规律型问题探究（数式或图形规律旋转型平移或翻滚型渐变型）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

重难点02规律型问题探究（数式或图形规律、旋转问题、

平移或翻滚型、渐变型）

题型解篌।模型构建.।真题强化制练।模拟通关试练

、@时婪解读

规律性问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有

关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳

或猜想出一般性的结论。这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问

题。具体思维过程是“特殊—一般--特殊”。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往

体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。

o模翅的建

模型01数式或图形规律

考।而i预T测

数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式

或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比

分析。主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规

律，利用规律解决问题.

答।题।技।巧

i.读懂题意，标序号;

2.根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎

样变”；

3.猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；

4.验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答；

［题型不停T

1.（2024・山东）观察下列等式：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根据其中的规律可得7。+7】+72+…+72。24的结果的个位数字是.

【答案】1

【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键.

先根据已知等式发现个位数字是以1,7,9,3为一循环，再根据2024+1=4X506+1即可得.

【详解】因为7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

所以个位数字是以1,7,9,3为一循环，且1+7+9+3=20,

又因为2024+1=4x506+1,506x20+1=10121,

所以7。4-71+72+…+72。24的结果的个位数字是1,

故答案为：1.

）支式

1.按一定规律排列的一组数据：j1-5，白，....则按此规律排列的第10个数是（）

Z521/ZoJ/

AA.---1-9Bc.—21C-.---1-9D.r—21

1011018282

【答案】A

【分析】把第3个数转化为：高，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是4+1,且奇数项是正，偶数项

是负，据此即可求解.

【详解】原数据可转化为：357911

5'1017‘26’37

2x1-1

■■-I=(-ILX

12+1

—三=(一1)2+1、笔二,

5'/22+1

5/xQ-L-I2x3—1

—=(-1)3+1X——,

10k732+1

・••第”个数为：（T）"+ix署，

・••第10个数为：（-1>°+1义注二=-型.

''102+1101

故选：A.

34

2.按一定规律排列的单项式：5a,8a2,na,14a,....则按此规律排列的第n个单项式为.（用

含有"的代数式表示）

【答案】（3n+2）a"

【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可.

【详解】解：5a系数为3x1+2=5,次数为1；

8a2系数为3x2+2=8,次数为2；

11。3系数为3x3+2=11,次数为3；

14a4系数为3x4+2=14,次数为4；

二第"个单项式的系数可表示为：3九+2,字母。的次数可表示为："，

.•.第n个单项式为：（3n+2）an.

3.正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列，

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是.

【答案】744

【分析】由题意知，第"行有"个数，第”行的最后一个偶数为"（”+1）,计算出第27行最后一个偶数,

再减去与第21位之差即可得到答案.

【详解】由题意知，第〃行有w个数，第"行的最后一个偶数为〃（〃+1）,

・・・第27行的最后一个数，即第27个数为27x28=756,

.•.第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756-2X6=744,

故答案为：744.

4.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表

称为“杨辉三角

1（a+by=a+b

1121]（a+b）2=a2+2ab+〃

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641

（。+6）4="+4。36+6/〃+4"3+64

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+6）7展开的多项式中各项系数之和为

【答案】128

【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果.

【详解】根据题意得：（a+匕）5展开后系数为：1,5,10,10,5,1,

系数和：1+5+10+10+5+1=32=25,

（a+b）6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1,

系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

（a+b）7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1,

系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案为：128.

【答案】B

【分析】分别分析W的规律、〃的规律、q的规律，再找〃、p、q之间的联系即可.

【详解】解：根据图中数据可知：

n=1,2,3,4,.......

p—I2,22,32,42,.......

q=22-1,32-1,42-1,52-1..........

则P=n2,q=（71+1）2—1,

••・第n个图中的q=143,

■,-q=（n+I）2-1=143,

解得：n=11或n=-13（不符合题意，舍去）

2

••P—n=121,

故选：B.

6.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

【答案】C

【分析】由观察发现每个正方形内有：2x2=4,2X3=6,2X4=8,可求解b,从而得到a,再利用a,6,x之

间的关系求解x即可.

【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：

2x2=4,2X3=6,2x4=8,

・•・2b=18,

・•・b=9,

由观察发现：a=8,

又每个正方形内有：

2x4+1=9,3X6+2=20,4义8+3=35,

•••18b+a=x,

•,•%=18x9+8=170.

故选C.

7.如图，在2x2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，。为（）

122436

11310527

A.990B.9900C.985D.9850

【答案】D

【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的进一步求得b,则可求得c.

【详解】解：观察网格图中的数字可以发现：

a=100+2=50,

b=100-1=99,

c=100Z)-a=100x99-50=9850,

故选：D.

模型02旋转型问题

潼而荀才....................

该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到

一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）。主要考查对点

的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确

运用数的运算。

答|题|技|巧

1.观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

2.分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵

坐标的变化规律等）；

3.周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者

运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；

4.利用有理数的运算解题；

［题型守停I

（2023・四川）如图所示，矩形A30C的顶点。为坐标原点，BC=2,对角线Q4在第二象限的

角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点0以每秒45。的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐

标为（）

A.（2,0）B.（O,2）C.（忘，忘）D.（-72,-72）

【答案】B

【详解】

解：,••四边形A30c是矩形，

:.OA=BC=2,

,•,每秒旋转45。，8次一个循环，2025+8=253……1,

.•.第2025秒时，点A的对应点AO25落在丁轴正半轴上,

.••点/E5的坐标为（。，2）.

故选：B.

＞支式

1.数学家高斯推动了数学科学的发展,被数学界誉为"数学王子”,据传，他在计算1+2+3+4+-+100时,

用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+…+100=人们借助于这样的

方法，得到1+2+3+4+…+n=硬罗"是正整数）.有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系

列格点4（阳,%）,其中i=1,23…，均…，且冷％是整数.记@n=%7i+yn，如/式0,0）,即的=0,&（1,0）,

即与=1，4（1，-1），即臼=0,…，以此类推.则下列结论正确的是（）

-,-

444

7y

厂141

N4/1/

21

-14一

0—2

lHr1

54%_4

“

3・

d

4-1

一

•一44

-1-5

A.。2023=40B.。2024=43C.。（2九一1）2=2九—6D.a（2n-l'）2=2几—4

【答案】B

【分析】利用图形寻找规律4（2方1）2（＞-1，九一1），再利用规律解题即可.

【详解】解：第1圈有1个点，即a（0,0）,这时的=0；

第2圈有8个点，即出到

第3圈有16个点,即4o到45（2,2）,;

依次类推，第n圈，4（271T产何一1,n-1）;

由规律可知：4023是在第23圈上,且4O25（22,22）,贝1!&O23（2O,22）即02023=20+22=42,故A选项不

正确；

人2024是在第23圈上，且力2024（21,22）,即£12024=21+22=43,故B选项正确；

第n圈，力（2n-i）z（n—l,n—1）,所以a（2n_】）2=2n—2,故C、D选项不正确；

故选B.

2.如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，。2=1,反比例函数y=：与该回形图的交点依次记为当、

&、B3.......,贝UB2024的坐标为.

【答案】岛,507）

【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键.分

别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第九个回形4个点的规律，分别是（nJ）,（-,n）,（-n,-i）,

(-i,-n),然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案.

【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为(%,》，观察图象，可以发现:

第1个回形有2个点,

第2个回形有4个点，分别是B3(2,》，B4(|,2),B6(-|,-2)

第3个回形有4个点，分别是%(3,》，B8(|,3),59(-3,-|),A。(，-3)

第n(n22)个回形有4个点,分别是(弭》,(^,n),(-n,-

(2024—2)+4=505…2

505+1+1=507

那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为(矗,507)

故答案为：(焉，5。7)

3.在直角坐标系中，点4从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：4(1,0),4

(1,1),4(-1,1),4(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),....若到达终点An(506,-505),则

n的值为.

5-

415

3

110X

[43由4

【答案】2022

【分析】终点上(506,-505)在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值.

【详解】解：•••(506,—505)是第四象限的点，

••・4(506,-505)落在第四象限.

二在第四象限的点为上(2,-1),&o(3,-2),&J*-3),,4t(506,-505).

,<*6=4X|-1|+2,10=4X|-2|+2，14=4X|-3|+2,18=4x|-4|+2,…，

••-n=4x|-505|+2=2022.

故答案为：2022

3.如图，四边形OABCi是正方形，曲线C】C2c3c4c5…叫作”正方形的渐开线”，其中的电，CJQ，C式4,整5,…

的圆心依次按0,4B,G循环.当。4=1时，点C2023的坐标是()

A.(-1,-2022)B.(—2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【答案】A

【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C2O23在第三象限，与C7,Ci1，…符合同一规律，

探究出C3,C7,Gi，...的规律即可.

【详解】解：由图得C1(O,

1),C2(l,0),C3(-l,-2),C4(-4,0),C5(0,5),C6(5,0),C7(-l,-

6),...

点C的位置每4个一循环，

2023=505x4+3,

.・・。2023在第三象限，与。3,。7,61，…

符合规律(―1,-n+l)-

；。2023坐标为(—1)—2022).

故选：A.

4.在平面直角坐标系中，A/lOB为等边三角形，点4的坐标为(1,0).把AAOB按如图所示的方式放置，并

将440B进行变换：第一次变换将△40B绕着原点O顺时针旋转60。，同时边长扩大为44。8边长的2倍,

得到AaiOBi；第二次旋转将小人。/绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为AaiOBi，边长的2倍,

得到△&0B2，....依次类推，得到△42033。82033，则△42023°B2033的边长为，点4()23的坐标

为.

小烈a

【答案】22023(22O22,-V3X22022)

【分析】根据旋转角度为60。，可知每旋转6次后点4又回到x轴的正半轴上，故点4023在第四象限，且

。/12023=22023,即可求解.

【详解】解：•・•△AOB为等边三角形，点A的坐标为(L0)，

-,-OA=1,

・•,每次旋转角度为60。,

.•.6次旋转360°,

第一次旋转后，&在第四象限，。&=2,

第二次旋转后，42在第三象限，。4=22,

第三次旋转后，4在X轴负半轴，。4=23,

第四次旋转后，4在第二象限，。&=23

第五次旋转后，为在第一象限，。&=25,

第六次旋转后，儿在为轴正半轴，。4=26,

如此循环，每旋转6次，点4的对应点又回到x轴正半轴,

•••2023+6=337---1,

点4023在第四象限，且。4023=22°23,

如图，过点人2023作^2023“±X轴于"，

在Rt△O/L42023中，NH。42023=60°,

■■-OH=OA-22023X600=22023xj=22022,

2023COS^HOA2023=cos

42023“=%2023.sinN”042023=22023Xf=V3X22022)

二点4。23的坐标为(22°22,一百X22022).

20222022

故答案为：22023,(2,-V3X2).

模型03平移或翻滚型

浮向而if..................................

该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一

般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）。主要考查对点的坐标变

化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算

求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特

点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。

答I题I技I巧

1.观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律得出具体数量的变化规律；

2.分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵

坐标的变化规律等）；

3.周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者

运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；

I题型不例

＞哀创1.如图，NAOfi=60。，点4在射线。4上，且。片=1,过点片作交射线OB于&,

在射线Q4上截取片鸟，使过点鸟作交射线于（，在射线Q4上截取5号

使P2P3=P2K2.按照此规律，线段^023^2023的长为

【答案】百（1+省广

【解析】解直角三角形分别求得P2K2,P3K3,……，探究出规律，利用规律即可解决问题.

10A,

是直角三角形,

在放中，ZA(9B=60°,。片=1,

66=£&=•tan60。=百，

P[K[1OA,P2K21OA,

6Kl//P2K2,

:.AOP2K2,

.P2K2_OP]

OA'

P,K,_i+G

F二丁’

:+塔,

同理可得：P3K3=6(1+®，舄长4=百(1+百J,

.•/K“=6(1+百「

…Eo23K2023=(1+'

故答案为：73(i+^)2022.

)支式

1.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点。逆时针旋转45。后得到正方形04B】G,依此方式,

绕点。连续旋转2020次得到正方形OA2020a020C2020,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2O2O的坐标为()

A.(-1,1)B.(一应，0)C.(-1,-1)D.(0,0)

【答案】C

【解析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点8旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求

解.

【详解】解：连接。8,

,•・四边形。ABC是正方形，A的坐标为(1,0),

：.OA=AB=OC=BC=1,AOAB=90°,"OB=45",

：.B(1,1),

由勾股定理得：OB=VOA2+AB2=VI2+I2

由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=...=血,

•将正方形0ABe绕点。逆时针连续旋转45。，相当于将OB绕点。逆时针连续旋转45°,

二依次得至(kAOB=NBO&=N&OB2=...=45°,

-'-BI(0,y/2),82(—1,1),82(—-J1,0),Ba(—1,—1),Bs(0,—),BeCl,—1),B7(^2,0),Bs

(1,1),......,

发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，

■,■2020=8x252+4,

.点B2020与点以重合，

二点82020的坐标为(-1,—1),

故选：C.

2.如图，已知菱形OABC的顶点0(0,0),8(2,2),菱形的对角线的交于点D;若将菱形0ABe绕点。逆时

针旋转，每秒旋转45。，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点。的坐标为()

A.(1,1)B.(-1--1)C.(-1,1)D.(1,-1)

【答案】B

【解析】分别过点。和点B作。EJ_x轴于点E,作所，x轴于点尸，根据菱形的性质以及中位线的性质求

得点。的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标

【详解】如图，分别过点。和点8作。轴于点E,作时轴于点尸，

-DE//BF,

•.•四边形。1SC为菱形，

二点。为的中点，

.••点E为O尸的中点，

：.DE=-BF,OE=-OF,

22

£>(1,1)；

由题意知菱形Q4BC绕点0逆时针旋转度数为：45。义60=2700。,

菱形CMBC绕点。逆时针旋转2700。+360。=7.5周，

.•.点。绕点。逆时针旋转7.5周，

•••0(1,1),

旋转60秒时点D的坐标为(-1,-1).

故选B

3.如图，直线丫=无+1与X轴、y轴分别相交于点A、B,过点3作使3c=254.将AABC绕

点。顺时针旋转,每次旋转90。.则第2022次旋转结束时，点C的对应点。落在反比例函数y=幺的图象上，

则%的值为（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】C

【解析】过点C作CDW轴，垂足为。，则ABCD是等腰直角三角形，根据BC=20，确定点C的坐标，第

一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，

确定循环节为4,计算2022+4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标x纵坐标计算即可.

【详解】如图，过点C作CDly轴，垂足为。，

,直线y=x+l与x轴、丫轴分别相交于点A、B,过点8作3CLAB,使BC=2助，

:A（-1,0）,B（0,1）,AB=&,BC=2近,

■■.OA=OB,/-ABO=Z-BAO=/.CBD=Z.DCB=^5°,

：.DC=BD=2,

••.DC=BD=2,OD=OB+BD=3f

二点C（-2,3）,

第一次旋转的坐标为（3,2）,第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2,-3）,第三次旋转坐标与第一次

坐标关于原点对称为（-3,-2）,第四次回到起点，

••・循环节为4,

・・・2022+4=505…2,

・•・第2022次变化后点的坐标为(2,-3),

••・k=-3x2=-6,

故选C.

4.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形04A2的直角边04在y轴的正半轴上，且。4=44=1，

以为直角边作第二个等腰直角三角形044,以。4为直角边作第三个等限直角三角。44,…，依此

规律，得到等腰直角三角形0A202/202］，则点八2021的坐标为-

【答案】(0,-2］。1。)

【解析】根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的

坐标，从坐标中寻找规律，再按规律计算即可.

【详解】解：•.•等腰直角三角形。44的直角边。4在y轴的正半轴上，且。4=A*2=1,

■■.AI(0,1),A2(1,1)；

根据勾股定理得：OA2=炉手=啦,

OAs=5/2OA2=2，

：.A3(2,0),A4(2,-2),

根据勾股定理得：04=3+22=2近，

..OAs=5/204=4,

.♦•4(0,-4),

：.A6(-4,-4),

根据勾股定理得：。4=后。4=4e，

''-OA?^-\/Q.OAs=8,

(-8,0),As(_8,-8),

根据勾股定理得：OA8=6OA7=8也，

-''OAg—■OAs=16,

••Ag(0,16),

••・坐标的循环节为8,

•••2021+8=252...5,

••A她的坐标与4(0,-4)的规律相同,

-4=-22=,

■-A2O21的纵坐标为一2晋=-21010，

.•工23的坐标为(0,-21010),

故答案为：(0,-21010).

5.如图，边长为1的正六边形ABCDE5放置于平面直角坐标系中，边A3在无轴正半轴上，顶点厂在丁轴

正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60。，那么经过第2022次旋转后，顶

点D的坐标为.

【答案】(|,唐)

【解析】连接AD、BD,由勾股定理可得BD,求出/。外=30。，得到。A的值，进而求得。B的值，得到点。

的坐标，由题意可得6次一个循环，即可求出经过第2022次旋转后，顶点。的坐标.

【详解】解：如图，连接AD,BD,

在正六边形A8CDEF中，AB=1,AD=2,ZABD=90°

BD=>JAD2-AB2=仓――=y/3，

在HAAOF中，AF=I,ZOAF=60°,

■■ZOFA=30°,

.­.OA=-AF=-,

22

3

/.OB=OA+AB=—

2

•将正六边形ABCDEF绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60。，

■••6次一个循环，

•••2022+6=337,

•••经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中。点的坐标相同,

故答案为：g,回

而［而［Mi洞........模..型.0.4..渐.变.型......................

渐变型变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了

一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”

的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能

力，题型可涉及填空、选择或解答。

答|题|技|巧

观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变

化和所求的结果、归纳总结发现规律。

|题型

＞哀倒14.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,连接AC,过点D作DCiLAC于点Ci,以CiA,

CiD为邻边作矩形AA1DC1,连接AiCi,交AD于点Oi,过点D作DCzLAiCi于点C2,交AC于点Mi,

以C2A1,C2D为邻边作矩形A1A2DC2,连接A2c2,交AiD于点O2,过点D作DC3，A2c2于点C3,交AiCi

于点M2；以C3A2,C3D为邻边作矩形A2A3DC3,连接A3c3,交A2D于点O3,过点D作DC4，A3c3于点

C4,交A2c2于点M3…若四边形AO1C2Ml的面积为S1,四边形AQ2c3M2的面积为S2,四边形A2O3C4M3

的面积为S3…四边形An-10nCn+lMn的面积为Sn,则Sn=.（结果用含正整数n的式子表示）

.43

9x4~i

【答案】5〃+i

【解析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC=正，运用面积法可得DCl=i^=@，进而得出

3手得出吹…“■』（¥『—等・

【详解】,・•四边形ABCD是矩形，

：.ZB=90°,AD//BC,AD=BC=2,CD=AB=1,

・•・AC=7AB12+BC2=&+22=75，

VDCfAC=AB*BC,

AB-BC1x22J5

・・・DCi=------------=F=',

AC5

同理，DC2=*DCI=（毡）2,

55

DC3=（撞）3,

5

（侦）n

DCn=

5

DCIAD

=tanNACD

cqCD

1J5

/.CCi=—DCi=—

25

DC,CD_1

：

tan/CAD=~AD^2

4J5

.,.AiD=ACi=2DCi=—,

5

133A/5

.\AMI=ACI-CiMi=2DCi——DCi=-XDCi=,

225

3

同理，A1M=-XDC,

222

3

A2M3=—XDC3,

2

An-lMn=—XDCn,

2

•••四边形AAiDCi是矩形,

0IA=0ID=0IAI=0ICI=1,

同理；DC2・AICI=AID・DCI,

4A/52S/5

AQ.DC]x4

；.DC2=

AG5-----55

2

在RtADOiC2中，OiC2=“A—℃2=J]2一q)2=|=|DC2,

3

同理，02c3=-DC3,

4

3

03c4=-DC*

4

OnCn+l=-DCn+1,

4

••Si=S四边形AO©必=‘ADM_S&O[DC2

——XAMiXDCi_—XO1C2XDC2

22

=2DC：

201

9

"25)

9,

同理，S=S,-S=一DC

z2△jDyiMvi20DC20z2

9、/,2^4—9x4

S3=92s6—9x42

^DC；

20'554

9X4“T

5例

＞委K

1.如图，△。耳4，△4鸟人，…，△A-纥都是一边在％轴上的等边三角形，点四,

B2,B3,纥都在反比例函数丁=走（%>0）的图象上，点A，4,A3,…，An,都在X轴上，则4

X

【解析】如图，过点&作BiCLx轴于点C,过点B2作B2D，x轴于点D,过点B3作BsELx轴于点E,

AZBiOC=60°,

BC

tanZB,OC=^—=A/3,BiC=J3OC,

OC

设OC的长度为X,则Bl的坐标为（X,氐），代入函数关系式可得：=6

解得，x=l或x=-l(舍去),

.,.OAi=2OC=2,

AAi(2,0)

设AiD的长度为y,同理，BzD为&y,B2的坐标表示为（2+,

代入函数关系式可得（2+,

解得：丫=血-1或丫=-行-1（舍去）

•*,AiD=5/2—1'A-iA?=2-^2—2>OA2=2+2A/2—2=2-\/2

/.A2（2直，0）

设A2E的长度为z,同理，B正为6z,B3的坐标表示为（20+z,gz）,

代入函数关系式可得（2行+z）、Qz=6,

解得：z=V3-V2sKz=-V3-V2（舍去）

：.A正=6-五，A2A3=26-2拒，OA3=2A/2+2A/3-2V2=273

:4（26，0）,

综上可得：An（2&,0）,

故答案为:（2«案卜

2.如图，点Bi在直线1：y=《x上，点Bi的横坐标为2,过点Bi作BiA」l,交x轴于点Ai,以A1B1为

2

边，向右作正方形A1B1B2C1,延长B2cl交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3c2,延长B3c2

交X轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4c3,延长B4c3交X轴于点A4；…；照这个规律进行下

去，则第n个正方形AnB„Bn+iCn的边长为（结果用含正整数n的代数式表示）.

【解析】设直线y=/x与x轴夹角为a,过Bi作BiHLx轴于H,由点Bi的横坐标为2,点Bi在直线1：

y=/x上，可得OH=2,BiH=l,OBi二"/+B但2=巡，tana=-^-=J,R〃\AiBiO中，求得AiBi

=OB「tana=Y5,即第1个正方形边长是Y5,在RtaAzBzO中，求得第2个正方形边长是逅X孑，在

2222

□△A3B3O中，求得第3个正方形边长是逅X9=逅义（旦）2,在Rt^A4B4O中，求得第4个正方形边

2422

长是逅43,……观察规律即可得：第n个正方形边长是返X（，1.

282222

解：设直线y=/x与x轴夹角为a,过Bi作BiHLx轴于H,如图:

•・•点Bi的横坐标为2,点Bi在直线1：y=*x上，令x=2得y=l,

・，・OH=2,BiH=1,OBi=y10+B।H=?\/5j

BiH1

tana=­i—

OH2

RtZ\AiBQ中，AiBi=OBi・tana=Y5,即第1个正方形边长是Y5,

22

+=X3

.".OB2=OBI+BIB2=V5^7-^>

RtZiAzBzO中，A2B2=OB2・tana=Y5X3X」=Y5X3,即第2个正方形边长是逅X^,

222222

.,.OB3=OB2+B2B3=Y^X3+Y^><3=Yix9,

22222

RtZ\A3B3。中，A3B3=OB3*tana=^-X—X—=J^-X—,即第3个正方形边长是逅X@=逅义(―)

222242422

.,.OB4=OB3+B3B4=^-X—+2Z§.X—=^.X—,

222424

RtZVuBdO中，A4B4=OB4*tana==J^-X—X—=^-X—,即第4个正方形边长是逅工=Y5x

24228282

观察规律可知：第n个正方形边长是喙xc|)n1

故答案为:夸xg)n-l.

3.如图，直线/：y=[x+6与X轴相交于点A,与y轴相交于点B,过点8作3G交X轴于点C-

过点作用_Lx轴交/于点用，过点与作片。2_L/交X轴于点。2，过点。2作52c2_Lx轴交/于点与…,

按照如此规律操作下去，则点^2022的纵坐标是.

z.、2022

【答案】g百

【解析】先根据30°的特殊直角三角形，如AAOB,ABAG，ABOCI,片求出B点，Bi点的纵

坐标，发现规律，即可

•；/：y=3X+百

-3

当y=。时，x=—3

当％=0时，y

故A(-3,0),B(0,6)

.••△AOB为30°的直角三角形

：.ZBAO=30°

•：BQ±I

.•.△5AC]为30°的直角三角形

NOC]B=60°

△30C]为30°的直角三角形

2

BC[=OB

耳

'：BC_Lx轴

51cl//BO

：.NBgB=NC]BO

为30°的直角三角形

同理:

OB

w

z\2022zX2022

故：^2022^2022=[gjOB=Jg

z.、2022

故答案为：(—jA/3

4.如图，一次函数y=x与反比例函数y=2(x>0)的图象交于点A,过点A作AB_LOA,交x轴于点B；

x

作BAi〃OA,交反比例函数图象于点Ai；过点Ai作AiBi_LAiB交x轴于点B；再作BIA2〃BAI,交反比

例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为.

【答案]42022+42021•

【解析】由一次函数y=x与反比例函数y=.(x>0)的图象交于点A,可得A(1,1)；易得aOAB是

等腰直角三角形，则OB=2；分别过点A,Ai,A2,作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E,则4ABD是等

腰直角三角形，设BD=m,则AiD=m,则Ai(m+2,m),点Ai在反比例函数y」上，可得m的值，求

出点Ai的坐标，同理可得A2的坐标，以此类推，可得结论.

如图，分别过点A,Ai,A2,作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E,

•・•一次函数y=x与反比例函数y=2(x>0)的图象交于点A,

x

"y=x

・•・联立|1，解得A(1,1),

y-X

・・.AC=OC=1,ZAOC=45°,

VAB±OA,

•••△OAB是等腰直角三角形，

・・・OB=2OC=2,

VA1B/7OA,

AZAiBD=45°,

设BD=m,则AiD=m,

.".Ai(m+2,m),

•・•点Ai在反比例函数y=」上，

x

Am(m+2)=1,解得m=T+(m=-1-负值舍去),

•'•Ai(-^2+1,

VAiBilAiB,

・・・BBi=2BD=2加-2,

/.061=2^^2-

・.・B1A2〃BA1,

AZA2BIE=45°,

设BiE=t,则A2E=t,

.*.A2(t+2后，t),

丁点A2在反比例函数y=—±,

x

・・・t(t+2&)=1,解得t=-后+愿，(t=-0-负值舍去),

；.A2他,退-亚），

同理可求得A3（2+J5，2-虎），

以此类推，可得点A202I的横坐标为12022+42021•

故答案为："2022+42021•

❽虞岐炼

1.（2023・湖南）观察下列等式：7°=L7i=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…，根据其中的

规律可得7°+7〔+7?+…+72°19的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【解析】

...7°=17=77=49,73=343,7,=24017=16807,…，

个位数4个数一循环，

.（2019+1）-4=505

••，

•-1•+7+9+3=20，

7°+71+7?+…+72°19的结果的个位数字是：0.

故选A.

2.（2022.河南）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正

方形数”（如1,4,9,16...）,在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则

m+n的值为（）

三角形数

A.33B.301C.386D.571

【答案】C

【解析】

由图形知第n个三角形数为l+2+3+...+n=2,第n个正方形数为

n\ii+1）“（"+1）

当n=19时，2=190<200,当n=20时，2=210>200,

所以最大的三角形数m=190；

当n=14时，n2=196<200,当n=15时，n2=225>200,

所以最大的正方形数n=196,

则m+n=386,

故选C.

3.（2019•甘肃）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图

形中共有个O.

O