规律型问题探究（数式或图形规律旋转型平移或翻滚型渐变型）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（原卷版）

重难点02规律型问题探究（数式或图形规律、旋转问题、

平移或翻滚型、渐变型）

题型解篌।模型构建.।真题强化制练।模拟通关试练

、金时婪解读

规律性问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有

关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳

或猜想出一般性的结论。这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问

题。具体思维过程是“特殊—一般--特殊”。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往

体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。

o模翅的建

模型01数式或图形规律

考।而i预T测

数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式

或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比

分析。主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规

律，利用规律解决问题.

答।题।技।巧

i.读懂题意，标序号;

2.根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎

样变”；

3.猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；

4.验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答；

|题型三停I

1.（2024・山东）观察下列等式：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根据其中的规律可得7。+7】+72+…+72。24的结果的个位数字是

＞衣式

1.按一定规律排列的一组数据：3-5，2，....则按此规律排列的第10个数是（）

ZbZ1/N63/

A“.---1-9Bc.—21C-.---1-9D.c——21

1011018282

2.按一定规律排列的单项式：5a,8a2,Ha3,14a4,....则按此规律排列的第。个单项式为.（用

含有”的代数式表示）

3.正偶数2,4,6,8,10,…，按如下规律排列,

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是.

4.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表

称为“杨辉三角

1（a+by=a+b

1121]（a+by=a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641

（。+6）4="+4"6+6〃〃+4加+〃

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为—.

5.根据图中数字的规律，若第九个图中的q=143,则p的值为（）

6.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，尤的值为（）

26

1438

2

9320435

A.135B.153C.170D.189

7.如图，在2x2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，。为（）

122436匚

11310527□ZJ

A.990B.9900C.985D.9850

模型02旋转型问题

函请而ST..................................

该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到

一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）。主要考查对点

的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确

运用数的运算。

答।题।技।巧

1.观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

2.分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵

坐标的变化规律等）；

3.周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者

运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；

4.利用有理数的运算解题；

［题筌不停T

1.（2023・四川）如图所示，矩形ABOC的顶点0为坐标原点，BC=2,对角线在第二象限的

角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点0以每秒45。的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐

标为（）

A.(2,0)B.(O,2)C.出吟D.(-72,-72)

＞变式

1.数学家高斯推动了数学科学的发展,被数学界誉为"数学王子"，据传，他在计算1+2+3+4+-+100时,

用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+…+100=1。*+】。。）.人们借助于这样的

方法，得到1+2+3+4+--+n=凶尸（。是正整数）.有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系

列格点4（孙儿）,其中i=1,2,3,…,小…,且孙力是整数.记册=0+%，如41（0,0）,即的=042（1，。），

即。2=1,4（1，-1），即%=0,…，以此类推.则下列结论正确的是（）

A.。2023=40B.61.2024=43C.a（2?l-1）2——6D.。（2九—1）2—2TL—4

2.如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，。4=1,反比例函数y=（与该回形图的交点依次记为Bi、

殳、&3、……，则B2024的坐标为.

3.在直角坐标系中，点4从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：(1,0),4

(1,1),A4<-1,1),As(-1,-1),As(2,-1),A7(2,2),....若到达终点An(506,-505),则

”的值为

10

3.如图，四边形CMBCi是正方形，曲线GC2c3c4c5…叫作"正方形的渐开线”，其中丑2,C企3,Cm4,C理5,…

的圆心依次按。，A,B,的循环.当。4=1时，点C2023的坐标是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,—2023)D.(2022,0)

4.在平面直角坐标系中，AAOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0).把AAOB按如图所示的方式放置，并

将440B进行变换：第一次变换将△40B绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为42。8边长的2倍,

得到AAOBi；第二次旋转将AAiOBi绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为△4OB1，边长的2倍,

得到△/。殳，….依次类推，得到△力2033OB2033，贝以4o23°B2O33的边长为，点4()23的坐标

为.

模型03平移或翻滚型

画市j加......................

该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一

般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变

化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算

求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特

点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。

答|题|技|巧

1.观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律得出具体数量的变化规律；

2.分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵

坐标的变化规律等)；

3.周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者

运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；

|题型学.

如图，ZAOB=60°，点A在射线Q4上,且。［=1,过点耳作1OA交射线于,

在射线OA上截取44,使《£=《&；过点鸟作OA交射线08于(，在射线Q4上截取8鸟,

使P2P3=P2K2.按照此规律，线段Eo23K2023的长为

1.如图，在平面直角坐标系中，将正方形。ABC绕点。逆时针旋转45。后得到正方形依此方式,

绕点。连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2O2o的坐标为()

A.(-1,1)B.(一应，0)C.(-1,-1)D.(0,0)

2.如图，已知菱形OA8C的顶点。(0,0),8(2,2),菱形的对角线的交于点。；若将菱形OA8C绕点。逆时

针旋转，每秒旋转45。，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点。的坐标为()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)

3.如图，直线y=x+i与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点8作使3C=2朋.将AABC绕

点。顺时针旋转,每次旋转90。.则第2022次旋转结束时，点C的对应点。落在反比例函数y=（的图象上,

X

则上的值为（）

A.-4B.4C.-6D.6

4.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形04A2的直角边在y轴的正半轴上，且04=44=1,

以为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3,以为直角边作第三个等限直角三角…，依此

规律，得到等腰直角三角形。4202M2021,则点42021的坐标为.

5.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边A8在x轴正半轴上，顶点厂在y轴

正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60。，那么经过第2022次旋转后，顶

点。的坐标为.

模型04渐变型

渗而向Si................................................

渐变型变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了

一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”

的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能

力，题型可涉及填空、选择或解答。

答I题I技I巧

观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变

化和所求的结果、归纳总结发现规律。

题筌不例

:|14.如图，在矩形ABCD中，AB=bBC=2,连接AC,过点D作DCiJ_AC于点Ci,以CiA,

CiD为邻边作矩形AA1DC1,连接A1C1,交AD于点Oi,过点D作DCzLAiCi于点C2,交AC于点Mi,

以C2A1,C?D为邻边作矩形A1A2DC2,连接A2c2,交AiD于点O2,过点D作DC3，A2c2于点C3,交AiCi

于点M2；以C3A2,C3D为邻边作矩形A2A3DC3,连接A3c3,交A2D于点O3,过点D作DC4，A3c3于点

C4,交A2c2于点M3…若四边形AOiC2Ml的面积为Si,四边形AQ2c3M2的面积为S2,四边形A2O3C4M3

的面积为S3…四边形An.QnCn+lMn的面积为Sn,则Sn=.（结果用含正整数n的式子表示）

）支式

i.如图，△。44，△4与4，△Ada，…，△A-纥A”，都是一边在x轴上的等边三角形，点与，

、后

B2,灰，…，纥都在反比例函数y=12（x>0）的图象上，点A，A,A3,A“，都在X轴上，则4

X

的坐标为________

2.如图，点Bi在直线1：y=gx上，点Bi的横坐标为2,过点Bi作BiA」l,交x轴于点Ai,以AIBI为

边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2cl交X轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3c2,延长B3c2

交X轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4c3,延长B4c3交X轴于点A4；…；照这个规律进行下

去，则第n个正方形AnBnBn+iG的边长为（结果用含正整数n的代数式表示）.

3.如图，直线/：）=走x+e与无轴相交于点A,与y轴相交于点B,过点8作5G交x轴于点C-

-3

过点G作用G，X轴交/于点耳，过点与作用。2，/交X轴于点C2，过点。2作生。2，X轴交/于点鸟…,

按照如此规律操作下去，则点为022的纵坐标是

4.如图，一次函数y=x与反比例函数y=2（x>0）的图象交于点A,过点A作AB_LOA,交x轴于点B；

x

作BAi〃OA,交反比例函数图象于点Ai；过点Ai作AiBiLAiB交x轴于点B；再作BIA2〃BAI,交反比

例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为.

1.（2023・湖南）观察下列等式：7°=1，71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,，根据其中的

规律可得7°+71+7?++72°"的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

2.（2022.河南）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10...）和“正

方形数”（如1,4,9,16...）,在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则

m+n的值为（）

•・・

•••.♦・

........................

三角形数

A.33B.301C.386D.571

3.（2019•甘肃）观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图

形中共有个O.

O

O

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1个第2个第3个要个

4.（2024・辽宁）如图，在4Go中，4G=A0=2,NAOC]=30。，过点A作4。2上℃1,垂足

为点02,过点G作94交04于点4,得到-小弓；过点4作垂足为点C3,过

点G作GA交。A于点4,得到.46。2；过点4作4CJOG,垂足为点。口过点04作

GA交。于点4,得到A4c4c3；……按照上面的作法进行下去，则A"+C"+C”的面积为

.（用含正整数n的代数式表示）

5.（2024・四川）如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（1,0）,以。4为直角边作7?公。4B2,并

使/4。42=60。，再以。42为直角边作R3OAM3,并使/4。43=60。，再以Ob为直角边作MA044,

并使/43。44=60。...按此规律进行下去，则点A2019的坐标为.

⑥模核至用

1.规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒

A.8093B.

2.汉字文化正在走进人们的日常消费生活.如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排

列组成的篆书简化"汉''字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，

图④中共有33个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（）

3.已知点A(T，3),记A关于直线机(直线机上各点的横坐标都为0)的对称点为Ai,4关于直线〃(直

线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为4,4关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为4,

人关于直线q(直线g上各点的纵坐标都为3)的对称点为为，人关于直线相的对称点为&5,4关于直线

力的对称点为4,.......依此规律4。23的坐标是()

A(2021,-2021)B(-2025,-2021)c(-2021,-2017)D(-2025,2027)

4.如图，。尸=1,过点尸作此1°尸且小T,得以=也；再过点P,作相1℃,且片尸2=1,得°£=色

又过点2作鸟月1。^且W,得"2…依此法继续作下去，得/=()

A,42023B,J2022c,V2021口V2020

5.请看杨辉三角，并观察下列等式：

1

11

121

1331

14641

(Q+Z?)i=a+b

(Q+b)?=Q?+2ab+/

2

(a+4=/+3ab+3加+护

(a+b)4=a4+4。%+6a2b2+4ab3+b4

根据前面各式的规律，则(a+»6=.

6.如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为a,再沿直线前进5米，到达点C

后，又向左旋转a角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度a

7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角.现

在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数

为_________