函数的不等式恒成立与有解问题 2025年高考数学二轮复习

考点精炼-函数的不等式恒成立与有解问题

2025年高考数学二轮复习备考

一、单选题

1.已知不等式e(j)*＞依+lnx在区间(。工[上恒成立，则实数。的取值范围是()

A.B.(-oo,l-eT)

C.(ro,0)D.(-8,1)

2.函数/(尤)=lnx-〃ir+l,若存在xe(O,+cc),使/(x)20有解，则"?的取值范围为()

A.(-oo,l]B.(-oo,2]C.[1,+co)D.[2,+oo)

1Q

3.已知函数/(%)=耳％3_3%2+8%一§,g(x)=x—lnx,若V%,G(0,3),g(%)+左之/仁)恒成立,

则实数左的取值范围是()

A.[2+ln2,+oo)B.[-3,+a?)

C.g'+0°jD.[3,-H»)

4.若对任意的X],x2e(l,3],当玉＜当时，与-龙2＞51叫-'|11«2恒成立，则实数。的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(3,+GO)C.[6,+co)D.(6,+co)

5.已知函数/(x)=〃e、-lnx在区间(1,2)上单调递增，则〃的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.当工之。时，不等式-ox〉(％-1)2恒成立，则〃取值范围是()

A.(-oo,l]B.

C.(-00,e]D.(-oo,3]

7.已知函数〃x)=£-l+ln无，若存在%>0,使得/(天)40有解，则实数a的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(-8,-3)

C.(-oo,l]D.[3,+GO)

8.当时，关于％的不等式(2asinx+cos2x—3)(sinx—x)K0有解，则a的最小值是()

A.2B.3C.4D.472

丫2_D|丫v

工5,且恒成立，则。的取值范围为()

｛e—ox—1,x2。

A.(-oo,0]B.[-2,1]C.[-2,0]D.[0,2]

10.已知函数"x)=ox2-(2a-l)x+a-l-xlnx,若“可大0在区间(1,+8)上恒成立，则实数。的取

值范围是()

11

A.B.—,+ooC.D.—,+oo

44922

11.已知不等式oxe"+%〉l-lnx有解，则实数。的取值范围为(

T收1

A.B.--,+00C.D.—00,—

12.已知〃>0,设函数/(x)=e2"+(2--Ina,若〃九)之。在(0,+动上恒成立，则。的取值范

围是()

A.〔0,(B.(0,1]C.(0,e]D.(0,2e]

二、填空题

13.设函数/(工)=%2一(Q+2)%+alnx(Q£R),若恒成立，求〃的取值范围_______.

14.若存在正数心使得不等式In(")有解，则实数。的取值范围是.

a

三、解答题

b

15.已知函数f(x)=x--,g(x)=2alnx.

⑴若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求。的值；

(2)若a>0,b=-l,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意X1,x2e(0,l],都有F(xJ-F(X2)(3|^----|

X1X2

恒成立，求。的取值范围；

16.已知函数〃x)=a(e*+a)-x.

⑴讨论〃x)的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，〃x)>21na+/.

17.已知函数〃x)=e'

⑴过点1作函数图像的切线，求切线的方程；

(2)当xNO时，〃彳)20?+：尤2+%+］恒成立，求。的取值范围.

参考答案

1.B

1Y_iir_i

设/z(x)=x-ln%-l,贝!J对0<x<l有=1——=----<0,对]>1有〃(力=1一一=---->0.

XXXX

从而〃(无)在(0,1)上递减，在。,内)上递增，所以⑴=1—0—1=0,故/z(x”0.

①一方面，在条件中令x=e,即得6(1一力>g+1,

彳段设贝^ffj]e=eee>e(1-a)e>ae+l>fl--']e+l=e,矛盾.

eevej

所以一定有a<l--.

e

②另一方面，若〃<1-工：

e

ri\<iri\A/i\i

-x-l-x-l-x-l-x-lI1-x

首先有OVe%e-ee-e-teee-Y-xee-x.

\J\\J)\e7

以及OW/z—=---In---1=---In

\eJeee

将两个不等式相加，就得到0W—x+1—In=e®———Inx,从而胸z[l—，)x+lnx.

由于acl-，，所以对任意xe(0,+co),有e(「")”>e「21l-」jx+lnx>ox+lnx.

而对任意的彳4。]],显然也有xe(O,"K»),所以e(-卜>ox+lnx,从而a<1」时条件一定满足.

综合①②两个方面，可知。的取值范围是，8,1-：].

故选：B.

2.A

构造函数8^卜上广，利用导数求最值，进而得小的取值范围.

若存在xe(0,y),使得/(力20有解，即机$-----.

设g(x)=l±J竺，(x>0),则g，(x)=>(l：lnx)=_/.

XXX

令g'(x)=0,解得x=l,

当xw(0,l)时,g,x)>0,g(x)单调递增;

，

当xe(L+s)时，g(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)1mx=g(l)=l.

故机的取值范围为(-8,1].

故选：A

3.D

fr^x^=x2-6x+8=(x-2)(x-4),

当尤«0,2)时，尸(%)>0,/(%)单调递增，当九«2,3)时，尸(力<。，/(%)单调递减,

所以/(力在(0,3)上的最大值是"2)=4.

g,(x)=l--=^-,

XX

当xe(O,l)时，g'(x)<0,g(尤)单调递减，当xe(l,3)时,g,(x)>0,g(无)单调递增,

所以g(x)在(0,3)上的最小值是g⑴=1,

若依,x2e(O,3),g(%)+-上/(%2)恒成立,贝U[g(x)+左L2〃尤)1mx,即1+左24,

所以左23,所以实数上的取值范围是[3,+8).

故选:D.

4.C

当玉<%2时，X]—马>万1取i—5IM2恒成立，即当王<兀2时，石—5I1IX]>%2—]1皿2怛成立,

设“x)=x-^|lnx,xe(l,3],则单调递减，

而尸(切=1-(40在0,3]上恒成立，即a22x在(1,3]上恒成立，

所以〃26.

故选：C.

5.C

根据((X)=ae*-J20在(L2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

依题可知，-(无)=比。,20在(1,2)上恒成立，显然”>0,所以xe-L

xa

设g(x)=xe",xe(l,2),所以g〈x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故eZ，,即aW』=eT,即a的最小值为e!

ae

6.C

恒成立问题一般采用分离参数的方法，进而转化成求函数的最值即可.

当x=0时，不等式显然成立,

e%—~+2丫—]

当x>0时，由题意可得

X

e"—%2+2x—1

g(x)=(%>0),

x

则有aVgd.

则g，")=(l)e；(、T)=(l)[e；(x+l)]

设/2(x)=e*-x-l,x>0,

则"(x)=e*-1>0,所以旗x)=e'-X-1在(0,+8)上单调递增，

所以e->0,

所以当xe(O,l)时,g,x)<0,g(x)单调递减；

当xe(l,+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

所以g(x)1nin=g#=e,

所以aWe

故选：C

7.C

根据题意，转化为aVx-xlnx在(0,+e)有解，设g(x)=x-xlnx,利用导数求得函数g(x)的单调性

与最大值，即可求解.

若存在M>0,使得〃x。)40有解，

由函数〃x)=£-l+lnxW0,gp1<l-lnx,即aWx—xlnx在(0,+巧有解，

设g(x)=x-xlnx,可得=l-(lnx+x，)=-Inx,

当xe(0,l)时，g,x)>0,g(尤)单调递增；

当xe(l,+8)时,g,(%)<0,g(无)单调递减，

所以当x=l时，函数g(x)取得极大值，也为最大值g(l)=l-lnl=l,即g(x)41,

所以即实数。的取值范围是

故选：C.

8.A

JT

当时，，己y=sin=cos%—140,

7T

故函数丁=sinx-x在0<兀《—上单调递减，

2

故sinx—%vsin0—0=0,故sinX〈尤，

TT

所以2asinx+cos2x-3\0在0<x4一上有解,

2

TT一~

由于0<xV—,所以sinx>0,

2

所以2asinx>3—cos2x=2+2sin2x，所以就

由「一+sinx22,当且仅当x时取等号，所以。的最小值是2.

sinx2

故选：A

9.C

当x<0时，/(x)=x2-2ax+2

若a'O,则〃x）>2,要使恒成立，即0VaV2,

若a<0,贝|/（力2/（。）=。2-2/+2,要使/。恒成立,

即—4/2+220,(。+2)(。—1)W0,即—2Wa<0

当xNO时，J(x)=e'-ox-1

/(O)=O,.-.a<O,/,(x)=eT-a>ex>O

.・"(X)在(0,+8)上单调递增,

要使"X)1恒成立，即/⑺2/(0),a40

综上所述，。的取值范围为［-2,0］,

故选：C.

10.D

解：因为〃力=加一(2。—l)x+a—l-xlnx,x>0,

所以『'(X)=2ax-(2a-l)-lnx-l=2a(x-l)-lnx,

又因为xe(l,+co),

所以当aVO时，［(x)<0,f(x)在(1,y)上单调递减,

所以/(“<八1)=0,不满足题意；

所以。>0,

令g(%)=/'(%)—2a(x—1)—Inx,x>1,

EI，/、c12ax-l

则g(x)=2a——=---------,

XX

令g，(x)=O,得尤=),

2a

当Lwl,即421时，g'(x)»o在(1,+8)上恒成立,

2a2

所以g(x),即f\x)在(L+8)上单调递增，

所以广。)>广⑴=。，

所以/(X)在(1,+8)上单调递增，

则⑴=0,满足题意；

当人>1,即0<。<工时，

2a2

当XG(1,3)时,g'(x)<0,则g(x),即尸(x)单调递减，

2a

当xe('-,+«>)时，g'(x)>0,则g(x),即尸(%)单调递增，

2a

又因为ra)=o,

假设存在唯一X。«1,4W),使/'(x)=。成立，则必有

所以当xe(l,x°)时，尸(无)<0,“X)单调递减，

当尤e(无o，+co)时，f\x)>0,/(x)单调递增,

又/⑴=。，

所以当xe(l,x。)时，必有了(无)<0,不满足题意;

综上,

故选：D.

11.A

1-x-lnx构造函数“X)=J：；nx,利用导数法求出“力5,a>〃x"即

分离参数转化为“〉n

xex

为所求.

1-x-lnx

不等式谪+x>lnx有解，即。x>0,只需要〃>

xemin

令=

_(x+1)(x-2+lnx)

一八)-X2ex'x>0,

令g(x)=x-2+lnx,x>0,

.•./(x)=l+J>0,所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

又g⑴=-l<0,g(2)=ln2>0,所以存在〜«1,2),使得g伉)=0,即无。-2+ln%=0,

.•.xe(O,A^),g(x)<0,gp/,(x)<0；xe(如+8),g(x)>0,即尸(x)>0,

所以函数“X)在(0,动上单调递减，在伍,+功上单调递增，

.../(不)=匕牛冲，又由毛-2+ln无。=。，可得x°e3=e2,

xoe

.£/\_1—%Tn/_1—%+<0-2___1_

…八v"-犷。-e2e2,

1

a>——.

e

故选：A.

12.D

根据题意同构可得e2'+ln(e""ax+ln(ax),构建g(x)=x+lnx,x>0,结合单调性可得e?a公，参

2x2x

变分析可得aWJ,构建“x)=二，尤>0,利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.

XX

由题意可知：/(x)=e2x+(2-«)x-lnx-ln«>0,整理可得e?x+ln(e2x)><2x+ln(at),

设g(x)=x+lnx,x>0,贝！J短(力=1+：>0,可知g(%)在(。,+。)内单调递增，

由题意可知：^(e2x)>g(ox),贝！Je?x>依对任意x«0,+8)内恒成立，

2x

可得aWJ对任意xe(0,+8)内恒成立，

X

设函数"x)=U,x>0,则〃(力=往?二，

令〃(x)>0,解得x>:；令为'(x)<0,解得0<x<；；

可知/z(x)在(0,，内单调递减，在&,+，]内单调递增，

所以力(力的最小值为〃[£|=2e,可得0<〃M2e,

所以。的取值范围为(。,2寸

故选：D.

13.(一8,-2]

由题意得〃x)血021,对/(尤)求导，对。分aVO和。>0讨论，利用导数分析单调性，求出函数的最

值即可求解.

,(2x-a\(x-\\

f(x)=-----八——^龙>0，

x

由题意21恒成立,则/(冗)〃21,

①当a<0时，令((无)>0,得X>1;

令尸(x)<0,得0<x<l,

所以/(-V)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，

所以/(x)皿=/6=—。一121，解得。4一2

②当。>0时，存在f(l)=-a-l<0,不满足题意，

综上，实数。的取值范围是-2].

故答案为：(-»,-2].

14.(e,-H»)

由J<ln(6ix)转化为xe*<Gcln(or),然后构造函数〃x)=xe”,再利用导数求函数的单调性，从而

求解.

因为x>0,ax>0,所以。>0,不等式J<ln(ox)可以化为xe*<axln(a无)，

a

令/(x)=xex,则ax]n(ax)=eta(<K)ln(at)=/(ln(ax)),所以/(x)</(ln(a尤)).

当x>0时，f\x)=(x+l)ex>0,故函数/(x)=xe*在(0,+oo)上单调递增.

当In(依)40时，/(In(火))40,不合题意，舍去.

当ln(ox)>0时，x>-,因为在(0,+s)上单调递增，/(x)</(ln(ax)),

a

1jr—1

所以x<ln(or),即x—lnx<lna.令g(x)=x-ln无，则短(%)=1--=-——,

XX

当0<%<1时，g'(尤)<0,当尤>1时，gf(x)>0,

所以g。)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

当OvaWl时，->1,所以g(x)在(L+e]上单调递增，故lna〉g(，],

所以ln〃>---In—,即0>—,矛盾，故舍去.

aaa

当时，O<L<1,所以当时，g(%)min=g(D=l，

aa

所以lna>l,即。>e.

综上可得，实数，的取值范围是(e,+8).

15.(1)—；(2)0<a«—.

22

2a

­=1

(1)设切点为(西,2alnxJ,得到切线方程，可得为，求解可得。值；(2)当a>0,

-2a+2aInxi=0

6=-1时，F(%)=V，(x)+g(%)=x2+l+2«lnx,利用导数研究函数单调性，不妨设0<%<1，原

(11A33

不等式0厂(々)一厂(%)<3---------,即仆X2)+—</&)+一,令

xX

I石X2J21

h(x)=F(x)+—=x2+l+2aln尤+二，把原不等式转化为/z(x)在(0,1］上递减,由〃'(x)W0在(0,1］上恒

xx

成立，分离参数后利用函数的单调性求最值得答案.

(1)若1=0,函数〃力=》的图象与g(x)=2alnx的图象相切

设切点为(玉,2aln%),贝I］切线方程为y=阳彳-2。+2。111周

再

生=1ki=ee

<玉得，e•••〃=77

a——2

-la+2tzInx=02

(2)当Q>0,Z?=—l时，F(x)=xf(x)+g(x)=x2+l+2«lnx

F((x)=2x+^>0n网x)在(0,1］上单调递增

不妨设。〈占<々41,原不等式。尸(无,)一网占)<31工-工

-1占x2)

33

即/伍)+丁〈厂(石)+不

设力(力=/⑺+―=/+i+2〃lnx+—,则原不等式一妆犬)在(0,1］上递减

即/(》)=2》+干一指〈0在(0,1］上，恒成立

，2041-2/在(0』上恒成立.

函数>='一2/在(0』上递减=>'=3-2=1

...2々<1又。>0「.0vaW—

2

16.(1)答案见解析

(2)证明见解析

(1)因为/(x)=a(e，+a)-x,定义域为R,所以/,

当时，由于1>0,贝lUe'WO,故/■'(彳)=温一1<0恒成立，

所以/(X)在R上单调递减；

当a>0时，令/''(x)=4e&-l=0,解得x=-lna,

当九v—lna时，/f(x)<0,则/(x)在(ro,—Ina)上单调递减；

当x>—Ina时，/r(x)>0,则/(%)在(—Ina,收)上单调递增；

综上：当a«O时，/(%)在R上单调递减；

当Q>0时，/(力在(ro,-Ina)上单调递减，/(%)在(-加。,y)上单调递增.

(2)方法一：

由(1)得，〃x)min="-lna)=a(e，"+〃)+1口〃=1+/+111〃，

331

要证f(x)>2\na+—,即证l+〃2+inQ>21n〃+5，即证。?一万一Ina〉。恒成立，

令g(a)=a2------lna(a>0),贝|=2a—————-,

2aa

令g®)<0,则0<“<条令g，(a)>0,则a考;

所以g(a)在卜，乎］上单调递减，在［日,上单调递增，

((万丫r-

=

所以g(a)1ni"=gVV-：-ln与=ln近>0,则g(a)>。恒成立，

k27\2)22

3

所以当。>0时，/(x)〉21n〃+5恒成立，证毕.

方法二：

令/i(x)=e"-x-l,贝1」”(力=匕"-1,

由于y=在R上单调递增，所以”(力=e、-1在R上单调递增，

又“(O)=e°—l=O,

所以当％<0时，/zf(x)<0；当］>0时，

所以/i(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故九(%)之九(0)=0,则e'Nx+1,当且仅当>0时，等号成立，

因为f(x)=a(e^+a^—x=aex+a2—x=ex+ina+O2—x>x+\na+l+a2—x,

当且仅当尤+lna=O,即x=—Ina时，等号成立，

331

所以要证/(无)>21口〃+,，即证x+lna+l+Q?>Zlna+g,即证/一万一lna>0,

2

令g(Q)=a------lnQ(a>0),贝|=2a——=--,

2aa

令g'(a)<0,则o<a<]；令g'(4)>0,则a>4;

所以g(a)在上单调递减，在上单调递增,

所以g(aL=gV=V-^-ln与=ln&>0,则g(a)>。恒成立,

(2)(2)22

3

所以当。>0时，/(x)>21na+5恒成立，证毕.

17.(1)>=工+1和>=。：

⑵"4

(1)设〃x)图像上的切点为(如峭)，因为/(x)=e，，贝1］尸(力=巴

令g(x)=e"，则g'(x