湖南省长沙市2024年中考数学试卷（含解析）

湖南省长沙市2024年中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的

选项•本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；

B、图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；

C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图

形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180。后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可

逐一判断得出答案.

2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门,

学习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（）

A.1.29xlOKB.12.9x10'C.1.29x10°D-129xl07

【答案】C

【解析】【解答】解：1290000000=1.29xl09.

故答案为：C.

【分析】把一个数表示成ax10"的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个

不是。的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②

小数点向左移动了几位，n就等于几.

3.“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表

面的最低温度是-180℃、最高温度是150℃,则它能够耐受的温差是（）

A.-I80CB.150,cc.30cD.330c

【答案】D

【解析】【解答】解：150-(-180)=330(℃)

故答案为：D.

【分析】根据有理数的减法用最高温度减去最低温度列式计算即可得出答案.

4.下列计算正确的是()

A-Xb-j-.v4=X2B.75I\/6=>/n

c.(X，)2=./D.(,v+y)2=X2+y2

【答案】A

【解析】【解答】解：A、所以A正确；

B、、肉和不是同类二次根式，不能合并，所以B不正确；

C,(x3)：=x6，所以C不正确；

D、(x+.vf=丁+20+):，所以D不正确.

故答案为：A.

【分析】根据同底数塞的除法可得出A正确；根据幕的乘方可得出C不正确；根据同类二次根式可得出

B不正确；根据完全平方公式，可得出D不正确，综上即可得出答案.

5.为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5,9.2,9.6,

9.4,9.5,8.8,9.4,则这组数据的中位数是()

A.9.2B.9.4C.9.5D.9.6

【答案】B

【解析】【解答】解：把这组数据(7个)按照从小到大的顺序重新排列为：8.8,9.2,9.4,9.4,9.5,

9.5,9.6,

,这组数据的中位数是9.4.

故答案为：B.

【分析】首先把收据按照从小到大的顺序重新排列，然后找到第4个数据也就是它们的中位数.

6.在平面直角坐标系中，将点P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点的坐标为()

A.(1.5)B.(5,5)C.(3,3)D.(3,7)

【答案】D

【解析】【解答】解：将点P（3,5）向上平移2个单位长度后得到点尸的坐标为（3,5+2）,即：（3,7）.

故答案为：D.

【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.

7.对于一次函数y=2x1,下列结论正确的是（）

A.它的图象与】,轴交于点（0,-1）

B.F随X的增大而减小

C.当时，）<0

2

D.它的图象经过第一、二、三象限

【答案】A

【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-l中x=0得y=-l,，y=2x-l与y轴的交点坐标为（0,-1）,所以

A正确；

B、因为2>0,所以y随x的增大而增大，所以B错误；

C、当x=—时，y=2义—1=0,所以当x>—时，y>0,所以C错误；

222

D、因为k=2>0,所以图象经过一三象限，因为-1<0,所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象

限，所以、D不正确.

故答案为：A.

【分析】首先令x=0,求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正

确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正

确，故而得出答案.

8.如图,在八1/“中，ABAC=60；Z5=50°,AD//BC，则N1的度数为（）

A.50B.60C.70D.80

【答案】c

【解析】【解答】解：在次,中，•••N8/IC=60",N8=50°，

；.ZC=70°,

VAD//BC,

.,,Z1=ZC=7O°.

故答案为：c.

【分析】首先根据三角形内角和定理求得/C=70。，再根据二直线平行，内错角相等，即可得出N1的度

数.

9.如图，在0。中，弦AB的长为8,圆心。到AB的距离0/T4，则。，。的半径长为()

【答案】B

【解析】【解答】V0E1AB,

AE=—Ji?=—x8=4,

22

V0E=4,

••0A=J-y/4'*4'=4x/2)

即0。的半径长为

故答案为：B.

【分析】首先根据垂径定理得出AE='V?4,然后再根据勾股定理得出OA的长度，也就是0。的半

径长。

10.如图，在菱形ABCD中，AB6.一830，点£是3(2边上的动点，连接AE,DE,过点乂作

于点尸•设Q/L，则「与X之间的函数解析式为(不考虑自变量X的取值范围)

()

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过点A作AGJ_BC,垂足为点G,

BEGC

•・,四边形ABCD是菱形，

.*.BC=AB=6,

VZAGB=90°,ZB=30°,

:.AG=一AB=3,

2

AS菱形ABCD二BCXAG=6X3=18,

VSAADE==Al）ACJ'B（9,

22

VAF1DE于点"，DEAF=y,

SAADE二一DE.AF=-xv,

22"

Jxy=9,

,18

・・y二—・

x

故答案为：C.

【分析】过点A作AGLBC,垂足为点G,首先根据含30。锐角的直角三角形的性质，求得AG的长

度，然后可求得菱形ABCD的面积，然后根据面积法得出SAADE=’/D」G=,xr=9,进一步即可整理

22e

得出y=—.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发

现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,158由此可知一

种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或"丙”）.

【答案】甲

【解析】【解答］解:V3.6<10.8<15.8,

甲种秧苗的长势更整齐.

故答案为：甲.

【分析】通过比较三组秧苗的方差，即可得出方差最小的长势更整齐.

12.某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节，抽奖方案如下：不透明的箱子里装有

红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个.每次摇匀

后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有

一次抽奖机会.小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为.

【答案】-

5

=

【解析】【解答】解：P（获得一等奖）二二—-一~二二-二•

2+3+5105

故答案为：—.

5

【分析】根据概率计算公式，用箱子中红色小球的个数比上箱子中小球的总个数即可求得答案.

13.要使分式」一有意义.则X需满足的条件是

x-19---------------

【答案】1#19

【解析】【解答】解：由题意得：x-19加，

；.x力19.

故答案为：x力19.

【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”列出不等式，再进行解答，即可得出答案.

14.半径为4,圆心角为90的扇形的面积为（结果保留冗）.

【答案】4%

【解析】【解答】解：S扇形=31±=4式.

360

故答案为：4x.

【分析】根据扇形面积计算公式“S”大二”即可求得答案.

360

15.如图，在“8。中，点D,E分别是AC,BC的中点，连接DE.若DEJ2，则AB的长

为.

【答案】24

【解析】【解答】解：•••点D,E分别是AC,BC的中点,

；.DE是的中位线，

ADE=1'AB,

2

.\AB=2DE=24.

故答案为：24.

【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出答案.

16.为庆视中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生.

其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,

8,9这九个数字中任取一个数字，先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上

1978,最后减去参与者的出生年份(注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010),

得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份，若某位参

与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是

【答案】2009

【解析】【解答】解：设参与者选取数字为x,出生年份为y,

根据题意得：

(10x+4.6)xl0+1978-y=915,

整理为:y=100x+1109,

♦.•此时中学生的出生日期都在2000后，

/.x=9,

Ay=2009.

故答案为：2009.

【分析】首先根据题意列出方程，然后再根据实际情况进行推理，即可得出答案.

三'解答题(本大题共9个小题'第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明'证明过程或

演算步骤)

17.计算：(,)+1—|—2cos30-(Jt—6.8)

【答案】解：原式=4+G-G-l

=3.

【解析】【分析】首先根据负整数指数嘉，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幕的性质分别进行化

简，然后再进行加法运算即可.

18.先化简,再求值:-2)♦(///•3M/w-3),其中，”二

2

【答案】解：原式-+加+〃『-9

=4m-9.

当〃1时，原式二10-9二I.

2

【解析】【分析】先将待求式子根据单项式乘以多项式法则、平方差公式分别去括号，再合并同类项化

简，然后再代入m的值求值即可.

19.如图，在Rt,,.48C中，乙4c8=90；48=26,力。=2，分别以点A,B为圆心，大于:48的长

为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.

（2）求A,4（方的周长.

【答案】（1）解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线,

所以在Rtr.ABC中，点。是斜边AB的中点.

所以CO=!/8='X2B=B；

22

（2）解：在RtA.dBC中，BC=\IAB2-AC2=7（2-75）2-22=716=4.

因为MN是线段AB的垂直平分线，点£在MN上，

所以£4=EB-

所以A4CE的周长=4C+CE+£X=/C+CE+/T8=4C+8C=2+4=6.

【解析】【分析】（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，然后根据直角三角形斜边上的中线的

性质即可得出CD的长度；

（2）首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据三角形周长的定义及中垂线段的性质可得出（五的

周长=AC+BC,即可得出答案.

20.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路

线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位

居全球第一.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的

调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇

形统计图.

类型人数百分比

纯电m54%

混动na%

氢燃料3b%

油车5c%

人数

3027

25

20

15

10

5■…一二……吉a…•5…;

0

纯电混动氢燃料油车车型

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次调查活动随机抽取了人；表中"=,b=；

(2)请补全条形统计图；

(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；

(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的

有多少人？

【答案】(1)50；30；6

(2)解:混动的人数为:50-27-3-5=15(人)

(3)解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：360°x30%=108°；

(4)解：4000x(54%+30%+6%)=3600(A).

答：估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3600人.

【解析】【解答】解：(1)本次调查活动随机抽取的人数为：27+54%=50(人)；

.•.混动的人数为：50-27-3-5=15(人)，

混动的百分比为：15-50=30%,

/.a=30；

氢燃料的百分比为：3:50=6%,

，b=6,

故答案为：50；30；6；

【分析】(1)用纯电的人数十纯电的百分比，即可得出随机抽取的人数；从总人数中减去其他类人数可得

出混动人数，然后用混动人数除以总人数即可得出混动的百分比，即可得出a的值；用氢燃料人数除以

总人数即可得出氢燃料的百分比，即可得出b的值；

(2)由(1)知：混动人数为15人，并补全条形统计图即可；

(3)360以混动的百分比，即可得出扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；

(4)用总人数4000x样本中新能源所占的百分比的和即可得出答案.

21.如图，点在线段AD上，AB=AD,AB=AD,BC=DE.

⑴求证：A.4BC，.4DE：

⑵若/&4。=60'，求的度数•

【答案】(1)证明：在AABC与AADE中，

AB=AD,

<NB=/£>,

BC=DE、

所以△ABC^AADE(SAS)；

(2)解：因为AABC会AADE,

所以AC=AE,ZCAE=ZBAC=60°.

所以△ACE是等边三角形，

所以NACE=60。.

【解析】【分析】(1)根据SAS即可证得八;

⑵根据全等三角形的性质可得出AC=AE,NCAE=NBAC=60。，即可判定△ACE是等边三角形，进

而得出NACE=60。.

22.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之

际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件1种湘绣作品与

2件8种湘绣作品共需要700元，购买2件4种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元.

(1)求4种湘绣作品和8种湘绣作品的单价分别为多少元？

(2)该国际旅游公司计划购买*种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那

么最多能购买.4种湘绣作品多少件？

【答案】(1)解：设.4种湘绣作品的单价为X元，8种湘绣作品的单价为J元.

x+2y=700,

根据题意,

2x+3j=1200,

x=300,

解得•

y=200.

答：力种湘绣作品的单价为300元，种湘绣作品的单价为200元.

(2)解：设购买4种湘绣作品。件，则购买8种湘绣作品(200")件.

根据题意，得300a+20(X200“)450000,

解得aW100.

答：最多能购买100件,1种湘绣作品.

【解析】【分析】(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据购买1件A种湘

绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200

元，可得出方程组，解方程组即可得出答案；

(2)设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200-a)件，根据总费用不超过50000元，可得不

等式，求出不等式的解集，即可得出答案。

23.如图，在ozfBC。中，对角线AC,BD相交于点。乙［8。=90,

(1)求证：AC=BD；

(2)点占在BC边上，满足ZCE0=ZCOE.若AB=6,BC=8,求CE的长及的值.

【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且90，

所以四边形ABCD是矩形.

所以/C=8D.

(2)解：在RtAXHC中，£=〃炉+8。2=依+82・10

因为四边形ABCD是矩形,

所以8=二2/C=5.

因为ZCE0=2C0E，

所以C7T=C05.

过点。作CF_LEC于点F.

所以。8=0C.

所以C尸=,SC=4.

2

在RSC。/中，OF=\l0C2-CF2=V52-42=3

OF

所以山〃NCEO=J=3.

EF

【解析】【分析】（1）根据有一个角为直角的平行四边形是矩形得四边形ABCD是矩形，进而根据矩形的

对角线相等即可得出结论；

（2）首先根据勾股定理可求得AC的长度为10,然后根据矩形的性质得出OC=5,再根据等角对等边得

出CE=OC=5,过点O作BC于点尸，根据等腰三角形三线合一可得出C"'Z?C=4,进而得出

EF=1,再根据勾股定理，已知OC,CF的长度可求得OF的长度，再根据正切的定义即得出〃加/（力。

的值.

24.对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），

可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆“四边形：

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形：

只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.

请你根据该约定，解答下列问题：

（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“<”，错误的打“x”）.

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）

②内角不等于90的菱形一定是“内切型单圆”四边形；()

③若“完美型双圆“四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为A,内切圆半径为广，则有

R=41r-(------------)

(2)如图1,已知四边形ABCD内接于OO,四条边长满足：AB+CD^BC+AD.

①该四边形ABCD是"▲”四边形(从约定的四种类型中选一种填入):

②若/从⑺的平分线AE交。。于点£上武力的平分线CF交。。于点“，连接EF.求证：EF是

(3)已知四边形ABCD是“完美型双图”四边形，它的内切图。。与AB,BC,CD,AD分别相切于

点E,F,G,H.

①如图2,连接EG,FH交于点〃.求证：£G1/7/；

②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若0,4=2,06=6,0。=3,求内切圆0。的半径厂及OD的长.

【答案】⑴X；'

(2)解：①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形:

答题图1

②：如图1,因为AE平分小平分/8CD，所以淳/V；HIni.

-

t、I/j—j—jprrt一~---

所以8E+3尸=DE+£＞尸,即EBF=EDF

所以与EDI-均为半圆,

所以EF是。。的直径.

(3)证明：①证明：如图3,连接OE,OF,OG,OH,HG.

AA

所以OE上AB.OFLBCOG1CD,OH上AD.

所以/O/MZOHA90.

所以在四边形EAHO中，/4+//?。〃=360-9()-90,180"•

同理可证"OG+/C180.

因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，

所以四边形ABCD有外接圆.

所以乙4+/C=180".所以/E()H=/C.所以/FOG+NEOH=180,

又因为ZFHG=-2FOG,2EGH=-4EOH,

22

所以£FHG+ZEGH=90所以2HPG=90-即EG1尸，.

解：如图4,连接OE,OF,OG,OH.

因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，

所以NQf〃+/()H：•.OCG+ZOCF180

又因为OO与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H,所以NO4H=NO1E.N0CG=NOCF

所以/Q，1〃-/OCG=90

又因为/COG+/OCG90，所以/(/〃=/("(，・

又因为ZOCC90，所以“。〃〜AOCG.

所以亚=也，即2=二，解得CG=3〃.

OCCG3CG2

在RtAOGC中，有OG'CG?=OC?，即/+($)=32，

解得叩盘后.

在Rt“M/T中，BE=\l0B--r2=J62-.

同理可证A8£O-AO，/），

BEOB\6

所CC以HI---=---，即Rn-----=777?，解得。Q=\/5r.

OHODAOD3v

13

【解析】【解答】解：（1）①•••一般的平行四边形对角不一定互补,

.•.平行四边形不一定有外接圆；

•..一般的平行四边形对边之和不一定相等，

.•.平行四边形不一定有内切圆，故①不正确；

②•••菱形的对边之和相等，

...菱形有内切圆，

:内角不等于90。，

.♦•对角之和不等于180°,

这样的菱形没有外接圆，

,这样的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；

③•.•“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，

该四边形是正方形，

如图所示：这里OM=r,ON=R,

•.•三角形OMN是等腰直角三角形,

，ON=@，

.•.R=JIr，故③正确；

故答案为：x；＜；7；

【分析】（1）根据几种四边形的性质分别进行推理判断即可得出对错；

（2）①根据四边形ABCD有外接圆，没有内切圆可得出答案；

②证明丽A与应京均为半圆，即可得出结论；

（3）①四边形ABCD是完美型双圆四边形，可得出NA+NEOH=180。，ZFOG+ZC=180°,从而得到

ZEOH=ZC,ZFOG+ZEOH=180°,再根据圆周角定理可得NHPG=90。，即可得证；②首先证明

3

“OH“OCG，得出CG=5〃，然后再根据勾股定理建立方程即可求解.

25.已知四个不同的点.4(、”,“),/，(*.工),/)(“.*)都在关于x的函数y=aY+/>x+c(a,6,c

是常数，aHO)的图象上.

(1)当A,B两点的坐标分别为(-1「4),(3.4)时，求代数式20244+1012/>+°的值；

7

⑵当A,B两点的坐标满足,72+2(,+/)。+4e心=0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点

的个数，并说明理由；

(3)当。>0时，该函数图象与X轴交于E,F两点，且A,B,C,D四点的坐标满足：

2122

2a+2(yl+y2)a+y^+y2=0,la-2(+yA)a+=0.请问是否存在实数，"〃”>I)，使得

」/?.(7).这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3?若存在，求

出"的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：川表示一条长度等于EF的加倍的线

段).

【答案】⑴解：将/(-I.4).B(3.4)代入,r=aF+bx+c得

q-6+c=-4,①

9。+36+c=4.②

②-①得8a+4b=8,即2a+/>=2.

333

所以2024”•1012〃t71()12(2“+/))472024.

(2)解：此函数图象与x轴的公共点个数为两个.

由ir+2(j[+J、)a+=0,得(a+)(a-2y2)=0.

可得「2或.

一2'-2

当“>()时，:<0,此抛物线开口向上，而A,B两点之中至少有一个点在X轴的下方，此时该函数

图象与X轴有两个公共点；

当时，"")，此抛物线开口向下，而A,B两点之中至少有一个点在X轴的上方，此时该函数

2

图象与X轴也有两个公共点.

综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点.

(3)解：因为”>0,所以该函数图象开口向上.

由2"।2(V,♦v.)u++y,2=0,得(“+M[+(“+必)2=0，可得%=%=一°.

由2/-2（乃+P4）a+y；+y；=0,得（“-+e=0,可得为=乂=”.

所以直线AB,CD均与x轴平行.

由⑵可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设