子中

任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是()

A.0.2B.0.25C.0.75D.0.4

【答案】D

【解析】由题可知工(力,力(x),力(尤),力(同,为奇函数，从盒子中任取2张卡片抽取2个共有15种方法，抽

到工(x)"(x)/(x),/(x),中的两个有6种可能，所以概率为2=04

故选：D

变式16.(2022・广东・金山中学高三阶段练习)设函数〃句=依+」7a>1),若。是从0,1,2三个数中任取

X-L

一个，b是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么/(x)>6恒成立的概率是()

【答案】A

X—\+11

【解析】当时，/(x)=ax-\----x---=ax-\-----------=ax-\---------1-1

x-1x-1x-1

—a(x—1)-------F1+a之2,\/^+1+4=(+1)

当且仅当尤=、口+1>1时，取“=”，

Va

”(x)mM=(G+l)2，

于是/⑺>6恒成立就转化为(&+1『>b成立;

当a=0时，f(x}=1H------->1,

x-1

设事件4“〃x)>。恒成立”，

则基本事件总数为15个，即

(0,1),(0,2)(0,3),(0,4),(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)；

事件A包含事件：(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)共9个

o3

所以尸（人）=话=歹

故选：A.

变式17.（2022•江西•南昌市豫章中学高三开学考试（文））已知集合4={1,2,3,4,5,6},。€46©4,贝U“使函

数/（x）=ln（x2+ox+b）的定义域为R”的概率为（）

,13n15c17r19

A.—B.—C.—D.—

36363636

【答案】c

【解析】由题意知。2-46<0.

又因为ae{1,2,3,4,5,6},6e{1,2,3,4,5,6},

所以数a,6形成的数组m6）有（1,1）,（1,2）,（1,3）,…,（6,6）,共36种情况，

其中（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,2）,（2,3）,

（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,

共17种情况满足/一46<0,

所以所求概率P=1g7.

36

故选：C.

变式18.（2022•广东.东莞市东华高级中学高三阶段练习）在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数,

其和等于16的概率是（）

A.—B.—C.—D.-

2121427

【答案】B

【解析】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17,

随机选取两个不同的数有C；=21种，

和等于16的有3+13=16,5+11=16共2种，

2

所以和等于16的概率是

21

故选:B.

变式19.（2022•江苏江苏.高三阶段练习）从属于区间［2,8］的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的

概率为（）

【答案】A

【解析】区间［2,8］的整数共有7个，则质数有2,3,5,7共4个；非质数有3个；

设事件A：从属于区间［2,8］的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，

由尸（7）=||=gnP（A）=1—P（N）=。，

故选：A

变式20.（2022.湖南.麻阳苗族自治县第一中学高三阶段练习（理））从〃个正整数1,2…〃中任意取出两个

不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为二，则力的值为（）

C.10D.14

【答案】B

【解析】两数之和为5有1+4,2+3两种情况，故卷=5,故C；=M，D=28,解得〃=8.

故选：B

题型五：古典概型与数列的交汇问题

例13.（2022・全国•高三专题练习（理））在二项式（«+」广］的展开式，前三项的系数成等差数列，把

展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（

【答案】B

【解析】展开式通项为&=C；（五）’=G>2-'・尤4(0<r<«),

由题意2C：♦2-1=C°•2°+C：•2-2,...〃=8.

所以当r=0,4,8时3・主为整数，相应的项为有理项，

4

因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项,

故选：B.

例14.（2022.全国•高三专题练习（文））斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐

波那契数列被以下递推方法定义：数列｛%｝满足q=%=l,an+2=an+an+l,先从该数列前12项中随机抽

取1项，是质数的概率是（）

【答案】A

【解析】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

所以基本事件数共有12,

其中质数有2,3,5,13,89,共5种，

故是质数的概率为2=工

故选：A.

例15.（2022•河南•高三阶段练习（理））记数列｛4｝的前"项和为S"，已知=即2_4即+匕，在数集｛-1,0,1｝

中随机抽取一个数作为。，在数集｛-3,0,3｝中随机抽取一个数作为b.在这些不同数列中随机抽取一个数列

｛«„｝,则｛““｝是递增数列的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3934

【答案】B

【解析】由已知，当〃=1时，/=Si=Z?—3〃，

22

当2时，a〃=5八~Sn_x=[an-4an+Z?）-（n-1）+=2an-5a,

（、\cL<a^[b—3a<—a[b<2a

因为数列｛■为单调递增数列，则:>0，即〃>0，即〃>0'

所有样本点（。力）有：（T-3）、（-1,0）、（—1,3）、（0,—3）、（0,0）、（0,3）、（1,-3）,（1,0）、（1,3）,共9个，

其中，满足｛4｝是递增数列的样本点（。㈤有：（1,-3）.（1,0）,共2个，

7

故所求概率为p=j

故选：B.

2

变式21.（2022•全国•高三专题练习（文））记数列｛%｝的前n项和为S“，已知Sn=an-4an+b,在数集｛-1,0,1｝

中随机抽取一个数作为“，在数集｛-3,0,3｝中随机抽取一个数作为b,则满足5"2星（〃€^）的概率为（）

1212

A.-B.-C.-D.-

3943

【答案】D

【解析】由己知得S〃=1（〃一2）2+匕一4],

如果。=0,则S“=》,满足s“21,概率为g,

如果awo,则邑是S"的最小值，根据二次函数性质可知，a>0,故a=l,此时概率为:，

117

.•.5.2邑的概率为:+"=

故选：D.

变式22.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝（〃eN*）的前〃项和为5“吗=1,且S“=2%-1,若数列

也,｝满足anbn=f2+15_32,从54〃410,〃eN*中任取两个数，则至少一个数满足%1=2的概率为（）

A.1B.-C.—D.-

25123

【答案】B

【解析】由于S"=2%-1①，当〃=1时，得%=2%-1,解得4=1；

当2时，S“_i=-1②，①-②化简可得,

所以数列｛风｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以。〃二2小；

因为““=-r+11”-32,所以2=一"+?：―32,

人714日一九2+9〃—22—〃2+11〃—32左刀”日,Tr

令6“+1=或得-----------=-----------，解得〃=6或7,

22

从5力区10,〃6？4*中任取两个数共有（5,6）,（5,7）,（5,8）,（5,9）,（5,10）,（6,7）,

（6,8）,（6,9）,（6,10）,（7,8）,（7,9）,（7,10）,（8,9）,（8,10）,（9,10）15种,

其中至少一个6或7的有9种，

3

所以至少一个数满足2+1=或的概率为：，

故选：B.

变式23.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）袋中装有大小相同的四个球.四球上分别标有数字“2”、“0”、“2”、

“2”，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列的概率为（）

£

BD.

-I4

【答案】D

【解析】从四个球中任取3个，共有优=4种不同的取法，其中能成等差数列的三个数的情况只有一种,

为“2”、“2”、“2”.所以概率为

故选:D.

变式24.（2022.全国•高三专题练习）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1,1,2,

3,5,8,13,21,34,