第3届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分标准（数学类）

第三届中国大学生数学竞赛赛区赛试题参考答案(数学类,2011)一、(本题15分)已知四点A(1,2,7),B(4,3,3),(5,-1,6),(√7,√7,0).试求过这四点的球面方程.解答:设所求球面的球心为(,,),则即(-1)2+(-2)2+(-7)2=25.于是所求球面方程为(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=25.二、(本题10分)设f1,f2,...,fn为[0,1使得证明:记ak=fk(x)dx,∀k=1,2,...,n.下设ak>0(∀k=1,2,...,n).我们有2三、(本题15分)设Fn是数域F上的n维列空间,σ:Fn→Fn是一个线n(F),σ(AQ)=Aσ(Q),(∀Q∈V),证明:σ=λ·idFn,其中λ是F中某个数,idFn表示恒同变换.n(F),σ(AQ)=Aσ(Q),∀Q∈Fn,有B得bij=0,∀ij.又取A=In−Eii−Ejj+Eij+Eji,这里Est是(st)−位置为1其它位置为0的矩阵.则由AB=BA可得aii=ajj,(∀i,j).取λ=a11.故第4页(共13页)四、(本题10分)对于∆ABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为(A,B,C)∈D≡{(Q,β,√)|Q+β+√=π,Q>0,β>0,√>0}.我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包E={(Q,β,√)|Q+β+√=π,Q≥0,β≥0,√≥0}我们有考虑+18sinC,0≤C≤π.f(C)≥f(π−C),直接计算得计算得f′(C)=0等价于(8cosC−1)(27cos2C+32cosC+4)=0.于是另一方面,不难看到3sinA+4sinB+18sinC在E的边界上(A,B,C之一为零)五、(本题15分)对于任何实数Q,求证存在取值于{−1,1}的数列{an}n≥1满足从而于是当n≥2时,不管我们怎么选取只取值±1的数列{an}n≥1,均有可以有很多种方法选取只取值±1的数列{an}n≥1使得此时就成立例如,我们可以按以下方式选取:取a1=1,依次定义an+1=记n=1,2,....我们有−√n≤yn≤√n.若yn>2Q,我们有这时而当yn<2Q时,我们有这时于是当yn+1−2Q和yn−2Q同号时,而当yn+1−2Q和yn−2Q异号时,一般地有注意到对任何N>0,总有m≥N,使得ym+1−2Q和ym−2Q异号.由上面的讨论可得到∀k=m+1,m+2,....2六、(本题20分)设A是数域F上的n阶方阵.证明:A相似于其中B是可逆矩阵,C是幂零阵,即存在m使得Cm=0.证明:设V是F上n维线性空间,σ是V上线性变换,它在V的一组基下的矩阵为A.下面证明存在σ−不变子空间V1,V2满足V=V1⊕V2,且σ|V1是同构，V2是幂零变换.k使得Kerσm=Kerσm+i,(i=1,2,···).进而有Kerσm=Kerσ2m.(7分)下面证明V=Kerσm⊕Imσm.m∩Imσm,由Q∈Imσm,存在β∈V,使得Q=σm(β).由此0=σm(Q)=σ2m(β),所以β∈Kerσ2m,从而β∈Kerσm=Kerσ2m.故Q=σm(β)=0.Kerσm∩Imσm=(0),从而V=Kerσm⊕Imσm.(12分)由σ(Kerσm)⊆Kerσm，σ(Imσm)⊆Imσm知Kerσm,Imσm是σ−不变子空间.又由σm(Kerσm)=(0)知σ|Kerσm是幂零变换.由σ(Imσm)=Imσm知t，合并成V阵,从而可逆;C是σ|V2在基β1,···,βt下的矩阵,是幂零矩阵.从而A相似于==============================================注：如果视F为复数域直接用若当标准型证明,证明正确可以给10分：存在可逆矩阵P,使得P−1AP=diag(J(λ1,n1),···,J(λs,ns),J(0,m1),···,J(0,mt)),其中J(λi,ni)是特征值为λi的阶为ni的若当块，λi0;J(0,mj)特征值为0的令B=diag(J(λ1,n1),···,J(λs,ns)),C=diag(J(0,m1),···,J(0,mt)),则B为可逆矩阵,C为幂零矩阵,A相似于..........七、(本题15分)设F(x)是[0,+∞)上的单调递减函数,limF(x)=0,且x→+∞证明dt=0.证明:首先,对任何x∈R,不难由关于无穷积分收敛性的Dirichlet判别法得到F(t)sin(xt)dt收敛.下记f(x)=F(t)sin(xt)dt,∀x∈R.由于F单调下降,从而≥0.结合得这样,任取δ>0,有N>0使得当n>N时,有从而对任何m>0,n>N有上式中令由x得到0≤nF∀n>N.所以(9分)进一步利用单调性,当x>时,有其中[s]表示实数s的整数部分.于是可得