辽宁省丹东市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

丹东市2024〜2025学年度（上）期末教学质量监测

九年级数学

考试时间：120分钟满分：120分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）

1.下列方程是关于X的一元二次方程的是（）

1,,

A.—+x=1B.ax"+bx+c=Q

x

C.y2+3x=2D.（x+1）2=2x2

2.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.图乙所示的几何体是可以形

成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成

的几何体.则图乙模型的左视图是（）

3.匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者.丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体

育赛事上面迈出了重要一步.小亮同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效799次,

请估计他有效发球的概率大约为（）

A.0.7B.0.75C.0.8D.0.85

4.关于x的一元二次方程必+"—i=o的根的情况，下列说法正确的是（）

A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根

C.方程没有实数根D.方程的根的情况与左的取值有关

5.已知三个点（—3,必）,（2,%）,（5,%）在反比例函数y=—的图象上，则下列结论正确的是（）

x

A.%<%（为B,%〈为<%

C.%<%<%D.%<%<为

6.“黄海明珠”丹东塔屹立在元宝山上，为全市之最.设计者将塔顶设计为球型，象征着丹东这座东北东

部现代化沿海城市犹如一颗璀璨的明珠在祖国的东方冉冉升起，因此冠名“黄海明珠”.某天，测量小组位

于C点处进行测量，此时测得测量点C到塔底点B距离机米，顶端A的仰角为a,则塔高48为（）

米.

m

C.mtanaD.

sina

7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点8、C都在横线上,

过点力的另一条直线分别与点从C所在横线的交点为点D,E,则△48。与的面积比为（）

8.物理实验课上，某小组的同学通过移动滑动变阻器控制小灯泡电流的变化.如图是该小灯泡的电流/（A）

与电阻R（。）的关系图象，该图象经过点尸（800,0.25）,根据图象可知，下列说法正确的是（）

A.I与R的函数关系式是/=200R(R>0)B.当0</<0.25时，7?<800

C当/>0.25时，7?>800D.当火>800时，0〈/<0.25

9.“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱.如图，正方形4BCD

是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点(端点除外)都是这条线段的黄金分割点，若A8=10mm,

A.1575-5B.6C.575-5D.8

10.如图，在边长为8的菱形45C。中，点E,尸为边Z。，CD上的动点，且ZE=CE,连接成，CE,

若菱形45CD面积为60，则成+CE的最小值为()

A.15B.16C.17D.18

第二部分主观题

请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上

二、填空题(每小题3分，共15分)

「「a1ea+b

11.已知一二一,则---=______.

b2b

12.一元二次方程N-2x=0的解是.

13.在平面直角坐标系中，已知点£(-4,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，相似比为1：2,把

△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标是

14.如图，某一时刻阳光透过窗户48照射到室内，在地面上留下3米宽的亮区。£,已知窗户下端到地面

的距离8c=1米，亮区。£到窗户下端墙脚的距离CE=1.5米，那么窗户高48为.・米.

15.如图，正方形48C。中，点E为正方形45CD对角线NC上一点，连接将线段绕点E顺时

针旋转，使点。恰好落在8c边上的点尸处，（尸不与点2、C重合），连接。尸，交ZC于点G,下列结

论：①DB上EF；②CGEG=DGFG；@AE2+CG2=EG\④若ZE:EC=1:3时，则

CF:BF=1:2；其中正确的结论有（填序号）.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.解决下列问题:

（1）计算：2cos300-11-tan600|+

（2）解方程：2x2—x-6=0-

17.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应

变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中8c为

常数（且a,c/0）.根据此定义解决下列问题：

（1）一元二次方程-4必+3x+1=0的倒方程是；

（2）若x=—l是一元二次方程——2x+c=0的倒方程的解，求出。的值;

（3）若比是一元二次方程-6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，贝|加3+加2一6加+2025的值为

18.我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次

30分钟的大课间体育活动.某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A.踢足球，B.踢毯子，

C.跳绳，D.丢沙包，E.跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查(每名

学生只能从中选择一种最喜欢的)，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

(1)本次参与抽样调查的学生共有人；

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毯子”的学生有多少人？

(4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两

名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.

19.在矩形48CQ中，对角线NC与相交于点。，过点。作直线。，8。，交4D于点£,交BC

于点尸，连接尸.

(1)求证：四边形AEDE是菱形;

(2)若BE平分/ABD,BF长为2,求四边形RFDE的面积.

20.某数学兴趣小组，在学完“三角函数的应用”后，将一副三角板与刻度尺4BCD进行了如图摆放，两

三角板的斜边分别落在刻度尺下沿的ZE、4F处,ZMAE=45°,NN4尸=60。，其中交直尺上沿于

点G,4N交直尺上沿于点H,若点G在尺子上的读数恰为3cm,请求出点打在尺子上的读数为多少？

(结果精确到0.1cm,参考数据：1.414,V3«1.732)

NM

\/y^P\56r\8910111213

AEFB

21.丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游.某旅行社推出“丹东畅游

团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研.

素材9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的

1报名人数将达到5760人.

经过研讨，旅行社初步制定方案为：

素材

①每团60人；

2

②每人团费1000元.

素材在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人

3团费不低于800元

问题解决

任务

确定增长率求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率.

1

任务

拟定价格方案若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费.

2

请根据以上素材，完成任务1,2.

22.定义在平面直角坐标系中，函数尺的图象经过平行四边形45CD一条对角线的两个端点，则称函数R

是平行四边形45CD的“D/”函数，函数少的图象经过平行四边形48CD的四个顶点，则称函数少是

平行四边形ABCD的“QD”函数.

(1)已知：如图1,在平行四边形48CD中，ZZ)〃x轴，若A点坐标为(1,6),5点坐标为(-1,加)，函

514

数了=—x+一是平行四边形48CD的“DJ”函数.

"99

①求加的值及点。的坐标；

②是否存在反比例函数y=±是平行四边形48CD的“D/”函数，若存在，求出左值，若不存在，请说

x

明理由；

(2)已知：如图2,若A点坐标为(2,6),点B在第一象限内，其坐标为(。,6),反比例函数y=—是平

x

行四边形48C。的“0。”函数.

①请在图2中画出平行四边形48CD；

②若a=4,求平行四边形45CD的面积；

③平行四边形48CD是否可以成为矩形，若可以，直接写出6的值，若不可以，请说明理由.

23.己知：如图1,正方形25co中，4B=12,点尸是对角线NC所在直线上一动点，连接BP,DP,将

△沿40折叠,得到V4DE,点尸的对应点为点£,射线交直线于点“，交40边所在直线

于点G.

(1)①求证：AABP^/\ADE；

②求证：BHLDE-,

（2）将△/£>尸沿DP折叠，得到点A的对应点为点尸.

①如图2,当点尸在对角线ZC上，且。E〃区P时，求N4P5的度数：

②如图3,当点尸在C4延长线上，且尸尸，AP时，连接EE,判断△£阳的形状，并说明理由；

③当点尸,民尸在同一直线上时，请直接写出以点4P,H,E为顶点的四边形面积.

参考答案

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）

1.下列方程是关于X的一元二次方程的是（）

1,,

A.—+x=lB.ax~+bx+c=0

x

C.y2+3x=2D.（x+1）2=2x2

【答案】D

【解析】

【分析】考查了一元二次方程的概念.判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然

后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知

数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】A、-4+x=l,不是x的一元二次方程，故A选项不正确；

x

B、ax2+bx+c=0>a=0时，不是x的一元二次方程，故B选项不正确；

C、y2+3x=2,不是x的一元二次方程，故C选项不正确；

D、（x+1）2=2x2,化简得x2-2x-l=0,是x的一元二次方程，故D选项正确.

故选：D.

2.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.图乙所示的几何体是可以形

成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成

的几何体.则图乙模型的左视图是（）

A.

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了几何体的三视图；根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视

图为1歹！J,进而得出答案即可.

【详解】解利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的

摆放的主视图为1歹U,

故选：A.

3.匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者.丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体

育赛事上面迈出了重要一步.小亮同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效799次,

请估计他有效发球的概率大约为（）

A.0.7B.0.75C.0.8D.0.85

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握是解题的关键.

799

实验值——=0.799接近0.8,可以估计概率为0.8.

1000

799

【详解】解：：——=0.799®0.8.

1000

概率为0.8.

故选：C.

4.关于x的一元二次方程/+日—i=o的根的情况，下列说法正确的是（）

A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根

C.方程没有实数根D.方程的根的情况与左的取值有关

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当

4ac〉0时,方程有两个不相等的实数根当4ac=0时，方程有两个相等的实数根当〃-4ac<0

时，方程没有实数根.

根据一元二次方程根的判别式即可进行解答.

【详解】解：•.•*+—i=o,

.•.A=yl2-4xlx（-l）=yl2+4>0,

.•.方程有两个不相等的实数根，

...A选项正确；B选项、C选项、D选项都不正确.

故选：A.

2

5.已知三个点（―3,凹）,（2/,）,（5,%）在反比例函数〉=—的图象上，则下列结论正确的是（）

x

A,必<%<%B.%<%<%

c.y3<y2<JiD.为<%（%

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键.

根据反比例函数的图象可得弘<0,%〉0,%〉0,再根据反比例函数的增减性可得.

【详解】解：：反比例函数y=2中，2>0,

X

・・・图象在第一、第三象限，丁随X增大而减小，

2

•.•点（—3,乂）,（2,8）,（5,%）在反比例函数了=—的图象上，点（一3,%）在第三象限，（2,%）和（5,%）在第

x

一象限，

%<0，%>0,%>0,

•••2<5,

%>乃，

故选：B.

6.“黄海明珠”丹东塔屹立在元宝山上，为全市之最.设计者将塔顶设计为球型，象征着丹东这座东北东

部现代化沿海城市犹如一颗璀璨的明珠在祖国的东方冉冉升起，因此冠名“黄海明珠”.某天，测量小组位

于C点处进行测量，此时测得测量点C到塔底点B距离机米，顶端A的仰角为a,则塔高48为（）

米.

m

C.mtanaD.

sina

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题.熟练掌握仰角概念，正切定义，是解题的关键.

根据正切定义解答，逐一判断即得.

【详解】解：：5C=机，NABC=a,tanZACB=,

BC

AB=BCtanNACB=mtana.

故选：C.

7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点8、C都在横线上,

过点力的另一条直线分别与点从C所在横线的交点为点D,E,则△48。与的面积比为（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形.熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.

q

设点4到AD,C£的距离分别为d,h,根据BD〃C£,得AABDSACE,得一^q=2

c

口，CE{ACJ16

【详解】解：设点/到RD,CE的距离分别为d,h,

•：BD//CE,

△ABDS^ACE,

.AB_d_3

,•就一厂屋

故选：D.

8.物理实验课上，某小组的同学通过移动滑动变阻器控制小灯泡电流的变化.如图是该小灯泡的电流/（A）

与电阻R（C）的关系图象，该图象经过点尸（800,0.25）,根据图象可知，下列说法正确的是（）

A./与R的函数关系式是/=200A（A〉0）B.当0〈/<0.25时，7?<800

C.当/>0.25时，7?>800D.当R〉800时，0〈/<0.25

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的应用.熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，

是解题的关键.

根据图象设/与五的函数关系式是/=2（氏〉0）,将尸（800,0.25）代入关系式，求出反比例函数关系式,

再根据函数的增性对各选项即可判断是否正确，进而得到答案.

【详解】解：A、设/与7?的函数关系式是/=g（R〉0）,

..•该图象经过点尸（800,025）,

U=200,

：.I与R的函数关系式是/=群（氏>0）,

故A不正确；

B、：200>0,

，/随R增大而减小，

.•.当0〈/<0.25时，7?>880,

故B不正确；

C、当/>0.25时，0<R<800,

故C不正确；

D、当火〉800时，0〈/<0.25,

故D正确.

故选：D.

9.“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱.如图，正方形ABCD

是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，若A8=10mm,

A.1575-5B.6C.575-5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了黄金分割.熟练掌握黄金分割是解题的关键.

由题意知/£=5/，=1二1,可求得幺尸=5石—5.

AB2

【详解】解：由题意知，AE=BF,9=41二1,

AB2

.AFV5-1

••--------------

102

解得，AF=545-5-

故选：C.

10.如图，在边长为8的菱形48CD中，点瓦/为边ZD,CD上的动点，且ZE=CE,连接

BF,CE,若菱形4BCQ面积为60,则AF+CE的最小值为()

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合.熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质,

勾股定理，是解题的关键.

作点C关于的对称点G,连接CG交于点，，连接NG,AE,EG,则CE=EG,可得

CG1BC,根据S菱形/-co=力。・8=60,力。=8,得CH=7.5,得CG=2S=15,得BG=17,根据

菱形性质和NE=CF,可得A4BE丝ACBF(SAS),得BE=BF,得BF+CENBG,得BE+CE取得

最小值为17.

【详解】作点C关于4D的对称点G,连接CG交4D于点"，连接/G,AE,EG,

则CG「。，CH=GH,CE=EG,

•/AD//BC,

：.CG1BC,

'-SMD=AD.CH=60,AD=8,

：.CH=7.5,

:.CG=2CH=15,

BG=^BC2+CG2=17>

:菱形ASCQ中，AB=BC,NA=NBCD,且NE=CF,

:."BE^ACBF(SAS),

BE=BF，

：.BF+CE=BE+CE=BE+EG>BG,

;当点£在线段8G上时，8£+C£取得最小值17.

第二部分主观题

请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上

二、填空题(每小题3分，共15分)

——a1,a+b

11.已知一=一,n则---=______.

b2b

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】本题考查了比例性质.

条件式两边加1,化简即得.

1Q1I1a+b3

【详解】解：-,—+l=—+1,・•・-------=一

b2b2b2

3

故答案为：一.

2

12.一元二次方程x2-2x=0的解是.

【答案】玉=0,々=2

【解析】

【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【详解】方程整理得：x(x-2)=0

可得x=0或1-2=0

解得：避=0,必=2

故答案为：xi=O,X2=2.

13.在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，相似比为1：2,把

△EFO缩小，则点E的对应点£的坐标是.

【答案】(-2,1)或(2,-1).

【解析】

【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案.

【详解】解：•••顶点E的坐标是(-4,2),以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似

图形△£下，()，

...点E，的坐标是：(；x(-4),yx2),[-yx(-4),x2],

即(-2,1)或(2,-1).

故答案为(-2,1)或(2,-1).

【点睛】本题考查位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形

对应点的坐标的比等于k或-k得出是解题的关键.

14.如图，某一时刻阳光透过窗户48照射到室内，在地面上留下3米宽的亮区。E,已知窗户下端到地面

的距离2C=1米，亮区到窗户下端墙脚的距离CE=1.5米，那么窗户高4B为米.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决

实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问

SXZC。，

题转化为数学问题.根据光沿直线传播的道理可知则△JBC£2根据相似三角形的

对应边的比相等即可解答.

【详解】解：.••太阳光是平行光线，

AD//BE

.'./\CBE〜八CAD,

,CEBC

一而一就‘

1

nHnQ___1_._5___=________

1.5+3-1+AB

.1AB=2米，

故答案为：2.

15.如图，正方形48CD中，点E为正方形48CD对角线NC上一点，连接将线段£>£绕点E顺时

针旋转，使点。恰好落在8c边上的点尸处，（E不与点3、C重合），连接。交ZC于点G,下列结

论：①DBLEF；②CGEG=DGFG；@AE2+CG2=EG\④若ZE:EC=1:3时，则

CF:BF=1:2；其中正确的结论有（填序号）.

【答案】②③##③②

【解析】

【分析】连接5£）,如图所示，由正方形性质及过点E有且只有一条直线与垂直即可判断①；过点E

作EML8C、EN1DC,如图所示，由正方形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质

即可得证②；将VZQE绕着点。逆时针旋转90。得到△OHC,如图所示，由旋转性质、全等三角形的判

定与性质及勾股定理判定即可得证③根据:EC=1:3,由平行线分线段成比例及②中的求证过程即可

得到CF:BF=1:1即可判断④，从而确定答案.

【详解】解：连接8。，如图所示:

在正方形48CQ中，DBLAC,

ZC与斯的交点为£,

・•・根据过点E有且只有一条直线与垂直可知，DBLEF错误,即①不符合题意;

过点E作EML8C、ENA.DC,如图所示：

AD

BMFC

ZEMF=ZEND=90°，

由旋转性质可知，ED=EF,

在正方形幺5CQ中，ZC是/BCD的角平分线，则瓦0=£N,

在RtAEMF和RIAEND中，

ED=EF

,EM=EN'

RtA£WF^RU£A©（HL）,

NMEF=NNED,

在正方形中，/BCD=90。，£M=£N,则四边形EMCN为正方形,

AMEN=ZMEF+AFEN=90°,

/FED=NFEN+NNED=90°,

在△££0中，ED=EF,ZFED=90°,则△££）/为等腰直角三角形，

NEDG=45°,

VZGCF=45°,ZDGE=NFGC,

...ADGEs"GF,

——=——,即CG-EG=QG-EG,即②符合题意；

CGFG

将VZQE绕着点。逆时针旋转90。得到△O8C,如图所示：

:./\ADE^/\CDH,

AE=CH,DE=DH,NCDH=NADE,ZDCH=ZDAE=45°,

...NNS=90°,

在RtACGH中，由勾股定理可得，CH?+CG2=HG2，即AE2+CG2=HG2，

•/ZEDG=45°=ZADE+NFDC，

:.ZFDC+ZCDH=45°,

在△EQG和△AUG中，

DE=DH

<ZEDG=ZHDG,

DG=DG

:.AEDG^HDG（SAS）,

GH=EG,

AE-+CG2=EG1，即③符合题意;

如图所示:

AE:EC=1:3,

由平行线分线段成比例可得"=竺=』,

NCEC3

设DN=a,则NC=3a,

AB=BC=CD=AD=4。,且正方形的边长CN=EN=EM=MC=3a，

•・,RGEMF咨RGEND,

MF=DN=a,

/.CF=CM—MF=3a—a=2af

CF:BF=2a:（4a-2a）=1:1,即④不符合题意；

综上所述，正确的结论有②③，

故答案为：②③.

【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及正方形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的

判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转性质、平行线分线段成比例等知识，熟记相关几

何性质并灵活运用是解决问题的关键.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.解决下列问题：

-1

（1）计算:2cos300-11-tan60°|+

（2）解方程：2X2-X-6=0.

【答案】（1）-1

3=

（2）Xj=――jx22

【解析】

【分析】（1）利用绝对值的代数意义，负整数指数幕以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算

即可求出值；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解:2cos300-|l-tan60°|+^-1^

=2义告-卜闾+（-2）

=△+1-6-2

=-1;

【小问2详解】

解：%—6=0,

（2x+3）（x-2）=0,

・，.2x+3=0,x—2=0,

.__2

•・X]—9X?—2.

【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幕，负整数指数塞以及特殊角的三角函数值，解

一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键.

17.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应

变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程G2+加；+0=0的倒方程，其中见“c为

常数（且a,c/0）.根据此定义解决下列问题：

（1）一元二次方程-4必+3》+1=0的倒方程是

(2)若x=—l是一元二次方程一一2》+0=0的倒方程的解，求出。的值；

(3)若必是一元二次方程-6/+》+1=0的倒方程的一个实数根，则用3十机2一6〃?+2025的值为

【答案】⑴X2+3X-4=0

(2)c=-3

(3)2025

【解析】

【分析】此题考查了新定义一倒方程.熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键.

(1)根据新定义的含义可得答案；

⑵根据题意得到方程X2-2X+C=0的倒方程为CX2-2X+1=0,把x=-1代入即可得到c的值；

(3)根据题意得到方程-6x2+x+1=0的倒方程为必+》_6=0,再结合方程根的性质进一步解答即可.

【小问1详解】

解：方程-4必+3x+l=0的倒方程是；x2+3x-4=0；

故答案为：x2+3x—4=0；

【小问2详解】

解：由题意得：方程X2_2X+C=0的倒方程为次2一2%+1=0,

把x=—l代入方程，

得c+2+l=0,

c=—3

【小问3详解】

解：由题意得：方程-6x°+x+1=0的倒方程为x?+x—6=0,

,/m是方程必+%_6=o的一个实数根,

m2+m-6=0>

m3+m2-6m+2025=m^m2+m-6^+2025=0+2025=2025.

故答案为：2025.

18.我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次

30分钟的大课间体育活动.某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A.踢足球，B.踢毯子，

C.跳绳，D.丢沙包，E.跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查(每名

学生只能从中选择一种最喜欢的)，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

(1)本次参与抽样调查的学生共有人；

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有1000名学生，请估计选择“踢毯子”的学生有多少人？

(4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两

名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.

【答案】⑴100名

(2)见解析(3)200名

(4)-

6

【解析】

【分析】本题考查了统计图和概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，补全条形统计图，样本

估计总体，列表法或画树状图法求概率，是解题的关键.

(1)用/项数据计算；

(2)总人数减去/、B、C、E的人数得到。项有人数，补上条形图即可；

(3)1000乘踢毯子人数的占比即得；

(4)列表求出所有等可能情况总数和同时选中甲乙的情况总数，用概率公式计算即得.

【小问1详解】

解:104-10%=100(名)；

故答案为：100；

【小问2详解】

解：100-（10+20+40+5）=25（名）；

【小问3详解】

解：lOOOx—=200（名）；

100

故选择“踢毯子”的学生有200人;

【小问4详解】

解：列表如下:

甲乙丙T

甲—甲乙甲丙甲丁

乙乙甲—乙丙乙丁

丙丙甲丙乙—丙丁

T丁甲丁乙丁丙—

共有12种等可能结果，其中选中甲乙的结果有两种,

选取甲乙）=2=:

故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为』.

6

19.在矩形中，对角线ZC与5。相交于点。，过点。作直线上户，8。，交于点E,交BC

于点尸，连接BE,DF.

AED

(1)求证：四边形REDE是菱形；

(2)若BE平分N4BD,BF长为2,求四边形RFDE的面积.

【答案】(1)见解析(2)2也

【解析】

【分析】(1)根据矩形性质求出08=0,AD//BC,,推出/EDO=/FB0,可得

△DE0咨ABFO(ASA),推出OE=。尸，结合EF上BD,即可推出皮吆>£是菱形；

(2)根据角平分线性质与菱形性质得N4B£=/D3£=N5£>E,结合矩形性质得N4BE=30°,得

AE=1,得48=6,根据S菱形诋E=8尸-4B即可得到结论.

【小问1详解】

解：•••四边形48CD是矩形，

：.OB=OD,AD//BC,,

/EDO=ZFBO,

•1,ZDOE=ZBOF,

：.^DEO^BFO(ASA},

OE=OF,

,/EFLBD,

...四边形5阳E是菱形；

【小问2详解】

•/BE平分/ABD,

/.NABE=ZDBE,

:四边形REDE是菱形，

/.BE=DE=BF=2,

/.ZBDE=ZDBE,

ABAD=90°,

・•・/ABD+ZADB=3/ABE=90°,

：.ZABE=30°,

：.AE=-BE=1,

2

AB=y]BE2-AE2=V3，

S菱形BFDE=BF-AB=2A/3.

【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度的直角

三角形性质，熟练掌握是解决问题的关键.

20.某数学兴趣小组，在学完“三角函数的应用”后，将一副三角板与刻度尺45C。进行了如图摆放，两

三角板的斜边分别落在刻度尺下沿的ZE、/尸处，AMAE=45°,NW4尸=60。，其中交直尺上沿于

点G,4V交直尺上沿于点X,若点G在尺子上的读数恰为3cm,请求出点打在尺子上的读数为多少？

（结果精确到0.1cm,参考数据：0=1.414,1.732）

【解析】

【分析】本题考查三角函数求长度，涉及等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数等知识，根据

题意得到ND4G=45°,ADAH=30°,先由等腰直角三角形的判定与性质确定4D=DG=3cm,进

而在中，由tan/D4〃=迫=也=也求解即可得到答案，读懂题意，熟练运用特殊角的

AD33

三角函数是求出线段长是解决问题的关键.

【详解】解：：NMAE=45°,NNAF=60°,

根据题意，ND4G=45°,ZDAH=30°,

在RM/OG中，DZ)=90°,ZDAG=45°,则RR4DG为等腰直角三角形，

/.AD=DG=3cm,

在RtANOX中，60=90°,ZDAH=30°,则tanNDAH=也=也=叵,

AD33

DH=V3®1.7cm，

答：点”在尺子上的读数约为1.7cm.

21.丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游.某旅行社推出“丹东畅游

团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研.

素材9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的

1报名人数将达到5760人.

经过研讨，旅行社初步制定方案为：

素材

①每团60人；

2

②每人团费1000元.

素材在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人

3团费不低于800元

问题解决

任务

确定增长率求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率.

1

任务

拟定价格方案若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费.

2

请根据以上素材，完成任务1,2.

【答案】任务一：20%；任务二：950元

【解析】

【分析】本题考查了列一元二次方程的应用一增长率问题和购买问题，解应用题的关键是熟练掌握终止

量与起始量和增长次数的关系，总价与单价和数量的关系，列出方程.

任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为x,列方程4000(1+x)2=5760,解方程即可求解;

任务二：设每人的团费下调。元，根据题意列方程(1000-a)[60+*J=61750,求解即可.

【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为X,

由题意，得4000(l+x)2=5760.

解得再=0.2,x2=-2.2(不符合题意，舍去).

/.x=0.2=20%.

答：这两个月报名人数的月平均增长率为20%.

任务2：设每人的团费下调。元，

由题意，得(1000—a)[60+今]=61750.

解得%=350,a2=50.

当a=350时，1000—350=650<800(不符合题意，舍去)，

当a=50时，1000—50=950,

答：下调后每人的团费为950元.

22.定义在平面直角坐标系中，函数尺的图象经过平行四边形4BCD一条对角线的两个端点，则称函数R

是平行四边形45CD的“D/”函数，函数少的图象经过平行四边形48CD的四个顶点，则称函数小是

平行四边形48CD的“纱”函数.

片

—X

图1图2备用图

(1)已知：如图1,在平行四边形48CD中，轴,若A点坐标为(1,6),8点坐标为(-1,加)，函

514

数>=—x+—是平行四边形4BCD的“DJ”函数.

"99

①求加的值及点。的坐标;

②是否存在反比例函数y=2是平行四边形4SCD的“D/”函数，若存在，求出左值，若不存在，请说

x

明理由；

(2)已知：如图2,若A点坐标为(2,6),点B在第一象限内，其坐标为(。,6),反比例函数y=—是平

x

行四边形4BCD的“纱”函数.

①请在图2中画出平行四边形ABCD；

②若a=4,求平行四边形48C。的面积；

③平行四边形4BCD是否可以成为矩形，若可以，直接写出6的值，若不可以，请说明理由.

【答案】⑴①机=1,0(8,6)②6

(2)①见解析②36③a=6/=2

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理

解题意是解答本题的关键.

⑴①先判断函数尸沁£的图象经过点8,求出优的值，设点。的坐标为(〃,6),代入＞*+]

可得〃=8,从而可得点。的坐标；②求出点C的坐标为(6,1),可判断点力,点C在反比例函数图象上，

从而可得结论；

(2)①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形45CD；

②由a=4可求出点8的坐标，根据中心对称的性质可得出点。的坐标，过点/作NELC户于点£,过点

B作BF_LC7