函数的性质及应用（原题版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题03函数的性质及应用

目录

题型一：函数的性质

易错点01复合函数定义域的理解不当致错

易错点02使用换元法忽略新元的范围

易错点03研究单调性、奇偶性时忽略定义域

易错点04对分段函数的理解不到位出错

题型二函数与方程

易错点05忽略函数零点存在定理的条件

易错点06二次函数零点分布问题考虑不全

题型-：函数的性质

易错点01：复合函数定义域理解不当致错

叁易错陷阱与避错攻略

典例(23・24高二下•黑龙江•期末)已知函数/(x)=后金，则函数g(x)=/(2x)+/(x2)的定义域为

()

A.[-B.卜8,回

C.口,间D.[-Ai]

【答案】D

【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.

【详解】由题可知=的定义域为(-82]，

则为使g(x)=/(2x)+/(x2)有意义必须且只需]2x<2

x2<2'

解得一行wxwr

所以g(x)的定义域为卜3,1]

故选:D

【易错剖析】

在求解过程中，根据函数解析式求出/(x)的定义域为(-8,2],然后由=然后错误的由xV2分别求出

X2,2X的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.

【避错攻略】

1复合函数的概念：

若函数方/Q)的定义域为A,函数片g(x)的定义域为D,值域为C,则当时，称函数产丹g(x)]

为/⑺与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,/为中间变量，片g(x)叫做内层函数，方/■⑺叫做外层

函数.

2抽象函数或复合函数的定义域：

(1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数人x)的定义域是指x的取值范围，函数y?[g(x)]

的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

(2)/⑺，f^x),(x)],/D?(x)]四个函数中的3x,p(x),〃(x)在对应关系/■下的范围相同，在同

一函数/作用下，括号内整体的取值范围相同.

(3)已知於)的定义域为/,求八夕⑺]的定义域，其实质是已知夕(x)的取值范围(值域)为/,求x的

取值范围.

(4)己知/[夕⑺]的定义域为2,求段)的定义城，其实质是已知八夕(x)]中x的取值范围为2,求0(x)

的取值范围(值域)，这个范围就是人x)的定义域.

易错提醒已知/(x)的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求/(x)的定义域，

遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同，另外对于实

际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

举一反三

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数的定义域为「2,2],则函数%=的定义域为()

A.[-3,1]B.[TO)"。』

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

2.（24-25高三上•四川南充・开学考试）已知函数〉=/。+1）的定义域为[-2,3],则>tD的定义域

A/X-1

为（）

A.[-5,5]B.（1,5]C.^1,—D.-5,—

3.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）已知函数/（2x-3）的定义域为[2,3].记/（X）的定义域为集合

4/（2-1）的定义域为集合氏则“丁€/”是、e8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

易错题通关

1.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）y=lg（tanx-1）的定义域为（）

兀

A.4+kn>x>—+kji,kEZJ

B.xx>—+k7iJC^—+ku.keZ

42

C.|x|x>^+kn,kGZ

兀E77

D.x\X>----1--，左£Z

42

⑵3高三上・福建宁德・开学考试）已知函数尸"一）的定义域是T3],则"墨的定义域是

2.

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[-1,3]D.[-2,5]

3.（24-25高三上•山东烟台・期中）若函数>=/（2、）的定义域为{x|x<2},则函数>=/（x-1）的定义域为

（）

A.{x|0<x<4}B.{x|x<4}C.{x\x<5}D.{x[l<x<5}

4.（24-25高三上•山东荷泽•期中）已知函数〃2x+l）的定义域为[1,2],则函数的定义域为（）

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D.[3,7]

5.(23-24高一上•四川成都•期中)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且

炮弹距地面的高度力(单位：m)与时间/(单位：s)的关系为〃=130/-5一.该函数定义域为()

A.(0,+司B.(0,845]C.[0,26]D.[0,845]

6.(24-25高三上•河南新乡•期中)已知函数/(力=万1+占，则函数/(/)的定义域是()

A.(-«),l)u(l,2]

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

C.[-V2,1)U(1,V2]

D.[-

7.(2024・山东•一模)函数/(%)=Jx-1|-3的定义域是()

A.[4,+oo)B.(-oo,-2]

C.[-2,4]D.(-oo,-2]o[4,+oo)

一一1)

8.(23-24高三上•陕西西安•阶段练习)已知/(x)的定义域为[0,2],则函数的定义域为

9.(23-24高三上•福建莆田•开学考试)已知函数的定义域为(1,+8),则函数尸(x)=/(2=3)+万7

的定义域为.

10.(24-25高三上•青海西宁•阶段练习)函数>=『^^+(2苫-3)°的定义域为____

”ogo5(x-2)

易错点02：使用换元法忽略新元的范围

，易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高一上・吉林•阶段练习)已知八五-l)=x-2«,则〃x)的解析式为()

A./(x)=x2-1B./(x)=x2+l(x>-1)

C./(x)=x2-l(x>-1)D./(x)=x2+1

【易错剖析】

本题求解时设:6-1,换元后要注意£2-1这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.

【避错攻略】

1.换元法

换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解

题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对

象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根

式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.

2.常见的换元方法

(1)根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整体代换：将所求表达式整体换元；

(3)三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的

过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元

二次方程的问题。

易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量

的取值范围被扩大了，则在求解之后要加以检验.

叁举一反三

1_2

1.(24-25高三上•江西上饶•阶段练习)已知函数〃=则/(x)=()

X

A.(1、2T("0)B.(1

(1)(xT)

44

c.7-D.7—

(1)(1)

2.(24-25高一上•重庆•阶段练习)函数y=x+的值域为()

A.(-«,2]B.[2,+co)C.1一00，、D.

3.(2024・四川遂宁•模拟预测)下列函数满足“log?3)=-"log")的是()

A./(x)=1+InxB.f(x)=x+—

C.D./(x)=l-x

易错题通关

1.（24-25高三上•全国•随堂练习）函数〃尤）=丁]^^尤eR）的值域是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1]D.（0,1）

2.（2024高三・全国・专题练习）函数y=x+Jl-x2的值域为（）

A.[-V2,V2]B.[-1,V2]C.[-2,2]D.[1,亚]

3.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）若函数/（cosx）=cosx+cos2x,则（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024・四川•模拟预测）已知〃x）为定义在R上的单调函数，且对VxeRJ（/（x）-e）=2+ln2,则

〃ln3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

6.（2024•陕西•模拟预测）函数y（x）=Vn+收的最大值为（）

A.1B.C.V3D.2

y1

7.（23-24高一上・浙江宁波•开学考试）函数〉=ME（XN。）的最大值为

8.（24-25高三下•重庆•阶段练习）若/（2x-1）=2/-x,则/（'）的解析式为.

5—T

9.（23-24高三上•广东江门•开学考试）函数/（x）=y=的值域为.

x+1

10.（23-24高二下•辽宁本溪•期末）已知函数/（X）满足2yX,则〃x)=

X

7

11.（2024高三•全国•专题练习）已知函数了=2二一3—的值域为—00—,则实数。的值为.

2

易错点03：研究单调性'奇偶性时忽略定义域

，易错陷阱与避错攻略

典例（2024高三・全国•专题练习）函数y=的单调递减区间是（）

A.(fl)B.(0,1)C(1,2)D.(l,+℃)

【答案】C

【分析】令仁-/+2x,再根据复合函数单调性的判断方法求解出了=厅式的单调递减区间.

【详解】由-x2+2xN0可得0Vx42,所以函数y=卜X2+2x的定义域为[。,2],

令t=-x2+2xe[0,l],利用复合函数单调性判断方法来分析了=厅式的单调性，如下表：

Xt=—/+2xty=4ty=yj-x2+2x

(0,1)单调递增(0,1)单调递增单调递增

(1,2)单调递减(0,1)单调递增单调递减

由表知，y=Jr?+2工的单调递减区间为(1,2).

故选：C.

【易错剖析】

本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为(1,+8)而致错.

【避错攻略】

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，

函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧

途。

1.函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨

论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

(1)单调区间区间/是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.

(2)如果函数.=危)存在多个单调区间,应当用2”或“和”连接.

(3)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.

(4)复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层

函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函

数是减函数.

2.函数奇偶性与定义域

偶函数的定义：如果对一切使尸㈤有定义的x,尸(一x)也有定义，并且F(—x)=F(x)成立，则称尸(x)为

偶函数.

奇函数的定义：如果对一切使F（x）有定义的x,尸（一X）也有定义，并且F（—x）=—F（x）成立，则称尸（x）

为奇函数.

（1）奇偶函数定义的等价形式.

奇函数小一X）=—4x）u次一X）十危）=0,偶函数r/（一X）=/）"火一x）—/（x）=0.

（2）函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.

一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是

偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.例如，定义域为［0,+8）,不具有奇偶性.

易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.

举一反三

1.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）函数y=ln（一一2x）的单调递减区间是（）

A.B.（1,+℃）C.（-<»,0）D,（2,+oo）

2.（24-25高三上•福建福州•期中）已知定义在［-3,3］上的函数/（x）=e、—er—2尤—1,若

/（/）+〃加—2）+2工0,则加的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,V3]D.[->/3,1]

3.（24-25高三上•上海•期中）函数/（力="^+7上的奇偶性为.

■易错题通关

1.（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）函数》二一一^的单调增区间为（）

6-5x-x

A.卜HB.

C.+<»）D.-6）U^-6,--|

2.（2024高三・全国•专题练习）函数〃x）=收了工方的单调递增区间为（）

A.卜00，；）B.C.1,+℃^D.

3.（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）若函数/（x）=log°.5（ax-在区间上单调递增，则。的取值

范围是（）

A.(0,2]B.[-2,0)C.[2,+oo)D.(-oo,-2]

4.(24-25高三上•陕西汉中•期中)设函数=；2d则下列函数中为奇函数的是()

A./(x+l)+lB.f(x+1)—1

C./(X-1)+1D./(x-l)-l

5.定义在(0,+«0上的函数〃x)满足VX],/e(0，+°°)且无产无2，有[“再)-/(%2)](玉-々)>°，且

2

/(孙)="X)+/(y),”4)=§,则不等式/(2x)-/(x-3)>l的解集为().

A.(0,4)B.(0,+oo)C.(3,4)D.(2,3)

],x<2

6.已知函数/(x)=，x-l,2Wx<3,且〃％)=2,则%=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

7.已知是定义在[-1』上的增函数，且-3x),则x的取值范围是.

8.(2024高三・全国・专题练习)已知函数〃x)=rk|,xe(-l,l),则不等式〃1-机)</(病-1)的解集

为.

9.若函数於)="2+&+3°+6是偶函数，定义域为[a—1,2a],贝Ua=,b=.

易错点04：对分段函数的理解不到位出错

易错陷阱与避错攻略

_丫2।Y_6丫1

-"在R上是增函数，则。的取值范围

olnx+5,x>l

为()

A.[l,+<x>)B.[1,6]

C.(-oo,l]u[6,+co)D.(0,l]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.

【详解】设g(x)=-x2+2ax-6,x<1；〃(x)=alnx+5,x>1.

为使/(x)在R上递增,则g(x)在(-8』上递增,〃(x)在(1,+8)上递增,

a>\

且g（l）4Ml）,即a>0^l<a<6.

2a-7<5

故选：B

【易错剖析】

本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而

错选A.

【避错攻略】

1.分段函数的定义

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫做分段函数.

【理解】（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.

（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.要注

意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏.

（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集.

2.分段函数的题型

（1）分段函数图象的画法

①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图

象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分

段函数，然后分段作出函数图象.

（2）分段函数的求值

①确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.

（3）求某条件下自变量的值（或范围）

先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程（不等式）求解，注意需检验所求的值是否

在所讨论的区间内.若题目是含有多层尸'的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.

（4）根据分段函数的解析式解不等式

①对变量分类讨论代入相应的解析式求解.

②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解.

（5）求分段函数的最值

分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值

（6）根据单调性求参数

从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.

易错提醒：（1）求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自

变量的值，切记代入检验.

(2)已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条

件如下：

类型1：函数=，在R上单调增递，则“X)满足两个条件：

[f2(x),x>a

(1)力(X)在(-叫可上单调增递增；

(2)/2cx)在(a,+8)上单调增递增；

(3)/(a)=&a).

类型2：函数=,在R上单调增递减，则“X)满足两性个条件:

[f2(x),x>a

(l)/(x)在(-叫刈上单调增递减；

(2)人(%)在(a,+s)上单调增递减；

⑶工⑷2”)

举—反三

2x~\x<l,

1.(2024・吉林•模拟预测)已知〃x)=«若则实数。的值为()

-----,X>1.

12

A.1B.4C.1或4D.2

、\2x+4.x<a

2.(24-25高三上•江苏南京•期中)已知函数/zx=,「在R上单调递增，则实数。的取值范围是

[x+1,x>a

().

A.(-1,3]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.(一/,—l]u[3,+e)

(QX>0

3.(2024・浙江温州•一模)已知函数/(力=3'x°八的值域为R，则实数。的取值范围为()

[x-3x+fl,x<0

A.[-l,+oo)B.[3,+oo)

C.(一8,-1]D.(-oo,3]

易错题通关

x2-l,x<1

I.(24-25高三上•山东济宁•期中)已知函数/(》)=1，贝打(八3))=()

-----,X>1

、x—1

2-"25高三上•山东潍坊•阶段练习)函数小)噂;1I；的最小值为()

A.-4B.-2C.3D.5

]口'一<x<2

3.(23-24高三上•河北唐山•阶段练习)已知函数〃无)='2"~'则的值域为()

log,x,2<x<4,

A.In|-,ln2B.ln|-,log94

C.(log92,In2]D.(log,2,log,4]

x2—2ax+a,x<0

4.(2024・湖南郴州•模拟预测)己知函数〃无)=1在R上单调递减，则。的取值范围是

-----ln(x+l),x>0

lex

()

A.(-8,0]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[1,+<»)

5.(24-25高三上•山东聊城•期中)设/\x)=无"：’，若/(T)为〃X)的最小值，则实数。的取

Ie—x+a,x>-1.

值范围是()

A.[0,1]B.[。，2]C.[0,3]D.[-1,0]

e~x,x<2,

6.(2024•新疆•模拟预测)已知函数/(x)=«/、/、2存在最小值，则实数。的取值范围是

(x-l)(x-2)+a,x>2

()

A.(-00,-e2]B.(-e2,+oo)C.(-00,e-2]D.(e-2,+oo)

21

x+x,-2VxW一

4

7.(23-24高二下•湖南•阶段练习)已知函数/("=<,若/(x)的值域是[-2,2],则C的值

log^,—<x<c

24

为(

A.2B.2V2C.4D.8

c（、fx+2,xW—1/、

8.（24-25高三上•山东枣庄•阶段练习）（多选）已知函数无）=2।.，则下列关于函数/'（X）的结

论正确的是（）

A./（/（-1））=1B.若〃x）=3,贝ijx的值是G

C./（同<1的解集为（-叫1）D./（x）的值域为（-%4）

9.（24-25高三上•上海•期中）己知函数丁=/0）,其中/+3对任意的X],x2eR,且

[x>0

再力迎，总满足不等关系/（%）一/（%）>0,则实数。的取值范围是______.

X]-x2

/、ax2—2x,x>l,

10.（2024高三・全国・专题练习）若函数〃x=/。、:〃在R上是增函数，则实数。的取值范围

（8-a）x+2,x<1

为.

f（6Z-l）x+5,xe（-a?,2）

11.（2024・山东•一模）已知a>0且"1,若函数/（'）=1"、在（-叫+8）上具有单调性，

[a,xe[2,+a）

则实数。的取值范围是.

题型二：函数与方程

易错点04：忽略函数零点存在定理的条件

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•陕西西安•阶段练习）若函数/（X）在（-2025,2025）上的图象是一条连续不断的曲线，

且函数/（x）在（-2025,2025）内仅有一个零点，则〃-2025>/（2025）的符号是（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】D

【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.

【详解】因为函数/（尤）在（-2025,2025）上的图象是一条连续不断的曲线，

且函数在（-2025,2025）内仅有一个零点，

若函数”X）在（-2025,2025）上单调，则f（-2025）•/（2025）<0；

不妨取〃x)=/,则函数/(x)在(-2025,2025)只有唯一的零点尤=0,但/(-2025〉”2025)>0；

取〃x)=x(x-2025),则函数〃x)在(-2025,2025)只有唯一的零点x=0,但〃-2025)•42025)=0.

因此，/(-2025卜〃2025)的符号不能确定.

故选：D.

【易错剖析】

本题

【避错攻略】

1.函数的零点

对于一般函数y=/(x),我们把使正)=0的实数无叫做函数了=段)的零点.

2.方程、函数、图象之间的关系

方程启)=0有实数解<=>函数>=加)有零点Q函数>=加)的图象与x轴有公共点.

3.函数零点存在定理

如果函数尸危)在区间⑷6］上的图象是一条连续不断—的曲线，且有人初电)<0,那么，函数尸於)

在区间(。，6)内至少有一个零点，即存在ce(a,b),使得人c)=0,这个c也就是方程｛x)=0的解.

【解读】零点存在定理的适用条件：①函数人x)在区间口，可上的图象是一条连续不断的曲线；

②X。)负6)<0.此判断方法只能判断出零点的存在性，而不能判断出有多少个零点.该判断零点存在与否的方

法并不是对所有函数零点的判断都适用.只有当函数图象“穿过”X轴时，这种方法才能奏效.

4.求函数y=/(x)的零点的方法

(1)代数法：根据零点的定义，解方程<x)=0,它的实数解就是函数了=/)的零点.

(2)几何法：若方程兀0=0无法求解，可以根据函数y=/(x)的性质及图象和零点存在定理求出零点.

(3)交点法：欲求｛x)—g(x)=0的零点，可以转化为求方程负x)=g(x)的解，可在同一坐标系中画出｛x),

g(x)的图象，其交点的横坐标即为")一g(x)=0的零点，交点的个数对应零点的个数.

易错提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：(1)函数y=/(x)在⑷切上连续；(2)满足

/(«)/(/))<0；(3)在他力)内存在零点.，上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解.

另外需注意的是：①若函数/(X)的图像在X=M处与X轴相切，则零点X。通常称为不变号零点.②函数的零

点不是点，它是函数/(X)与X轴交点的横坐标，是方程/(x)=o的根.

举一反三

1.(24-25山东潍坊期中)己知函数”X)在区间［1,4］上的图象是连续不断的，设?：/(1)/(4)<0,q：f(x)

在区间（1,4）中至少有一个零点，则?是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高三上•湖北•期中）己知函数=-,那么在下列区间中含有函数/（x）零点的是（)

A.臼B,导]C[h]D.（1,4）

3.（2024•江西新余•模拟预测）关于x的方程：2,-的实根分布在区间（）内.

A.（0.5,1）B.（1,1.5）C.（1.5,2）D.（2,2.5）

易错题通关

I.（24-25高三上・辽宁•期中）>3”是“函数〃X）=G+3在区间（-1,2）内存在零点，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

3.（24-25高三上・江苏扬州•期中）若函数/（x）在区间可上的图象是一条不间断的曲线，则

“/⑷/㈤<0”是“函数尸在区间（0力）上有零点，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高一上•山东荷泽•期中）若函数/（x）=d+ax2+6x+c有三个零点-1,1,尤°,若ce（2,3）,则零

点七所在区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

4.（24-25高一上•北京延庆•期中）己知函数/■（幻=/+°1+2有两个零点，在区间（-1,2）上是单调的，且在

该区间中有且只有一个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（—00,—2匹）52五,+oo）B.（-8,-3）53,+8）

C.（-00,-4]u（3,+00）D.（-00,-4]U[2,+℃）

5.（24-25高三上•陕西咸阳•期中）已知函数/（x）=sin（s+°）,则“/⑴/（2"0”是“函数〃x）在区间（1,2）

上没有零点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.(24-25高三上•上海•期中)已知函数/(x)=lnx+Ax+6,则“上+6>0”是“函数有零点”的()条

件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.不充分也不必要

7.(2022浙江杭州•一模)设“无)=e，+hu,满足/(a)〃6)/(c)<0(0<a<6<c).若函数f(x)存在零点

x0,贝()

A.x0<aB.x0>aC.x0<cD.x0>c

8.(2024高三・全国・专题练习)若函数〃x)=ln无-工+a在区间(l,e)上存在零点，则实数a的取值范围为

()

A.(0,1)B.[-,1]

e

C.(--1,1)D.(1,—+1)

ee

9.(24-25高三上•广东•阶段练习)函数/(x)=|cosx|一百sin(2x-与在[0,孚]上的零点个数为()

66

A.3B.4C.5D.6

10.(2024高三・全国・专题练习)(多选)下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是()

A./(X)=X2_2X-8B./(x)=(x+l)^-2

C./(x)=2'-1-lD./(x)=l-ln(x+2)

易错点06:二次函数的零点分布问题讨论不全

易错陷阱与避错攻略

典例3.(23-24高三上•江西赣州•阶段练习)函数〃幻=/-2心+9的两个不同的零点均大于1的一个充

分不必要条件是()

A.me(2,5)B.me(3,5)

C.me(3,4)D.me(3,+oo)

【答案】C

【分析】利用零点分布规律求出加的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得.

A=4m2-36>0

【详解】由函数〃尤)=/-2妙+9的两个不同的零点均大于1,得”>1,解得3<加<5,

/(l)=10-2m>0

因此所求充分不必要条件是(3,5)的非空真子集，ABD不满足，C满足.

故选：C

【易错剖析】

本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.

【避错攻略】

一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个

数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解，一元二次方程根的分布问题主要有以下类型：

1.一元二次方程根的0分布

方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零

大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

2.一元二次方程根的k分布

两根都小于A即两根都大于A即一根小于左，一大于A即

分布情况

x1<k,x2<kxx>k.x2>kX]<k<x2

y八y卜

<L

大致图象(。>0)

)w*

A>0A>0

b7

得出的结论<-----<k-^>k

2a2a

八k)>0/⑻>0

*b

JJ

大致图象(<2<0)0.

A>0A>0

b7

得出的结论-----<k-旦〉kf(k)>0

2a2a

/⑻<0/㈤<0

A>0A>0

综合结论b.b7

«-----<k<----->ka-f(k)<0

（不讨论Q）2a2a

a-0aJ(k)>Q

3.一元二次方程根在区间的分布

两根仅有一根在（加,〃）内（

一根在（私〃）内，另一根在（"应）

两根都在）内

分布情况图象有两种情况，只画了

内，m<n<p<q

一种）

yi

大致图象（

\L\/

Q>0）一

\Jr

\m/n

1mnx）m\np/qx

A>0/(w)>0

/(加)〉o〃")<°或,7(机)/(〃)<o

•

得出的结论〃p)<o

b

m<-----<n/⑷>0