函数的概念【九大题型】（原卷版）

函数的概念【九大题型】

►热点题型归纳

【题型1函数的概念】.........................................................................2

【题型2同一函数的判断】.....................................................................3

【题型3具体函数的定义域的求解】............................................................4

【题型4抽象函数的定义域的求解】............................................................4

【题型5已知函数定义域求参数】..............................................................5

【题型6已知函数类型求解析式】..............................................................5

【题型7已知｛g(x))求解析式】.................................................................5

【题型8函数值域的求解】.....................................................................6

【题型9分段函数及其应用】...................................................................6

►考情分析

1、函数的概念

考点要求真题统计考情分析

函数的解析式与定义域、值域问题是高

(1)了解函数的含义，会求

2021年浙江卷：第12题，5考数学的必考内容.从近几年的高考情

简单函数的定义域和值域

分况来看，高考对函数的概念考查相对稳

⑵会根据不同的需要选

2022年浙江卷：第14题，5定，考查内容、频率、题型、难度均变

择恰当的方法(图象法、列

分化不大，函数的解析式在高考中较少单

表法、解析法)表示函数

2023年北京卷：第11题，5独考查，多在解答题中出现.高考对本节

(3)了解简单的分段函数，

分的考查不会有大的变化，仍将以分段函

并会应用

数、定义域、值域及最值为主.

►知识梳理

【知识点1函数的定义域的求法】

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式

或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数段)的定义域为［a,6］,则复合函数九g(x)］的定义域可由不等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函数九g(x)］的定义域为则以)的定义域为g(x)在用上的值域.

【知识点2函数解析式的四种求法】

1.函数解析式的四种求法

(1)配凑法：由已知条件Hg(x))=F(x),可将尸(_¥)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替代g(x),便得外)

的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.

(3)换元法：已知复合函数｛g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想：已知关于段)与/(J)或大㈤等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方

程组，通过解方程组求出/(x).

【知识点3求函数值域的一般方法】

1.求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；

(2)反解法；

(3)配方法;

(4)不等式法；

(5)单调性法；

(6)换元法；

(7)数形结合法；

(8)导数法.

【知识点4分段函数的应用】

1.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决,

即分段函数问题，分段解决.

►举一反三

【题型1函数的概念】

【例1】(2023•山东•模拟预测)下列图象中，能表示函数y=f(x)图象的是()

A.①②B.②③C.②④D.①③

【变式1-11⑵-24高一上•广东佛山・期末）给定数集4=R,B=（0,+8）,久,y满足方程/一y=0,下列对

应关系/为函数的是（）

A.f-.A^B,y=/(x)B.f-.B^A,y-f(x)

C.f:A^B,x=f(y)D.f-.B^»A,x=/(y)

【变式1-2]（2024•江西•一模）设用={刈0WxW4},N{y\-4<y<0],函数/（x）的定义域为“，值

域为N,则f（x）的图象可以是（）

【变式1-3]（2024高三•全国・专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（）

A.A=N,B=N,f\x^y=(%-1)2B.4=N,B=N,f-.x^y=±Vx

1

C.A=N,B==—D.A-R,B={y\y>0},/:x—y=\x\

【题型2同一函数的判断】

【例2】（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A./(x)=x,g(x)=fB./(%)=x(xGR),g(x)=x(xeZ)

x,x>0

D./(%)=x,g(x)=(V%)2

C.f(x)=|x|,g(x)=—x,x<0

【变式2-1]（2024•山东•一模）下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A.f(x)=e1n",g(%)=%

B./。）=年应（%）=久一2

csin2x.

C-/(%)=,2(%)=sm%

D./(%)=|%|,5(X)=V%2

【变式2-2]（2024•重庆•二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是

A.y=V%2B.y=lglOx

C.Jy=-XD.y=7(%-1)2+1

【变式2-3]（23-24高二下•福建三明•阶段练习）下列各组函数相等的是（）

A./(%)=x2,g(x)=(V%)4B./(%)=x-1,g(x)=7-1

n"、II"、fX,X>0

C./(x)=1,g(x)=x°D./(%)=\x\,gQ)=[_xx<0

【题型3具体函数的定义域的求解】

【例3】（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）函数f（x）=J芸的定义域为（）

A.(—00,3]B.(1,+8)C.(1,3]D.(—oo,1)U[3,+oo)

【变式3-1]（2024・陕西•模拟预测）函数y=的定义域为（）

A.[—4,1]B.[—4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,l]

【变式3-2]（2024吉林•一模）函数y=考"的定义域为（）

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,-1]

【变式3-3】（2024•山东泰安•三模）已知函数/（久）=展示，则函数与渣的定义域为（）

A.(-oo,l)B.(—oo,—1)

C.(_8,_l)U(_l,0)D.(―8,—1)U(—1,1)

【题型4抽象函数的定义域的求解】

【例4】（2023•江苏镇江•模拟预测）若函数y=/（2x）的定义域为[―2,4],则y=/（久）一/（—x）的定义域为

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【变式4-1]（2024•陕西西安•一模）若函数久久）的定义域是[0,4],则函数gQ）=等的定义域是

A.[0,2]B.（0,2）C.[0,2）D.（0,2]

【变式4-2]（2023•河北衡水•模拟预测）已知函数y=f（x）的定义域为[0,4],则函数y=笺£+（%—2）。

的定义域是（）

A.（1,5]B.（1,2）U（2,5）C.（1,2）U（2,3]D.（1,3]

【变式4-3]（2024•湖北荆州•模拟预测）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数/zzxQ）定义域为

[211,985],贝iJ函数s/mcmgy(%)=/zz%(2018%)+/zz%(2021%)的定义域为()

A.211985B[卫里

2018,2021.L20212018J

c.211985D[卫空]

201812018.L20212021J

【题型5已知函数定义域求参数】

【例5】(23-24高一上•陕西西安•期中)已知函数/(X)=JmN+⑺一3)x+1的定义域为R,则实数m的

取值范围是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(—oo,l]u[9,+oo)D.{3}

【变式5-1](23-24高一上•辽宁鞍山•期中)已知函数f=J(a2—1)*+9+1)刈+1的定义域为R,则

实数。的取值范围为()

A.[-1,1]B.(―8,—1)咔,+8)

C.[|,+°°)D.(_8,_1]u修,+8)

【变式5-2](22-23高二上•宁夏石嘴山•阶段练习)若函数的定义域为R,则实数人的取值

\kxz+kx+l

范围是()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

2

【变式5-3]⑵-24高一上•浙江•阶段练习)已知函数f(x)的定义域{久la2-4a<x<a-8}是关于力的不

等式(x+a+2)(%—2)>。的解集的子集，则实数a的取值范围是()

A.[2+y/-3,+8)B.(—8,2]U[2++8)

C.(2,2+㈣D.(2,3]

【题型6已知函数类型求解析式】

【例6】(2024•山东济南•二模)已知函数/'(尤)=一/一2%+3,贝行(久+1)=.

【变式6-11(2024•广东东莞•二模)已知函数fQc)=ax-b(a>0),/(/(%))=4%-3,则f(2)=.

【变式6-2](2023•江西九江•模拟预测)若三角形的面积为S(cm2),底边长为lOcm,底上的高为人

(cm),则〃关于S的函数关系式是.

【变式6-3](2024,山东济南，一模)已知集合4={u(x)|u(x)=a%2—缶+6)%+6,a,beR},函数/(%)=%2

一1.若函数g(x)满足:对任意”(久)64,存在R,使得u(久)=2/(%)+〃9(久)，则。(久)的解析式可以是.

(写出一个满足条件的函数解析式即可)

【题型7已知危(幻)求解析式】

【例7】(2023•重庆•模拟预测)已知函数/(l—x)0),则〃>)=()

11

A.(%_])2—1(%W。)B.(刀_])2—1(%。1)

4,4

C.._1)2—1(%W0)D.(久_1)2-1(%W1)

【变式7-1](2024高三•全国•专题练习)已知函数/(I—%)=安~(%。0)，则/(%)=()

11

A・(久_1)2-1(%W0)B.(%_i)2T(%H1)

44

C(久一i)2-1(%W0)D.(久_1)2-1(%H1)

【变式7-2](23-24高一上•安徽蚌埠•期末)已知函数/(%)满足：/(%_£)=/+*则/(%)的解析式为

()

A./(x)=x2+2B./(x)=x2

C./(%)=%2+2(%丰0)D./(%)=%2-2(%丰0)

【变式7-31(23-24高一上•湖南衡阳•期中)函数/(%)满足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3%+l,则f(%)=

()

A.f(%)=3xB./(%)=3

C./(x)=27x+10D.f(x)=27x+12

【题型8函数值域的求解】

【例8】(2024•湖南怀化•三模)已知函数/(x)=女1WxW2),则函数g(x)=2/(x)+fQ2)的值域为()

A.[3,2+272]B.[|,3]C.[^,3]D.[|+V2,3]

【变式8-1](2024•湖北•三模)函数y=比一:4久一N的值域为().

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2>/2]D.[2—2鱼,2+2©

11

【变式8-2](2008・江西•高考真题)若函数y=/(尤)的值域是由3],则函数F(x)=f(x)不的值域是

A.百3]B.[2,学C.[1,y]D.[3,学

【变式8-3](2024•浙江宁波•三模)若函数/(%)满足a</(%)<b(a<b),定义b-。的最小值为/(%)的值

域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是()

A./(%)=cos2x+1B./(%)=、2x+1—久2

C./（%）=\x\-|x-1|D.f（x）

【题型9分段函数及其应用】

【例9】（2024吉林长春・三模）已知函数/（久）={〃>2；,,七0，则/（—3）=（）

A.1B.2C.4D.8

【变式9-1]（2024•广东佛山•二模）如图，△。力B是边长为2的正三角形，记△02B位于直线x=t

C0<t<2）左侧的图形的面积为f（t）.则函数y=f（t）的大致图象是（）

【变式9-2]（2024•江西南昌•一模）设函数/（x）=若/（I）是f（久）的最小值，则实数a的取值

范围为（）

A.[-1,2）B.[-1,0]C.[1,2]D.[1,+oo）

【变式9-3]（2023•安徽合肥•模拟预测）定义在R上的函数/（X）满足/（*+1）=3（力且当久6[0,1）时，f⑶

Q

=1—|2%—1].当XE[m,+8）时，f（%）<—,则zn的最小值为（）

2729「13「15

AA•百DB.互C--D.-

►过关测试

一、单选题

1.(23-24高一上•上海奉贤•期末)以下图形中，不是函数图象的是()

2.(2023•江西九江•模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(久)=笔苧，。0)=久B./(%)=%,g(x)=V%2

C./(x)=1,g(x)=x°D./(x)=x,g(x)=亍

3.(2023•湖南岳阳•模拟预测)函数y=依+厂1的定义域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+oo)D.[0,1}

4.(2024•江苏南通•二模)已知f(x)对于任意久,yeR,都有/(久+y)=f(K)•f(y),且fg)=2,则/(4)=

()

A.4B.8C.64D.256

5.(2024・北京怀柔・模拟预测)已知函数/(x)=禺，则对任意实数x,函数久久)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

6.(2023•江西九江•模拟预测)已知函数y=/(*)的定义域为[―1,5],则函数y=f(2/—1)的定义域为

()

A.[0,3]B.[-3.3]C.[-V3,V3]D.[-3,0]

1x<1

7.(2024•吉林•模拟预测)已知=|正,：之1‘若/(0=1,则实数a的值为()

A.1B.4C.1或4D.2

8.(2024•山东•二模)如图所示，动点P在边长为1的正方形4BCD的边上沿4-BTCFD运动，x表示动点P

由N点出发所经过的路程，y表示△力P。的面积，则函数y=/O)的大致图像是().

二、多选题

9.(23-24高一上•安徽六安•期中)下列说法中正确的是()

r2_i_r

A.函数/(%)=不五的最小值为2

若贝！<——

B.a>b>0,zn>0,aa+m

C.函数f(久)=甘的值域为(—8,2)U(2,+OO)

D.函数/'(x)=Vx-1-+1与函数9(久)=7x2一1为同一个函数

1

10.(2024・全国•一模)设。为常数，/(0)=-,/(x+y)=/(x)/(cz-y)+/(y)/(a-x),则().

A./(a)=1

B.f(x)=:成立

C.f(x+y)=2/(x)/(y)

D.满足条件的/■(>)不止一个

11.(2024•湖南益阳•模拟预测)下列命题中，正确的是()

(1,当x>0时_

A.函数"(%)=」与"(%)=]。，当％=。时表示同一函数

”(一1,当％<0时

B.函数u(x)=x2—2%+2与=t2—2t+2是同一函数

C.函数