解三角形必用的定理-高考数学二轮复习

考点精炼-解三角形必用的定理

高考数学二轮复习备考

一、单选题

DetanA

1.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，A,c且满足牛=1+角A的内角平分线交

btanB

2C于点若BM=2CM,则桨=（）

BC

A.—B.—C.-D.2

322

2.在VABC中，AB=4,E是BC边中点，线段AE长为由，NB4c=120。，。是BC边上一点，AD

是/BAC的角平分线，则AD的长为（）

A.-B.-C.2D.-

333

3.在VA3C中，若/是VABC的内心，〃的延长线交2C于O,则有*=黑称之为三角形的

AC

内角平分线定理，现已知AC=2,BC=3,AB=4&AI=xA^+yACf贝快数x+y=（）

12

A.1B.—C.—D.2

33

4.古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式"：S=Mp-G（p-bXp-c）,

其中p=£±|±£,a,b,c分别为VABC的三个内角A,B,C所对的边，该公式具有轮换对称的

特点.已知在VABC中，sinA:sinS:sinC=8:7:3,且VABC的面积为126，则3C边上的中线长度为

()

A.372B.4C.774D.726

二、多选题

5.已知VABC中，AB=l,AC=4,/BAC=60o,AE为NR4C的角平分线，交BC于点瓦。为AC中点,

下列结论正确的是（）

A.BE=—

5

4A/2

BR.AE=-----

5

C.AABE的面积为走

5

D.尸在△ABD的外接圆上，则+的最大值为近

三、填空题

6.在VABC中，若sin2A+sin23+sinAsin8=sin2c,且AB边上的中线长为2,则VABC面积的最

大值为•

2兀

7.已知VABC中，ZA=y,ZA的角平分线交2C于点。，AD=1且C£>=23D,则VABC的面积

为.

8.在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,且满足反osC+c8sB=2acosA,若VABC的中线

AD=y[3,且6+c=4,则VABC的面积为.

3

9.在VABC中，/BAC的平分线为与5C交于点。,cosNB4C=—,AB=5,AC=2,贝Ij

4

AD=・

10.在VABC中，。为边8C上一点，且满足4。，47,85/&4。=-；,"=3直,4。=3,则8=

四、解答题

11.已知在VA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atanB-JTSbcosC=JFccosB.

(1)求tan8；

⑵若8。为AC边上的中线，且BD=2,求VABC面积的最大值.

12.在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.己知2ccosA=26—a.

⑴求角C的大小；

⑵设M为AB边的中点，若,=而，a-b=l,求|两的大小.

13.在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知acos3—bcosA=a-c.

⑴求8;

(2)若a=l,c=3,。为AC边的中点，求8。的长.

14.在VABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,cosB-bsinA='j3c,c=2,

⑴求A的大小：

(2)点。在BC上,

(I)当AD1AB,且AD=1时，求AC的长；

(II)当BD=2DC,且AT>=1时，求VA3C的面积S»Bc.

15.在VABC中，AB,C分别为边a,6,c所对的角，且满足2a+c=2&cosC.

⑴求的大小；

(2)/A的角平分线AZ)交3C边于点£),当c=2,|AD|=J7时，求|C4.

16.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且bsinBtanA=\/^asinBcosC+A^sinCcosA.

⑴求A；

(2)若。在边BC上，S.BD=2DC,b=3,AD=2^,求VABC的周长.

参考答案

1.A

sinA

2sinCcosA1sinAcosBsinBcosA+sinAcosBsin(A+B)

由条件有:；=]1H；-1H■="=~"

sin3sm6sinBcosAsinBcosAsinBcosA

cosB

又sin(A+B)=sin(7r-C)=sinC,sinB>0,sinC>0,贝"窝二色=‘融。

sinBsinBcosA

即cosA=g,又Ae(O,0,则A=?

由AM为NC钻的角平分线，则逆=典=2,即钻=2AC

ACCM

则NC4M=NR4M=30°

AC2+AM2_CM2

在八4。1中,cosZCAM==B

2-AC-AM一3

即4。2+4河2一c/=G4c①

CM2+AM--AC2

在zMCM中,cosACMA=------------------------

2CMAM

BM2+AM2-AB24CM2+AM2-4AC2

在AABM中，cosZBMA=------------------------=-----------------------------

2BMAMArCMAM

,ioco„CM2+AM--AC24CM2+AM2-4AC2

由ZBMA+ZCMA=180°,则n------------------+--------------------=0M

2CMAMArCMAM

化简得到：AM2=2AC2-2CM~②

将②代入①可得:4手C③

将③代入②可得:CM=—AC,所以BC=Vi4C

3

*AC_2

所以4”

BCV3AC3

故选：A

2.B

.1.

E是5c边中点，则AE=5(A3+AC),

所以理2=-(AB+AC)2=-(AB+2AB-AC+AC),

44

即3=L16+2X4-ACCOS120°+AC2),解得AC=2,

4

BC=A/42+22-2X2X4COS120°=2不，

AD是/54C的平分线，则黑=E=t，BD=巫,CD="

CDAC233

cT+CB?_AB?4+28-162

cosC=

2CACB2x2x2币~"

AD=y/CA2+CD2-2CA-CDcosC=j4+--2x2x^^x^=-,

在AC4O中,

V93773

故选：B.

3.C

__.1.2__-

由角平分线定理可得出丽=2觉，^AD=-AB+-ACf再由角平分线定理可得

A/=|AD=|AB+|AC,由向量相等的性质可得结果.

因为/是VABC的内心，A7的延长线交3c于。，AC=2,BC=3,AB=4,

由角平分线定理可得黑=*=2,可得=BD=2DC，

即而_覆=2（/_而），则莅=；通+|正，

又因为3c=3,BD=2,且也为NA5D的角平分线，

所以，所以,国号由H出+|5小

2

x=—

92

又屈=%通+丁工，且向量通、*不共线，所以，＜:,所以尤+y=f

y二一一

9

故选：C.

4.D

先求得cosAsinA,然后利用三角形的面积公式、向量法求得5c边上的中线长度.

设。是5c的中点，连接AD.

依题意，在VABC中，sinA:sinB:sinC=6z:Z?:c=8:7:3,

设a=8左,Z?=7左,c=3左,左＞0,由余弦定理得cosA=--------------=——

2x7x37

所以A为钝角，所以sinA=由一cos24=拽,

7

所以SAMc=gx3左X7左X理=12指,％2=2,

两边平方得诟2=：+AC+2AB-AC^

=-|9+49-2x3x7x-k2=13^2=26,

所以|丽=圆.

故选：D

5.ACD

在VABC中，由余弦定理得BC2=l+42-2xlx4xcos]=13,BC=ViI,

由角平分线定理得：BE:EC=BA:AC=1:4,BE:BC=1:5,BE=±BC=誓,所以A正确；

由S“BE+S_MCE=SAABC得:xAExlxsinF+gxAEx4xsinB=gxlx4xsinm,解得AE=^^,所以B

2o2o235

错误；

SABE=—xAExlxsin—=^-,所以C正确；

“BE265

在AED尸中,BD=.l+22-2x2xcos~=y/3,ZBPD=~,

\33

cPDBPBD也〜

设NPBD=e,则/尸。2=下一，，由正弦定理得：sine一.，2兀一.兀一名

3sin（------⑺sin一—_

332

:.PB+-PD=2sin（——。）+sin。=6cos。+2sin0=近sin（0+（p）,其中tan0=3,所以D正确.

232

故选：ACD.

6.4月

22222

因sinA+sinB+sinAsinB=sinC,由正弦定理可得〃？-\-b+ab=cJ

222

Z7_1_A_r1

^a2+b2-c2=-ab,所以cosC:一二—，,又OVCVTL,

lab2

所以C=@,sinC=sin—=^,设AB边上的中线为C£>,

332

则丽=：(无+岳)，则|①『=^(CA+CB)2=^a2+b2-ab)=4,

=a1+b2—ab>lab-ab=ab，当且仅当a=8=4时等号成立,

所以(S-ABC)max=1(ab)max.sinC=4A/3.

故答案为：473.

因为NA的角平分线交BC于点。，且CD=23D,

ABBD

在△ABD中，由正弦定理得

sinZADB~sinZBAD'

ACCD

在AACD中，由正弦定理得

sinZADC-sinZG4£>’

因为/RW=NC4D,^.ZADB+ZADC=n,所以sinNAD8=sin/ADC,

可得=y，所以AC=2AB,

2T.CzCU

2兀

又因为“ABD+S^ACD=，且/A=可，AD为角A的平分线，

1jr1jr127r

可得一xA5xAOxsin—+—xACxADxsin—=—xA5xACxsin——,

232323

因为AZ>=1,且AC=2AB,

B\^-xABxlx—+-x2ABxlx—=-xABx2ABx—,解得,

2222222

所以54口o=''ABxACsinA=-x—x3x=2211..

“BC22228

故答案为：巫.

8

由ZTCOSC+ccosB=2acosA,得sin3cosC+sinCcos5=2sinAcosA,

即sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,因为sinAwO,所以cosA=4，

2

因为Ae(O,兀)，所以A=g,

由2通=丽+/，两边平方12=〃+，+Z?c=(Z?+c)2-bc=16-bc,

所以bc=4,则S，4Bc=g0csinA=石.

故答案为：V3

5A/14

Qy.----

7

方法一：i^ZBAD=ZCAD=3f

因为可那。=^^BAD+AD,

所以:•A3ACsin2e=；A3AOsin8+gACA£)sin。，

sin26sin。sin。

化简得,-:--=——+——，

ADABAC

2sin6cosesin。sin。

故---------=----h，

ADABAC

2cos。11

因为sin（9wO,所以_______I___

AD~ABAC9

2cos011720

所以—____I_____一—,则AD=，cos6.

AD~52一107

因为侬2*2后1。2匹（。,兀）,所以c°sO=坐

所以A八型cos*吗巫=也

7747

故答案为：生但

7

方法二：由余弦定理得3C=96+3—2AB-ACcosZBAC=，25+4—2X5X2X、=7S,

由角平分线定理得爷=怒=3,

所以吟g平，“%沉尸=上帮当

所以A。=VAB2+BD2-2AB-BDcosB=J25+1^^|一2义5义斗4义殍=,

故答案为：处.

10.3A/3

根据SAABC=S^BD+S&ACD计算可得.

B

DC

如图，因为cos/a4C=-2，所以sin/BAC=一cos?NBAC=述,

33

由SMe=$ABD+SACD，知‘A3•ACsinABAC=-ABADsinABAD+-ACADsinCAD,

•-■-1A/iQ"A/IC"，/，，222，

sin"ACsin/BADsinZDAC

化简得---------1---------

-AD-ACAB

「一述sinfzBAC--^

SAD±AC,AB=30,AD=3,则有3_I2乙1,

3AC3A/2

因sin4c—=一cos/BAC=，故得半=1+七，解得AC=3版.

在RtAADC中，CD7Abi+AC"=3百.

故答案为：3A/3.

11.(l)tanB=A/15

⑵平.

(1)H^Jd;tanB-V15Z?cosC=y/15ccosB,

n

所以"si'_括务cosC=V15ccosB,

cosB

即^^sinB-^/15Z?cosBcosC=^/15ccos2B,

由正弦定理得sinAsin3=^/15sinBcosBcosC+A/15sinCcos2B,

即sinAsinB=V15cosB(sinBcosC+sinCcosB)=y/15cosBsin(B+C),

LUsinAsinB=^/15cosBsinA，

由sinAW0,得sin5=y/15cosB,即tanB=A/15.

(2)因为皿=岳，sin2B+cos2B=l,

cosB

所以sin8=姮，cosB-4.

44

因为BD为AC边上的中线，所以丽=g(丽+团)，

又因为班>=2,所以丽丁，丽+前y=4,^16=BA+2BA-BC+BC\

所以<?+工x2ac+a2=16,

4

由基本不等式得16=0?+/—ac之2QCH—etc,

22

解得acW当，当且仅当a=c=W适时等号成立.

55

痂a_1.吟1327154715

HA3AA一一etcsinB工-x—x--------------,

△ABC22545

所以VABC面积的最大值为止.

5

12.(l)y

⑵2

(1)用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出cosC=1,进而可得角C的大小;

2

(2)用余弦定理结合题目所给条件可求出而及/+〃，再用向量即可求解.

(1)•.•2ccosA=2b—a,

2sinCbosA=2sinB-sinA,

2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA,

2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC-sinA,

/.2sinAcosC=sinA,

sinAw0,/.cosC=—

2

(2)在AABC中，由余弦定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2_2-|ACH3C|COSC,

6—+a?—ab,

又因为a-Z?=l,

所以2"=1,

联立解得ab=5,a2+b2=11,

因为加为48边的中点，所以2恐而=互+函，

所以4|两闫列2+|西2+2|CA||C^COSC,

^4\CM\1=b2+a2+ab=ll+5=l6,

所以|国|=2

c

Q)叵

2

1jr

(1)由正弦定理和sinC=sin(A+5)=sinAcos_B+sin5cosA得到COSB=5,求出B=y；

(2)由向量基本定理得到访=!(丽+前)，两边平方，结合8=与，求出而2=¥，得至史.

2、,342

（1）acosB-bcosA=a-c,由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinA-sinC,

由于sinC=sin[ji—（A+5）]=sin（A+5）=sinAcosB+sinBcosA,

故sinAcosB-sinBcosA=sinA-sinAcosB-sinBcosA,

所以2sinAcosB=sinA,

因为A«0,兀），所以sinA>0,故2cos3=1,cosB=^,

因为3«0,兀），所以B=g；

（2）。为AC边的中点，故丽=；（丽+就），

两边平方得~BD=1（而2+BC+2BA-BC^=^c2+a2+2accosB）,

又a=l,c=3,B=-|,所以8。=：（9+1+6*；）=?,故B£）=|而

../_,、.2兀

14.⑴4=可

⑵AC=7-S

（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA的值，结合Ac（0,乃）即可求解

A的值；

（2）（I）根据锐角三角函数和差角公式可得cos及C=^=*sin4BC=^=W，sinC=-$+^

BD75BD.5105

正弦定理即可求解.

(II)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决.

（1）因为6acosB-bsinA=6c，

所以由正弦定理可得百sinAcosK-sinBsinA=A/5sinC，

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以-sinBsinA=^cosAsinB，

因为8为三角形内角，sinB>0,

所以-sinA=若cosA,可得tanA=-A/^,

因为Ae(。，兀),所以A=石；

(2)(I)止匕时AB=2=2AD,ADJ.AB,

所以的=y/AB2+AD2=卡),所以

cosZABC=—=AZABC=—=^=,sinC=sin[B+—

sinLV5UI2J—V52音10+姮5

BD75BD75I3.

2义忑8g+4

ACAB…ABsinZABC

在VABC中，由正弦定理可得-------=>AC=-------------------

sinZABCsinCsinC非岳一11

----------1---------

105

(II)设ACAD=a,由S4ABe=S/AD+SACW,

27T27T

可得A/5〃=2sin(~^--a)+bsma,化简可得也力一Z?sina=2sin(^--a)

bCD2_BD

有sin/ADCsina'sinZADB2兀,

sin^——ct)

Z?sinersinZADB_1

由于3D=2£)C,所以sin/ADcX].2n2,

zsin^——CL)

sin(?-a)i拒b