解三角形（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习提升

热点06解三角形

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年解三角形、正弦定理

2023年正余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何

解三角形、三角形面积公式

问题、三角形面积公式

2022年正余弦定理和三角形面积公式

热点题型解读

［题型4三角形面积俎卜、题型1利用正弦理解三角形

皿5余弦定理解三角形解三角形题型2限定理求外接圆半径

醒6解三角形的实际应用题型3正弦定理边角互化应用

题型1利用正弦定理解三角形

abbcac

1.(1)正弦定理实际上是三个等式：---=----,----=----,----=-----,每个等式涉及四个元素，所以

sinAsinBsinBsinCsinAsinC

只要知道其中的三个就可以求另外一个.

(2)因为三角形的内角和为180。，所以已知两角一定可以求出第三个角.

2.已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤

(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

(3)根据正弦定理求出第三条边.

其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.

jrjr

1.(2024•上海)三角形45C中，BC=2,A=—,B=—,贝!

34

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

【解答】解：三角形A8C中，A+B+C=7T,C=—,

._.,7171..717171.71V2+V6

sinC=sin(——l——)=sin——cos——Fcos—sm—=-----------

4646464

由正弦定理旦=，丝，BC=2,A=-,

sinAsinC3

y[2+y/6

痂“DSCsinC"-4-3V2+V6

加AR------------------------I-----=-------------

sin423-

3V2+V6

故答案为:

3

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

45

2.(2024•普陀区校级三模)△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若cosa=q,cosB=—

,a=1,则b=.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求shb4,sin5的值，进而利用正弦定理可求b的值.

_t45

【解答】解：因为cos/=jcosB=—,a=l,

且4,5为三角形内角；

•••Siib4=d1—cos2A=I，Sin5=Vl-cos2B=昔；

asinB20

，由正弦定理可得：b--=

sinA13

20

故答案为：

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

3.(2024春•普陀区校级月考)在三角形45。中，已知4=120°,B=45°,AC=2,则三角形面积S

【分析】先利用正弦定理求出5C,再利用sinC=sin(180°-120°-45°)=sin(45°-30°)求出

sinC,最后通过三角形的面积公式求解即可.

ACBC

【解答】解：〃』⑵。,"45。，"=2,由正弦定理得藐了二布，

ACsinA2x当

:.BC=^^~=F=林,

2

sinC=sm(180°-120°-45°)=sm(45°-30°)=-x---x1=返.‘

222，4

1A/6—V23—V3

.*.S=-AC-BC-sinC=z*x2xV6x----------=---------.

，，42

故答案为:§黑.

【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角

形中的应用，属于基础题.

4.（2021•上海）已知/、B、。为A4BC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=——.

4

（1）若sin4=2sin5,求6、c；

(2)若cos(A-'求c.

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解6的值；利用余弦定理即可求解。的值.

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos/,sin4,sin。的值，进而根

据正弦定理可得。的值.

【解答】解：(1)因为sinA=2sinB,可得Q=2b,

又a=2,可得6=1,

22+12—/

a2+b2-c2?可得"，

由于cosC=

2ab2x2x1

(2)因为35(/-5)=^^^054+5m4)=1,

―彳­/4^2

可得cosA+smA=------

5

又cos2A+sin2A=1,

可解得cos/=速sm/=走，或sin人递，c°s/=g

10101010

因为cosC=—可得sinC=运，tanC=-V15,可得。为钝角，

44

什./7V2/V2_rzR,r—r〃目八/,tanA+tanC7-J15八

右sni4=------,cosA=——，可得tan4=7,KT1#tanB=-tan(A+C)=------------------=----------j=-----<0,

1010tan^4tanC-17x(-V15)-l

可得5为钝角，这与。为钝角矛盾，舍去，

所以sin/=也，由正弦定理二-=-^,可得。=豆史.

10sin4sinC2

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形

中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

5.（2021•上海）在AA8C中，已知a=3,b=2c.

（1）若/=5，求晨曲•

(2)若2sinB-sinC=l,求CMBC.

【分析】(1)由余弦定理求得。2,从而求得A45C面积；

(2)由正、余弦定理求得b、c值，从而求得A45C周长.

1〃+〃25c2-Q

【解答】解：(1)由余弦定理得cosN=-±="+。"=

22bc4c2

解得/=2,

7

.q1..V3_2973

••S.=—bcsmA=——x2c=------；

MABRCr2414

(2)b=2c,由正弦定理得sin3=2sinC,又,:2sin5-sinC=1,

i2

sinC=—,sinB=—,，sin。<sin5,:.C<B,C为锐角，

33

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC,又,「Q=3,b=2c,

c2=9+4c2—8A/2C,得：3c之一8A/^C+9=0,角军得：c=4y-.

3

当c=4拒+逐时,6=8力+2人时3+4后+1；

33LX/IIJ

当c=4拒一追时,与8行-2-时03+41-力.

33

【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题.

6.（2024•上海宝山•一模）在△NBC中，己知b2+c?=/+bc.

⑴若sinC=2sinB,且6=2,求△48C的面积；

（2）若b+c=l,求。的取值范围.

【答案】（1）2百

【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解；

（2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解.

「sinC'

【详解】⑴由正弦定理得「「7=2,又6=2,从而。=4,

bsmB

H_2be_1

由〃++be得COSA=----------

2bc2bc~2

从而N=1,

所以△/3C的面积S=—6csin^=—x2x4xsin—二273.

223

(2)由。2=〃+。2-6。=(6+。)2一3bc=1-3bc,

又命当且仅当6=c=；时取等号，

,311

从而〃221一=所以。之彳，

442

又因为ZX/BC中，b+c＞a,从而q＜l,

所以0的范围是:“

7.(2024・上海普陀,二模)设函数/(x)=sin(@x+e),。＞0,0＜。＜兀，它的最小正周期为兀.

⑴若函数了=是偶函数，求。的值；

⑵在△/2C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若。=2,/=£,=苧。，求人的值•

【答案】(1)夕=三271

⑵6=2百

【分析】(1)利用正弦函数的周期公式可求。=2,又函数y=/(x-篙)是偶函数，结合。＜。＜万，即可求

解夕的值；

(2)由〃j)=Ylc,可得sin8=YL,结合题意利用正弦定理可求6=及，由余弦定理可求4进

244

而可求6的值.

【详解】(1)因为函数/'(x)=sin(s+0)的最小正周期为兀，且。＞0,

2兀

所以——=兀，即0=2,

CD

TTTT

则v=/(x——)=sin(2x+^--),

12o

又函数y=〃x-自)是偶函数，

兀71

贝［|夕=klt-\—,A:eZ,

62

2兀

即。=析+彳，又0<0<兀，

.2兀

则n。=3-.

（2）由/~—）=^-cM，sinB=^-c,

244

又a=2,^=~<则sinB=/融'=）="c，即6=V§c,

6a44

由余弦定理得，/=b2+c2-2bccosA=3c2+c2-25/3c-c-，

2

即c=2,则6=2A/3.

8.（2024・上海崇明•一模）在△/8C中，已知点。是3C边上一点，且80=1,CD=3.

（1）若/。工3C,S.ZABD=2ZACD,求的长；

（2）若乙4BD=55。，NACD=32°,求40的长（结果精确到0.01）.

【答案】（l）g

⑵1.75

【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可.

（2）先利用正弦定理求得/C,再利用余弦定理求解即可.

jn

【详解】（1）因为4D13C,所以tan//8Z）=-j-,tanZACD^—

3

2tanZACD

又NABD=2NACD,所以tanN/BZ）

1-tan2ZACD

cAD

2x——

即/。=一奈一，解得40=6.

1-哈

BCAC

（2）在△NBC中，NBAC=93°,BC=4,由正弦定理得

sinABACsinZ.ABC'

s、isBC-sinZABC_

所以/C=-------------------«3.28l,

sinABAC

在A/CD中，由余弦定理得

AD=AC2+DC1-2AC-DC-cosAACD"75.

题型2正弦定理求外接圆半径

abc

--=一工=^—=2R（R为外接圆半径）.

sinAsinBsinC

l.（2024•徐汇区校级模拟）在△/BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若a=百，且c-26+2百

cosC=0,则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角4,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.

【解答】解：Va=V3,.\c-2Z?+26ZCOSC=0,sinC-2sin5+2siiL4cosc=0.

sinC-2sin（4+C）+2siiL4cosC=0,

sinC-2siiL4cosC-2sinCcosZ+2siih4cosc=0,

1

.,.sinC-2sinCcos^=0,VsinOO,cosA=—,AE（0,〃），

7T

・・・/二§,设该三角形外接圆的半径为八

ay/3

由正弦定理得嬴"=7T=2=2r,

oifc/i---

2

・」=1.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

2.（2023•上海普陀•一模）在A48C中，角A,8,C所对的边分别为。,b,c,若a=6,且c-26+2gcosC=0,

则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.V3C.2D.2A/3

【答案】A

【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角4再根据正弦定理求出外接圆半径即可.

【详解1a=也,;.c—2b+24cosc=0,/.sinC—2sin5+2siih4cosC=0.

sinC-2sin（4+C）+2sirL4cosc=0,

/.sinC-2sirUcosC-2sinCcosA+2sin4cosC=0,

/.sinC-2sinCcosA=0,vsinC>0,.\cosZ=w

TT

-.A=~,设该三角形外接圆的半径为r

aA/3

由正弦定理得前T2=2=2%/=1

~T

故选：A.

3.（2024,上海嘉定•二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高度角是指某时刻太阳光

线和地平面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成

的二面角为120。，墙的高度均为3米.在时刻/,实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度

分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时

刻f最可能为（）

太阳高度角时间太阳高度角时间

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

【答案】B

【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形/BCD的外接圆直径大

小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出入D2E的大小，即可得到本题的答案.

【详解】如图所示，

E

设两竖直墙面的交线为DE，点E被太阳光照射在地面上的影子为点B,

点4c分别是点3在两条墙脚线上的射影，连接AC,BD,BE,

由题意可知Z.DBE就是太阳高度角.

•••四边形N8C。中，/BAD=/BCD=90°,/ADC=120°,

...ZABC=360°-(ZBAD+/BCD+ZADC)=60°,

.,.△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=1.52+12-2xl.5xlx-=1.15,

2

=VL75-1.32,

•.•四边形/BCD是圆内接四边形，8。是其外接圆直径，

・•.设/\ABC的外接圆半径为R,则BD=2R=——«1.53,

sin60

ED3

在RtZ\BDE中，tan/DBE==---r1.96,

BD1.53

所以/DBE=arctan1.96»63.02°，

对照题中表格，可知时刻表10:00时,太阳高度角为62.29°,与63.02。最接近.

故选：B.

■JT

4.（2022•上海）已知在A43C中，N/=—,AB=2,AC=3,则A42c的外接圆半径为

3

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果.

■JT

【解答】解：在A48c中，//=—,AB=2,AC=3,

3

利用余弦定理=/。2+/笈-2/BZC.COS/,整理得2C=V7,

所以匹=2R,解得R=竺.

sm/3

故答案为：—.

3

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基

础题.

27r7i

5.（2024•徐汇区模拟）在△Z8C中，AC=\,=—乙人=%，则△ZBC的外接圆半径为

71

【分析】可求得N5=%,利用正弦定理即可求得答案.

2兀71

【解答】解：在中，-：AC=1,,乙4=3

2nnn

：.ZB=n---^=^设△/SC的外接圆半径为尸，

AC1

由正弦定理得：—-=r=2n

sinB2

.*.r=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

6.（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为.

【分析】由已知结合余弦定理可求出cos/,再由同角平方关系求出sirb4,结合正弦定理即可求解.

【解答】解：设。=2,6=3,c=4,

炉十〃一Q29+16—47

由余弦定理得'cos/=2bc

所以siiL4=7X-COS2A=Jl-^|=-^，

a216V15^

由正弦定理可得，2火=哀港=率=气椀.

1671^

故答案为:

15

【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

7.（2023・上海虹口,一模）在△/8C中，48=5,AC=6,cos^=|,。是△/8C的外心，若

OP=xOB+yOC,其中x,ye[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.

【答案W历噂

【分析】先利用余弦定理求出8c的长，因为。是△4BC的外心,

设外接圆的半径为尺，所以CM=O8=OC=R,再利用正弦定理

求出R,由赤=x^+y3,x,

知道动点尸的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形O8EC

画图，由图可知菱形O8EC为2S.BOC，求出即可得.

【详解】在△48C中，因为48=5,AC=6,cos/=g,

所以叱=49n2C=7,

又因为。是△4BC的外心，设外接圆的半径为R,

所以CM=08=。。=7?,

上，

由cosZ=不1，

2

所以sin4=Vl-cosA=A/l--=过B,

7__3S/6

2R=____

由正弦定理：「sin力276~12

"V

24

由历=%历+用"%,J^e[0,l],

所以动点尸的轨迹所覆盖图形为以OB为边的菱形OBEC,

如图所示：

A

由图知为就所对的圆心角与圆周角，

所以有/50C=2/4,

所以sinZBOC=sin2A=2sinAcosA

2761_476

5525

所以S.BOC=；*08XocXsinNB0C

135c35764764976

=—X-----X-----X----=-----，

224242548

所以动点尸的轨迹所覆盖图形面积为：

”_49巫

八ABOC_24，

故答案为：空色.

24

8.（2023•上海普陀・模拟预测）已知过42,C三点的球。的小圆为0a,其面积为4兀，且=3C=NC=OQ,

则球。的表面积为.

【答案】64K

【分析】小圆为OQ的面积为4兀求出其半径由正弦定理可得8C,由面28C利用勾股定理可

得球半径AO,可得球0的表面积.

【详解】因为/8=8C=/C,所以△4BC为等边三角形，

如下图，因为小圆为。。1的面积为4兀，其半径为4。，所以版。：=4兀，

可得NO1=2,由正弦定理可得8C=2/0]sin60°=2退，

即BC=0Q=，由AO2=AO；+OO；可得NO?=4+12=16,

则球。的表面积为此。2=]67r.

故答案为：16兀.

B

…Oi'、、

9.（2022・上海嘉定•一模）在△45C中，内角4、B、。所对边的长分别为〃、b、c,。=5,b=6.

4

（1）若cos3=-w，求4和△/5C外接圆半径R的值；

（2）若三角形的面积必="也，求c.

△4

TT

【答案】（1）/="，R=5；

6

（2）c=4或c=J106.

3

【分析】（1）由题可得sin5=不，利用正弦定理即求；

（2）利用三角形面积公式可得sinC=立，再利用同角关系式及余弦定理即求.a

4,则且

【详解】(1)因为cos8=gBE1]4),sinB=Jl—cos?^=1.

由正弦定理，得号=4=—=27?

=2R,即sin/3,

smAsinB

5

即sin/=工，R=5,

2

因为a<6,所以

rr

因止匕/=—，R=5;

6

?1577

(2)由&=La6sinC得.2X

C_2SA_4_V7,

2sin

ab5x64

于是cosC=±J1-sin2C=±-

4J

33

当cosC=：时，由余弦定理,^|c2=52+62-2X5X6X-=16.

44

当cosC=q时，由余弦定理，得。2=5?+62-2X5X6X，T=106.

所以，。=4或°=^^话.

10.（2022•上海长宁•一模）已知三个内角4B、C所对的边分别为。也c,a=4,cosB=-^-

4

（1）若sin/=2sinC,求△4BC的面积；

⑵设线段48的中点为。，若CD=M,求△4BC外接圆半径的值.

【答案】⑴屏

⑵噂

【分析】（1）由题知a=2c,进而根据余弦定理，结合已知得b=2",sinB=运，再根据三角形面积公

4

式计算即可；

（2）在中由余弦定理得。=2,进而在中，6=26，再根据正弦定理求解即可.

【详解】（1）解：因为sin4=2sinC,所以Q=2C,

因为a=4,cosB=—,

4

所以c二2,

因为8£（0,乃），所以sinB—A/1—cos2B=,

4

所以A/BC的面积为=-acsinB=-x4x2x—=V15.

/\/ir＞（.224

（2）解：因为线段43的中点为O,CD=M,a=4,cosB=--,

4

2

仁］+-CD—+16-191

所以在△BCD中，由cosB=0---------------=/------------=—,，解得。=2（c=-6舍），

c4c4

2o—a

2

所以在ZX/BC中，b2=a2+c2-2accosB=24,即6=2指，

因为8w（0,»）,所以sinB=Jl—cos?B=,

4

b二2一二8布

所以由正弦定理得4ABC外接圆半径R满足一—巫一~T~，

所以UBC外接圆半径R=勺何

5

B

题型3正弦定理边角互化应用

心日目

①sin4:sin5：sinC=a\b\c\

_abcq+b+c

@——=----=----=-----------------=丝;

sin/sinBsinCsin/+sin5+sinC

③a=2Rsin」,b=2RsinB,c=2RsmC；

aabc

@sinA=—，sinB=—，sinC=——.

2R2R2R

IT

1.(2023•上海黄浦,三模)在A4BC中，角/、B、C所对的边记作办b、c.已知，="

bsin［：+c］-csin(；+“=a,则5—C=.

TT

【答案】j/90^

【分析】由正弦定理边化为角，结合两角和与差的正弦公式即可求解.

【详解】由6sin(：+C)—csin［；+3)=a,应用正弦定理，

得sin8sin［：+-sinCsin［：+“=sin/,

日n•,V2.V2.〜枝.V2V2

K|JsmB(—sinCH———cosC)—sinC(—-—smBDH———cosB)=—-—,

整理得：sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(5-C)=1,

因为0<2(皿，0<C<—,所以8-C=工.

442

故答案为：—.

2.(2023•上海松江•一模)在三角形/8C中，内角4&C所对边分别为a、6、c,已知asinfi=6cos(4

(1)求角A的大小;

⑵若。=26,三角形的面积为名回，求三角形的周长.

3

【答案】(呜

(2)273+2

【分析】⑴由正弦定理进行边角互化可得asi边=6cos(/-结合两角差的余弦公式及同角三角函数的

基本关系可求出tan/=道，即可求出A.

⑵由三角形的面积公式可得6c=4,结合c=26及余弦定理即可求出。，即可得出结果

【详解】（1）由正弦定理〕二=上得asinB=bsin”,所以bsin/=6cos（4-9

sin/sin5I6

3c°s/+、n/

所以sin/=cos整理得sin4=GcosA,

22

因为力£(0,兀)，所以sin/>0,因此cos4>0,所以tan4=,由力=,

cosA

所以工咚

(2)由△/BC的面积为其1,得工6csin/=38,解得6c=£

3233

又c=26,贝!16=,c=yV3.

由余弦定理得/=c2+/-26ccos/=g+g-g=4,解得a=2,b+c=20

所以A/BC的周长为2G+2.

3.(2023•上海闵行•一模)在△45。中，角A、B、。所对边的边长分别为。、b、c,且〃-2ccosB=c.

(1)若cos3=g,c=3,求6的值；

⑵若△/BC为锐角三角形，求sinC的取值范围.

【答案】(1)6=2新

(\⑸

(2)

【分析】

(1)由已知条件可得出〃的值，再利用余弦定理可求得6的值；

(2)利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出5=2C,再利用△/5C为锐角三角形求出角。的取

值范围，即可求得sinC的取值范围.

【详角军】(1)因为cosB=；,。=3,a-2ccosB=c,所以，Q=2ccos5+c=2x3x；+3=5,

由余弦定理可得b?=a?+c?—2clecosB=25+9—2x5x3x—=24,故b=2-\/6.

3

(2)因为.-为cos5=c,由正弦定理可得sinZ-2sinCcos5=sinC,

gpsinC=sin(5+C)-2cos5sinC=sinBcosC+cos5sinC-2cosBsinC

=sinBcosC-cosBsinC=sin（5-C）,

因为为锐角三角形，则A、B、Ce/3,所以，

因为正弦函数V=sinx在上为增函数，所以，C=B-C,即8=2C,

0<C<-

2

由，0<B=2C<—可得故，<sinC<,

26422

7C

0<A=n-3C<-

2

因此，sinC的取值范围是

4.（2023・上海青浦•一模）在USC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足

/+/—/_|_ac=0•

（1）求角8的大小;

⑵若6=26，求△/8C的周长的最大值.

【答案】（1）3=半2兀

(2)4+2>/3

【分析】

（1）根据余弦定理可得8的大小;

(2)边角互化，可得a+6+c=4sin[N+|J+2道，结合三角函数的性质可得最值.

【详解】（1）由〃+/一人2+QC=0,可得/+/一〃=-QC,

a2+c2—b2—ac1

所以cosB=一,

2ac2ac2

O-J7-

又340,冷，所以8=T

⑵由⑴得人1'所以.”字

acb

则由正弦定理可得=4,

sinAsinCsinB

即Q=4sin4,c=4sinC,

所以/\ABC的周长a+b+c=4sinZ+4sinC+2G，

TT

又在△/5C中，C=7r—A—B=A,

3

贝ijQ+b+c=4sin/+4sin一41+26=4sin(4+]]+26,

0<A<7l

TT

又在44BC中，工7t，所以0</<;,

0<--A<n3

I3

所以当/=9时，周长取最大值为4+26.

0

5.(2023•上海宝山•一模)在△N2C中，角的对边分别为d瓦。.

(1)若2asin8=6b，求角A的大小；

⑵若5C边上的高等于?a，求c±的n最大值.

2bc

【答案】(1号或g

(2)2A/2

【分析】(1)利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解；

ck

(2)利用三角形面积公式与余弦定理得到b2+c2=2bc(sinA+cosA),从而将-+-转化为关于角A的表达

bc

式，进而得解.

【详解】(1)因为2asinB=6b,由正弦定理得2sinZsin5=6sin5,

又0<5<兀，贝！Jsin5w0,所以sin/=—，

2

因为0<4<兀，所以4=1或4=与.

(2)由三角形面积公式得]ata=：bcsin/,即a2=26csinN,

222

又由余弦定理/=/+C?-2bcCOSA，得26csinZ=/?2+c2-2bccosA，

从而有b2+c2=2bc(sin4+cos/),

所以£+2=b；=2(sin/+cosA)=2V5sin

当Z+：=7，即4=?时，工+一有最大值2后，

424be

即「'h的最大值为2VL

bc

6.(2023・上海奉贤,一模)在△48C中，设角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,已知

y/3c=拒bcosA+asinB■

(1)求角B的大小；

(2)当°=2血，6=2百时，求边长。和ZUSC的面积S.

【答案】(1)2=方

(2)c=A/6+V2,S“BC=3+G'

【分析】(1)借助正弦定理将边化为角，结合。=兀-(4+8)及两角和的正弦公式计算化简即可得；

(2)根据正弦定理即可计算出A,结合8可求出C,再使用正弦定理即可得到。，再使用面积公式即可得

到面积.

【详解】(1)由正弦定理得内5亩。=6$亩_8(：05/+5山/5亩8,

由于。=兀一(4+8),贝!]^3sin(J+B)=>/3sinBcosA+sinAsinB,

展开得V3sinAcosB+』sinBcosA=6sinBcos/+sin/sinB，

化简得V^cosB=sinS,

则tanB=C，

所以5=0；

2^/32V2c后

(2)由正弦定理，得-T==^即有sin/=①，

sm—2

3

JT

因为所以A是锐角，即4=:，

4

因为/+c=T2兀，

所以。=工571，

2百.7171.71兀)/V6+V2后

c=-------xsmC=4sm—cos一■Fsm—cos—=4x-----------=76+72

sin巴I6446)4,

3

所以S：二gQbsinC=；义2A/3X2后x[sin£cos；+sin；cos

=2&x"±立=3+VL

4

7.(2024•上海宝山•二模)在AZBC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sin2^4+sin2C=sin2S+sirUsinC.

(1)求角B的大小；

(2)若A/8C的面积为百，求a+c的最小值，并判断此时A/BC的形状.

【答案】⑴?

（2）4,ZUBC为等边三角形

【分析】（1）由正弦定理角化边可得/+°2=/+囱，进而根据余弦定理可求8；

（2）由三角表面积可求得碇=4,根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的

形状.

【详解】（1）由正弦定理得/+°2=62+农,

又由余弦定理得COSB==旦=上,

lac2ac2

TT

因为3是三角形内角，所以8=5；

（2）由三角形面积公式得：

S-—tzcsinS-—acsin—————ac=yJ3，

皿2234

解得ac=4,

因为a+c22疝=4,当且仅当a=c=2时取等号，

所以a+c的最小值为4,此时△48C为等边三角形.

8.（2024・上海•三模）已知A/BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且缶=2csim4.

⑴求sinC的值;

（2）若c=3,求A48C面积S的最大值.

【答案】（1）立

2

⑵亚

4

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC=必；

2

（2）由余弦定理结合重要不等式可得好取值范围，再由三角形的面积公式S^c=gabsinC可求出面积的

最大值.

【详解】（1）由题意可知，V3a=2csinJ,

由正弦定理得65诂4=251!1。5亩4,

因为4CG（0,TT）,所以sinZwO,

即sinC=.

2

（2）由（1）可知sinC=@,

2

jrZTT

所以。=1或。=片.

在△NBC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2,ACxBCcosC,

TT

当。=§时，。=3,

9=b2+a2-2ab--=b2+a2-ab>lab-ab=ab,

2

当且仅当Q=b=3时取等号，即必09,

故ZUBC的面积S=L"sinC="a6V%^.

△曲2