空间角与探索性问题（2种考法）原卷版

重难点08空间角与探索性问题(2种考法)

【目录】

考法1：空间角问题

考法2：探索性问题

Q二、命题规律与备考策略

1.求异面直线所成的角的三步曲

QB)。［即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角1

即证明作出的角是异面直线所成的角'：

‘需三民夜序由相由而£而甚电向南京薪始

或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝：

、角，则它的补角才是要求的角；

2.求直线和平面所成角的关键

作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体

积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

(1)由定义做出二面角的平面角

(2)用三垂线定理找二面角的平面角

(3)找公垂面

(4)划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤

(D建立空间直角坐标系；

(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；

(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；

(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角.

5.利用向量法求两平面夹角的步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；

(3)求两个法向量的夹角；

(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)

6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法:

一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后

再根据条件给出证明或计算。

［关键技巧》空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需

要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题

转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法

解题。

a二或方法

考法1：空间角问题

1.（2023・上海青浦・统考二模）如图，在直三棱柱ABC-A4c中，底面ASC是等腰直角三角,

AC=BC=AAi=2,。为侧棱AA的中点.

⑴求证：平面ACCM；

（2）求二面角B.-CD-C,的正弦值.

2.（2023・上海宝山•统考二模）四棱锥的底面是边长为2的菱形，ZZMS=60°,对角线AC与

8。相交于点O,POl^ABCD,PB与底面ABC。所成的角为60。，E是P8的中点.

B

⑴求异面直线DE与执所成角的大小（结果用反三角函数值表示）;

（2）证明：OE〃平面丛。，并求点E到平面出。的距离.

3.（2023•上海闵行•统考二模）如图，在四棱锥PA2C。中，底面ABC。为矩形，尸。回平面A8CD,

PD=AD=2,AB=4,点E在线段A8上，S.BE=^-AB.

⑴求证：CEB平面PBZ）；

⑵求二面角P—CE—A的余弦值.

4.（2023•上海黄浦・上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱ABC-4旦G中，AA1=2,AC=1,延长CB

至。，使CB=3D.

⑴求证：CA1DA；

⑵求平面B.AO与平面AOC所成锐二面角的余弦值.

5.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模）已知正方体ABC。-AAGR,点£为4A中点，直线4G

交平面CDE于点。

⑴证明：点/为4C的中点;

（2）若点M为棱A瓦上一点，且直线与平面CDE所成角的正弦值为迷，求瞿的值.

6.（2023•上海普陀・曹杨二中校考三模）如图，在四棱锥C-ABED中，正方形ABED的边长为2,平面

ABED,平面ABC,且3CAC,/^=括，点6,尸分别是线段£^,皮）的中点.

⑴求证：直线GP〃平面A3C；

⑵求直线GF与平面8DE所成角的大小.

7.（2023•上海长宁•上海市延安中学校考三模）已知ABC和VADE所在的平面互相垂直，ADVAE,

AB=2,AC=4,ZBAC=120°,O是线段BC的中点，AD=6

⑴求证：AD±BE；

⑵设AE=2,在线段AE上是否存在点尸（异于点A）,使得二面角A-族-C的大小为45。.

8.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）如图，直三棱柱ABC-A与J内接于圆柱,

AB=AAi=BC=2.,平面A2CJ_平面A4,4B

⑴证明：AC是圆柱下底面的直径;

(2)若M为4cl中点，N为CG中点，求平面A8C与平面所成二面角的正弦值.

9.(2023・上海金山・统考一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，已知底面A3C。，底面A8CO是正方

形，PA^AB.

⑴求证：直线平面PAC；

(2)求直线PC与平面PBD所成的角的大小.

10.(2023,上海•统考模拟预测)如图，在正三棱柱ABC-AAG中，AA1=AC=2,分别为C。，A,B

的中点.

⑴证明：ED〃平面ABC；

⑵求直线CC,与平面&BD所成角的大小.

11.（2023下•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）如图，为圆O的直径，点E尸在圆。上,

AB//EF,矩形ABCD所在平面和圆。所在的平面互相垂直，已知AB=2,£F=1.

⑴求证：平面ZM产，平面CB尸；

（2）当AD的长为何值时，二面角C—EF—B的大小为60。？

12.（2023•上海杨浦•统考二模）四边形ABC。是边长为1的正方形，AC与8。交于0点，24,平面

ABCD,且二面角P—3C—A的大小为45。.

⑴求点A到平面PBD的距离；

(2)求直线AC与平面PCD所成的角.

13.(2023•上海宝山•上海交大附中校考三模)如图，平面ABCD,四边形A3CD为直角梯形,

AB//CD,ZADC=90,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求异面直线AB与PC所成角的大小:

(2)求二面角8-尸C-D的余弦值.

14.(2017•上海黄浦,统考二模)如图，在直棱柱ABC-4与&中，AA,=AB=AC=2,AB1AC,

D,E,F分别是4片,CG,BC的中点.

(1)求证：AE_LD尸；

(2)求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离.

考法2：探索性问题

1.(2022上•上海虹口•高二华东师范大学第一附属中学校考期末)如图，在三棱柱ABC-A京C中，底面

ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面A41GC为菱形，点人在底面上的投影为AC的中点。，且

AB=2.

⑴若M、N分别为棱AB,4G的中点，求证：B\M||平面CDV；

(2)求点C到侧面44,左B的距离；

⑶在线段A片上是否存在点E,使得直线。E与侧面用3#所成角的正弦值为如？若存在，请求出

7

的长；若不存在，请说明理由.

2.(2023上•上海普陀・高二上海市晋元高级中学校考期末)正ABC的边长为4,CD是A3边上的高，E、F

分别是AC和8C边的中点，现将..ABC沿。翻折成直二面角A-DC-3.

0

⑴求证：直线平面£>£F；

(2)求二面角E-Db-C的余弦值;

⑶在线段8c上是否存在一点尸，使APLDE?若存在，请指出P点的位置，若不存在，请说明理由.

3.(2022上•上海浦东新•高二校考期末)如图，正四棱锥S-MCD的底面边长为2,侧棱长是2形，点尸

为侧棱SD上的点.

⑴求正四棱锥S-ABCD的体积；

(2)若平面PAC,求二面角P-AC-D的大小；

⑶在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得3E〃平面P4c.若存在，求跖:EC的值；若不

存在，试说明理由.

4.(2023上•上海静安・高二校考阶段练习)如图，已知ABCD是矩形，点尸为平面A3C。外一点，上4,平

面ABCD,若点E为PB的中点，PA=AB=1,BC=2.

p

⑴求证：/a_1平面尸3。；

⑵求直线AE与直线PC所成角的大小;

⑶在边BC上是否存在一点G,使点。到平面PAG的距离为夜，若存在，求出3G的值，若不存在，请

说明理由.

5.（2023上•上海宝山•高二上海市行知中学校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是

以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点人在底面上的投影为AC的中点。，且AB=2.

B

⑴求证：BD±CC,；

（2）求点C到侧面M与8的距离；

⑶在线段44上是否存在点E,使得直线OE与侧面①与出所成角的余弦值为包？若存在，请求出AE

7

的长；若不存在，请说明理由.

6.（2023上•上海长宁•高二上海市复旦中学校考期中）在正方体A8CD-A4GA中，E是棱DR的中点.

⑴作出平面ABE与平面ABC。的交线，保留作图痕迹.

⑵在棱G2上是否存在一点尸，使得用尸/平面A8E?若存在，请说明/的位置，若不存在，请说明理

由；

⑶求二面角8-AE-A的余弦值.

7.（2023•上海虹口•统考一模）如图，在三棱柱ABC-A用G中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角

形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点）且

A41GC4AC£,AB=2.

⑴求证：BD

±CQ;

（2）求点C到侧面AA^B的距离；

⑶在线段A耳上是否存在点E,使得直线。E与侧面内所成角的正弦值为如？若存在，请求出A