函数及其性质（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习提升

热点03函数及其性质

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第4题，考察函数的概念与指对幕化简

2022年，第11题，考察函数的定义域

2022年，第14题，考察分段函数的最值函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数

2023年，第4题，考察函数单调性的判断及其性质依旧是重点关注方向，主要是选择填空题为

2023年，第11题，考察函数值与指对幕运算主

2023年，第15题，考察分段函数与平面解析几何

2024年，第9题，考察函数的单调性与基本不等式

热点题型解读

题型1函数的定义域

(1)求具体函数定义域的几种类型：①若/(”是整式，则函数的定义域是R.

②若/(x)是分式，则应考虑使分母不为零；③若/(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

④若/(X)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；

(2)抽象函数的定义域的求法：

①已知/(x)的定义域，求/[g(x)]的定义域：若/(x)的定义域为以㈤，则/[g(x)]中

I______________________________________________________________________________________

a<g(x)<bt从中解得x的取值集合即为/[g(x)]的定义域；

②已知/[g(x)]的定义域，求/(x)的定义域：若/[g(x)]的定义域为,即aWxWb,求得g(R

：的取值范围，g(x)的值域即为/(x)的定义域.■

I.(2024•北京通州•二模)已知函数〃x)=/+lg(x-2)的定义域为-

【答案】{#>2}

fx>0

【详解】根据题意可得°C，解得X>2

故定义域为。k>2}.

故答案为：{x\x>2]

2.(2024•北京西城・二模)函数/(x)=Jl+lo/x的定义域是.

【答案】《，+8)

【详解】函数〃x)=Jl+logjX的定义域是:

fl+log,x>01

3，解得：

[x>0n3

故答案为：[g，+8).

3.(2024•吉林延边•模拟预测)已知函数夕=/(》+1)的定义域是[-2,刃，则y=/(x-l)的定义域是

【答案】[0,5]

【详解】由函数y=〃x+l)的定义域是[-2,3],得一24x43,M-1<x+1<4,

由-lWx-144,解得04xW5,

所以，=/(x-l)的定义域是[0,5].

故答案为：⑼5]

1.i-9

4.(2024•北京怀柔•模拟预测)函数/(x)=lg=二r的定义域是.

【答案】(F,-；)U(0,+8)

【详解】函数/'(x)=lg匕三有意义，则上F>0OX(2X+1)>0,解得x<-g或X>0,

所以函数〃x)=lg匕产的定义域是(-8「g)U(0,+8).

故答案为：(-*-g)U(0,+«5)

5.(2023•北京延庆•一模)已知函数y=Jax+1的定义域为A,且-3e/,则。的取值范围是.

【答案】［*；

【详解】由一可知一3々+120,

解得4"§，

故答案为：16,1.

题型2求函数的最值或值域

一立一

（1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

（2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为"反比例函数类"的形式，便于求

值域

（3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.

1.（20234京施赳一般若函莪/1（乃=.-°卜1而值金由二+8）,危薪.访一个最寇可H/.

【答案】1

【详解】如果a«0,〃力=|2，一4一1=2，一°一1,其值域为（一。-1,+⑹，

-a-12-1,不符合题意；

如果a>0,当x=log2a时，2X-a=0,

|2A-a|就是把函数x<log2a的部分以x轴为对称轴翻折上去，

.♦.此时忙-a|的最小值为0,“力=|2，-4-1的最小值为一1,值域为卜1,+8）,

所以ae（0,+co）,不妨取0=1；

故答案为：1.

2.（2023•北京海淀•模拟预测）若函数〃x）=M的定义域是［0,+功，则〃x）的值域是.

【答案】［T#

—

--Ir(\X-}X+122

【详解AT1】由〃力—

12

当xNO时，x+l>l,所以0<——<1,贝IJ—2«-----<0

x+lX+1

所以T<1-^O-<1,即/（x）=Y=-■］（》>0）的值域为卜”）

X十1X十1

故答案为：

3.（2023•北京通州•一模）下列函数中，是偶函数且值域为［0,+8）的是（）.

A./(x)=x2-1B.f(x)=

C./(x)=log2xD./(x)=|x|

【答案】D

【详解】对A,/(x)=x2-l>-l,即值域为卜1,+8),故A错误；

对B,/(x)=3的定义域为[0,+s),定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；

对C,/(耳=1。82》的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误；

对D,〃x)=|x|的定义域为R,/(-x)=|x|=/(%),故〃x)是偶函数，且/(力=120,即值域为

[0,+co),故D正确.

故选：D.

4.(2024・北京怀柔•模拟预测)已知函数了仁人亲不，则对任意实数x,函数/(x)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

2(21)2

【详解】依题意，/M=X7~=2一一L,

V72X2+12X2+1

22

显然2》2+启1,则0<L^W2,于是042-L^<2,

2X2+12X2+1

所以函数的值域是[0,2).

故选：C

5.(2020•北京通州•一模)给出下列四个函数：①y=/+l；®y=\x+l\+\x+2\.③>=2，+1；

④y=/+cosx,其中值域为[1,+8)的函数的序号是.

【答案】①②④

【详解】①:/WO,.占+121,故函数>=*+1的值域为口,+8),符合题意；

②y=卜+1|+卜+2隹卜+1)-(x+2)|=l,故函数y=|x+l|+|x+2|的值域为口,+8),符合题意；

③2*+1>1，故函数y=2'+l的值域为。,+8),不合题意；

④函数〃x)=x2+cosx为偶函数，

且/'(x)=2x-sinx,/,,(x)=2-cosx>0,故y=7'(x)在R上单调递增，

又/'(0)=0,故当xe(0,+8)时，/,(x)>/'(0)=0,函数y=〃x)单调递增；

则当xe(ro,0)时,/,(x)</,(0)=0,函数y=/(x)单调递减,

又"0)=1,故函数〉=Y+cosx的值域为[1,+8),符合题意.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数的值域，在解题的过程中，注意结合基

本初等函数的值域以及借助导数研究函数的值域，属于中等题目.

题型3分段函数问题

1立T

!

已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将脱掉，转化为关于自变量的方程

求解

y2_1x<0

{早Q0，若/(加)=8,则加=.

【答案】-3或;3

【详解】因为=工：；°旦/(加)"，

时_1=8(4m=8

所以{八或IC，

[m<0[m>0

,3

解得加=—3或加=,.

3

故答案为：-3或5

f+[x<]

2.(2024•北京朝阳•二模)已知函数/(6=-'一，，存在最小值，则实数0的取值范围是()

[2-a,x>l

A.(-℃,!]B.(-℃,1)C.[l,+8)D.(1,+℃)

【答案】A

【详解】当xWl时,f(x)=x2+l,

所以/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0』上单调递增，则/(x)1nhi=/(0)=1,

当x>l时，f(x)=T-a,所以〃x)在(1,+⑹上单调递增，无最小值，

根据题意，/(x)存在最小值，

所以2-a21,即aW1.

故选：A.

,、x2+x,-2<x<0,、

3.(2024•北京西城•一模)已知函数〃无)=厂，若/(x)存在最小值，贝ijc的最大值为()

-y/x,0<x<c

【答案】A

2

【详解】当一2<x<0时，/(X)=x+x=^+^—故当x=-；时，/(x)有最小值为一;；

0<x<c时，八>)=-6单调递减，所以-五</(x)40,

由题意“X)存在最小值，则-五2一，解得0<cV5，即C的最大值为工

41616

故选：A

logj(l-x),-l<x<n

4.(2024•北京通州•三模)已知函数〃x)=2的值域是[-1J,若，，则优的取值

22-IT-'I-3,n<x<m一

范围是.

【答案】[1,2]

【详解】当x>l时，x-l>0,此时7=22*”-3=22-加-3=23-，-3单调递减，

当T<x<l时，x-l<0,止匕时7=22#-4-3=22+，一一3=25一3单调递增，

所以y=22*"-3在(-U)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

所以当x=l时，y=22-4-3取得最大值，为2=3=1,

作出夕=log,(1-x)与了=22Tl-3在[-1,+8)上的图象如图所示:

2

当力€[0,1)，xe[-l,n]0t,1-XE[1-H,2],此时/'㈤=log,。-x)e[Tlogdl-叫，

222

此时T&f(x)<log,(1一〃)<1,

2

因为“X)的值域为[-1,1],则xe(〃,利时,/(x)=l必有解，即22Tl一3=1,解得X=l,由图知me[l,2],

故答案为：口,2]

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解

题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.

中|<1,则了出

5.(2024•北京东城•二模)设函数/(x)=<,不等式〃x)</(2x)的解集

尤;国>1

是.

1og+oo

【答案】1-co--

2

【详解】由题意可知：f/Qj=/(l)=l；

因为/(%)</(2x),

当|2司<1,即一g<x<g时，则同<g<l,可得1<1,不合题意；

［2x1>1(1］「1、，、2

当［‘I,即xe「l,一〃。匕口时，可得1<(24，

解得x>；或x<-；，所以

当国21,即x21或xV-l时，则|2耳=2国22>1,可得x2<(2x)2=4d,符合题意；

综上所述：不等式/(x)</(2x)的解集是(一叫一

故答案为：1;1“'-gU'+e］

题型4函数的单调性

!00❽式

已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函

।

数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围.

J--_■―-_■_■_.|_-_■-_■_(■■_■|b・■_——!-_■IM■一■―-_>■_一■■■

1.(2024•北京西城•三模)已知函数［(x)=2，，若X/Xi./eR,且占<工2，则下面结论错误的是()

(I</(4)+/(<2)

A./(西)</(无2)I2)2

C.f(xxx2)=f(xi)+f(x2)D,f(xx+x2)=/(X1)/(x2)

【答案】C

【详解】由指数函数的单调性可知“X)在R上单调递增，

又玉<龙2，所以/(再)</。2),故A正确；

因为2%>0,2%>0,

所以/(芭)+/口2)=2为+2*"2*、.2*2=2学=/{^^

又占<七，所以上式取不到等号，所以詈;故B正确；

f^x2)=,/(%,)+/(%)=2』+2%,

Vxj,x2eR,再<々，/■(占马)2/(%)+/区)，故C错误；

/(演+%)=2Q也,/(占)/。2)=2%•2工2=2»力=/&+%),故D正确.

故选：C.

x-l,x<0

2.(2024•北京顺义・二模)若函数〃x)=，0,x=0,则“再+迎>0”是“〃龙1)+〃尤2)>0”的()

x+l,x>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】由题意可知：/(x)的定义域为R,且/(。)=0,

若x>0,则一x<0,可知/(x)+/(-x)=(x+l)+(-x-l)=0,

若x<0,同理可得〃x)+〃-x)=0,所以〃龙)为奇函数，

作出函数〃x)的图象，如图所示，

由图象可知/(x)在R上单调递增，

若占+%>0,等价于再>f,等价于〃%)>/(-％)=-/(3),等价于〃xJ+〃X2)>0,

所以“再+%>0”是“/(%)+/(无2)>0”的充要条件.

故选：C.

3.(2023•北京朝阳•二模)已知aeR,则“a=0”是“函数〃x)=|x-a|在区间(0,+功上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

一［x.x>0

【详解】当。=0时，〃x)=x=c，显然在(0,+功上单调递增，充分性成立；

11l-x,x<0

I।IX+1,x—1

而〃x)=k+l|=|在区间(o,+功上单调递增，此时。=-1,必要性不成立；

所以“4=0”是“函数/⑴=|X-〃|在区间(0,+co)上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A

4.(2023•北京通州•三模)设。=ln0.2,6=0.2，,c=e02,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【详解】因为y=lnx在(0,+s)上单调递增，且!<0,2<1，

ee

所以ln4<ln0.2<ln1，化简得一2<。<一1；

ee

因为y=02，在R上单调递减，且2<e<3,

所以0.23<0.2,<0.22,化简得0.008<><0.04；

因为y=e"在R上单调递增，且0<0.2<1,

所以e°<e°-2<e1化简得l<c<e；

综上，可知a<6<c.

故选：A

5.(2024•北京朝阳•一模)已知aeR,则“0<a<1”是“函数/(x)=。-4)无⑶在R上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】对于函数/(x)=(l-

当a=l时，/(%)=0,为常数函数，

当。>1时，函数/(x)=(l-a)x3在R上单调递减，

当a<l时，l-a>0,函数/(x)=0-a)无3在R上单调递增，

所以"0<a<1”是“函数/⑴=(1-a］在R上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A.

题型5函数的奇偶性

■■■■■■■■■■■

匕

!00目雹

(i)判断奇偶的方法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是

否满足/(-x)=-/(X)或/(-x)+/(x)=O,若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函

i数；；

(2)利用奇偶性求参数的2种类型：

II

①定义域含参数：奇偶函数/(X)的定义域为[a，6],根据定义域关于原点对称，利用。+6=0求参数.

II

②根据/(f)=-/(%)或/(f)=/⑺列式，比较系数利用待定系数法求解.

I_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

'3\x<0,

1.(2024•北京海淀•二模)函数/(》)=门丫是()

II拼"。

A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点

C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点

【答案】B

【详解】当x40时，T>0,则/(一x)=(；尸=3'=〃x),

当x>0时，一x<0,贝IJ〃-x)=3f=d『=/(x),

2.(2023•北京丰台•一模)已知“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,则/(-2)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【详解】因为“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,

所以〃-2)=-/(2)=7og22=-l.

故选：A

3.(2023高三•北京海淀•专题练习)函数/(工)=35(%+4)+5由(％+6),则()

A.若a+6=。，则/(x)为奇函数B.若。+6=',则/(x)为偶函数

C.若b-a=5,则〃x)为偶函数D.若"6=兀，则/(x)为奇函数

【答案】B

【详解】/(%)的定义域为R,

对A：若Q+6=0,/(x)=cos(x+«)+sin(x-6z),若/(x)为奇函数，贝4/⑼=0,而/⑼=cosq-sina=0

不恒成立，故/(x)不是奇函数；

=COS(X+Q)+COS(X-Q),

/(-x)=cos(-x+di)+cos(-x-^)=cos(x-^)+cos(x+tz)=/(x),故/(x)为偶函数，B正确;

71

X+—+6Z=2cos(x+a),/(-X)=2COS(-X+Q)W/(X),故/(%)

不是偶函数，故C错误；

对D：若1一6=兀，/(x)=cos(x+6+7i)+sin(x+b)=—cos(x+6)+sin(x+b),

若〃无)为奇函数，则〃0)=0,而〃0)=-cos6+sin6=0不恒成立，故〃x)不是奇函数；

故选：B

4.(2023•北京•模拟预测)下列函数中为偶函数的是()

A.y=|lnx|B.y=e-xC.y=xsinxD.y=xcosx

【答案】C

【详解】A：由函数定义域为xe(0,+s),不关于原点对称，不可能为偶函数；

B：由e9)=e、士尸,故歹=尸不为偶函数；

C：(-x)sin(-x)=xsinx且定义域为R,故〉=xsinx为偶函数；

D：(-x)cos(-x)=-xcosx且定义域为R,故了=》<：05%为奇函数.

故选：C

2

5.(2023•北京昌平•二模)已知函数〃x)为奇函数，且当x>0时，f(x)^x2--,则〃-1)=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

2

【详解】已知函数〃x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2--,

则/(T)=-/⑴=-(1-2)=1.

故选：A.

题型6单调性，奇偶性的结合

00

奇偶性与单调性解不等式:

।________________________

①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为/（为）＜/（%）或/（为）＞/（》2）的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的转化

II

为简单不等式求解.

I__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

-4+3,则不等式/（1a）＞3的解集为（

1.（2023•北京西城•模拟预测）已知函数/（x）=log2)

A.1:,可B.

C.（1,10）D.马队⑼

【答案】D

【详解】由啊":得"0,即函数/（尤）的定义域为（-8,O）U（O,+8）.

x

g+3=/(x),

因为/(f)=10g2F¥+3=10g2

所以/⑴为（-8,0）U（0,+8）上的偶函数,

当%>0时，f(x)=log-T+3，

X

因为函数7=^+1在（0,+8）上单调递减，所以＞=10g2，1+1在（0,+动上单调递减,

XX

£+3都是在（。,+⑹上单调递减,

又〉=

根据单调性的性质，可知函数/（无）在（0,+8）上单调递减,

又因为函数/（X）为偶函数，所以函数/（X）在（-00,0）上单调递增,

又/⑴=3,所以〃续）＞3=/⑴,可得|1谢＜|1|=1,

所以且IgxwO,解得3＜x＜l或l＜x＜10,

所以不等式/（赎）＞3的解集为（'JU。』。）.

故选：D

2.（2023•北京丰台•二模）已知偶函数/（x）在区间［0,+8）上单调递减.若〃lgx）＞〃l）,则x的取值范围

是（）

C-曲。］D.叫卜（1。,+功

【答案】C

【详解】解：偶函数/（无）在区间［0,+8）上单调递减，所以/（X）在区间（-8,0］上单调递增；

则〃lgx）>/⑴等价于|lgx|<1,即-1<Igx<1,

即lg：<lgx<lglO,解得右x<10,即原不等式的解集为io］；

故选：C

3.（2024•北京•模拟预测）函数=记•==/（3心）,0=/1085£|,则（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【详解】注意到〃x）定义域为全体实数，且/（-工）=（_，+1=/3=",

所以/（X）是R上的偶函数，

lo2

从而。==小叫g］=/（g5），

因为y=/+1在（0,+8）上单调递增，

所以〃x）=£T关于x在（6+8）上单调递减，

而抽2<皿5；=；</半=37,

所以b<a<c.

故选：B.

4.（2023-23高三•河北邯郸•期中）设〃x）为定义在R上的偶函数，且/（x）在乩+⑹上为增函数，则

-2）、/（-兀卜〃3）的大小顺序为（）

A./（-K）</（-2）</（3）B./（-2）</（3）</（-7i）

C./（-TI）</（3）</（-2）D./（3）</（-2）</（-^）

【答案】B

【详解】因为/（x）为定义在R上的偶函数，

所以/（一2）=/⑵,/（甸=/（兀）,

又因为/（x）在［0,+功上为增函数，2<3<7t,

所以/(2)</(3)</(功,gp/(-2)</(3)</(-7T).

故选：B.

5.(2023•北京•模拟预测)设函数〃x)=2|xT+log3(x-l)2,不等式/(办)4/(尤+3)在xe(l,2]上恒成立,

则实数。的取值范围是()

A.B.(-«>,2]

「，5]「35-

C.-1,—D.U1,—

L2jL22；L2j

【答案】D

【详解】解：设g(x)=/(x+l),即g(x-l)=/(x),

因为/(x)=21尤-1+logs(x-I)2,

所以/(上2卜-1|+210g3卜-1|,

所以g(x)=2|x|+210g3MxwO,

由g(-尤)=2|-x|+21og3|-尤|=g(x),

所以函数>=g(x)为偶函数，

当x>0时，g(x)=2x+2k)g3x为单调递增函数，

当x<0时，y=g(x)为单调递减函数，

因为f(")</(x+3)在xe(l,2]上恒成立,

所以g(办T)4g(x+2),

|ajc-l|<|x+2|

根据函数g(x)的奇偶性与单调性得，<办-120,

x+2w0

又因为xe(l,2],

以—x—24ax—1Kx+2,

13

即一1——<a<l+~,

xx

即1-1—|11+—|,

\XJmax\Mmin

又因为函数>=-1-'在、£(1,2]上单调递增,

x

3

所以当、=2时，|-1--

xmax2

7

又因为函数＞=1+三在xe(l,2］上单调递减,

35

所以

22

又xe(l,2］时，ax-1^0,所以。£

「

所以实数0的取值范围是卜-天31拜1［1，55

故选：D.

题型7函数的周期及类周期

函数周期的常用结论：①若〃x+a)=〃x),则7=。；②若小+。)=小-。)

,则7=2。；

③若/(x+a)=—/(x),贝UT=2a;④若/(》+。)=,则T=2a;

⑤若/(x+a)=/(x+6),则7=卜一回gb、;

1.(2024•陕西•一模)己知定义在R上的函数“X)满足〃x+3)=-〃x),且/(—1)=2,则/(2024)=

()

A.-4B.-2C.4D.2

【答案】B

【详解】因为〃x+3)=-/(x)且/(—1)=2,可得/⑵=-/(-1)=-2,

由/(x+3)=-/(%),可得〃x+6)=-/(x+3)=〃x),

所以函数〃无)的一个周期为6,贝厅(2024)=〃6x337+2)=〃2)=-2.

故选：B.

2.(2023•福建宁德•模拟预测)已知〃x)是定义在R上且周期为2的函数，当xe［Tl)时,

—2x~+4,—14x<0

sinTtr,0<x<1

A.—B.D.也

2

【答案】D

【详解】由题意：/(3)=/(3-4)=/(-1)=-2+4=2,

所以〃3"15=2义务技

故选：D

3.(2024・安徽芜湖•模拟预测)已知函数〃x)是定义在R上的偶函数，且〃x+4)=/(x),当2<x<4时,

f(x)=2x-2,则/(1)=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】C

【详解】由2cx<4时，函数〃x)=2i,可得〃3)=2,

因为函数〃x)是定义在R上的偶函数，且/(x+4)=/(x),

可得〃1)=〃T)=〃3)=2.

故选：C.

4.(202023-24高一下•安徽合肥•开学考试)设函数/⑴的定义域为凡满足〃x+l)=，且当xe(0,1]

Q

时，/(%)=%(%-1).若对任意工£[加,+8),都有-则加的最小值是()

4556

A.——B.——C.——D.——

3345

【答案】A

【详解】根据函数在(0,1]上的解析式，以及/(x+l)=g/(x),求出函数在(-1,0],(-2,-1]上的解析式，求出

满足题意的临界值即可.

"(x)=2/(x+l)

当xe(O,l]时，/(x)=x(x-l)e-；,0,

xe(-l,0]时，x+1e(0,1],/(x)=2/(x+l)=2(x+l)xe--^,0,

工£(一2,-1]时，x+1e(-1,0],f(x)=2/(x+1)=4(x+2)(x+1)G[-1,0],

将函数大致图象绘制如下:

Q

时，令4(x+2)(x+l)=_§,

54

解得：x1=--,x2=--,

Q

若对于任意xe|m,+co),都有/(x)N-§,

4

所以加

故选：A.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题.

5.(2023-24高一上•陕西咸阳•阶段练习)设函数/(x)的定义域是R,满足2/(x+l)=〃x),且当xe(0,l]

Q

时，/(x)=x(x-l).若对任意xe|m,+8),都有-则加的取值范围是()

7「5[「5]「4、

A.--,+ooIB.--,+ooIC.--,+ooID.--,+ooI

【答案】D

【详解】因为函数/(X)的定义域是R,满足2〃x+l)=〃x),则〃x+l)=g/(x),

且当xe(O,l]时，/(x)=x(x-l)=L-1^-1,0,

当xe(-l,0]时，0<x+l<l,贝=2/(x+l)e-g,0

当xe(-2,-l]时,-l<x+l<0,则/(x)=2/(x+l)w[T,0],

且当工£(-2,-1]时，0<x+2<l,

则/(x)=2/(x+l)="(x+2)=4(x+2)(x+l),

245

令/(x)=4(x+l)(x+2)=—解得x=—g或％=—如下图所示:

QA

因为对任意xe卜％+°°),都有/由图可知，加

因此，实数加的取值范围是-g，+s]

故选：D.

题型8函数的对称性

(1)对称轴：①函数"X)对于定义域内任意实数X满足/(a+x)=〃6-x),则函数“X)关于直线

》=答对称，特别地当〃x)=〃2"x)时，函数〃x)关于直线x=。对称；

②若/(x+。)是偶函数，则/⑴关于直线*="寸称；

(2)对称中心：①对任意》,都有/(a+x)+〃a-x)=2J则点(。力)称为函数小)的中心；

②若/(x+a)是奇函数，则/(x)关于直线(。，0)对称

i_________________________________________________________________________________________________

1.(2024・北京•模拟预测)定义在R上的函数/(x)满足：/(-l+x)-/(-l-x)=0,且

/(l+x)+/(l-x)=0,当时,f(x)=ax-2,则〃x)的最小值为()

A.-6B.—4C.-3D.—2

【答案】B

【详解】由〃T+x)-/(T一x)=0可得”-1+x)="-1一x),

即/(无)关于》=-1对称，即〃x)=/(-2-x),

由f(l+x)+/(l-x)=0可得/(x)关于(1,0)对称,

即/(尤)=-/(2—“),所以/(一2-x)=-〃2-x),

令-2-x=t,则x=-2-/,代入可得/'(。=-/'(4+。，

BP/(x)=-/(4+x),则〃x+8)=-〃x+4)=/(x),

所以/(x)的周期为8,

由/(x)是定义在R上的函数，且/(x)关于(1,0)对称，

可得/(1)=0,又当时，/(X)=G-2,

即/(l)=a-2=0,所以a=2,

当时，/(x)e[-4,0],

且/(x)关于x=-l对称，则xe[-3,-l]时,/(x)e[-4,0],

又/(x)关于。,0)对称,则xe[l,5]时,/(x)e[0,4],

即f(x)在一个周期内的值域为[-4,4],

则/'(x)的最小值为-4.

故选：B

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

(1)若〃x+a)+〃-x+6)=c,则函数关于(皇,•!)中心对称;

(2)若/(x+a)=/(-x+6),则函数/(x)关于》=巴乎对称；

(3)若/(x+a)=f(x-a),则函数/(x)的周期为2a；

(4)若〃无+。)=-〃x),则函数的周期为2a.

2.(2023•北京大兴・三模)已知函数〃x)对任意xeR都有"x+2)=-〃力，且〃-x)=-/(x)，当xe(-1,1]

时，〃x)=x3.则下列结论正确的是()

A.函数＞=/(》)的图象关于点住,0)(£eZ)对称

B.函数V=〃x)的图象关于直线工=2左(hZ)对称

C.当xe[2,3]时，/(x)=(x-2)3

D.函数＞=|/(刈的最小正周期为2

【答案】D

【详解】因为〃x+2)=-〃x),所以/@)=一/(无一2),故f(x+2)=〃x-2),

所以/(x)的周期为4,

又/(-x)=-/(x)，所以/(f)=/(x-2),故“X)关于x=_l对称,

又时，/(x)=x3,故画出〃x)的图象如下：

A选项，函数V=/(x)的图象关于点(1,0)不中心对称，故A错误；

B选项，函数y=/(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误；

C选项，当xe[2,3]时，x-2e[0,l],则〃x)=-〃x-2)=-@-2丫，C错误;

D选项，由图象可知丁=/(x)的最小正周期为4,

又,(x+2)卜卜=故y=|〃x)|的最小正周期为2,D正确.

故选：D

3.(2023•北京昌平•二模)对于两个实数。力，设min{a,b}=，；：[，则)=1”是“函数〃x)=min{|x|,|xM}

的图象关于直线x=；对称”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数＞=国与了=卜-4的图象,

殊

则函数=的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分,

根据图象令x=-x+f,解得x=；,

分析可得其图象关于直线x=；对称，

要使函数/(x)=min{|x|,|x-班的图象关于直线x=；对称，贝"的值为f=1,

当f=l时，函数"x)=min{W，|xT|}的图象关于直线x=g对称，

所以)=1，，是，函数〃x)=min{|x|,|x-t\]的图象关于直线x=1对称”的充分必要条件.

故选：C

4.(2024・河南•模拟预测)函数/V)=lg(叱石石T+x-1)图象的对称中心是(

A.(M)B.[13C.(2,1)D.(2』

【答案】B

【详解】易知/(X)=lgQ(iy+10+X-1]的定义域为R,

所以可得〃2一x)=lgQ(1)，10+1j,

因此/(%)+/(2—x)=lg]不(1-x)+10+1—x]+lg]1)+10+x—11

=lg^P(x-l)2