三角形的证明与计算（含4种解题技巧）-2025年中考数学二轮复习（原卷版）

模块二图形与几何基础

第04讲三角形的证明与计算

（思维导图+2考点+14种题型（含4种解题技巧））

01考情透视•目标导航＞题型07利用分类讨论思想解决特殊三角形

02知识导图•思维引航计算问题

03核心精讲•题型突破院题型08利用分类讨论思想解决全等/相似

考点一三角形的相关计算三角形问题

＞题型01与高，中线，角平分线，垂直平分考点二三角形的相关证明

线的计算院题型01利用全等三角形的性质与判定求解

＞题型02与三角形有关的角度计算问题院题型02利用相似三角形的性质与判定求解

院题型03利用全等三角形的性质求解»题型03利用特殊三角形的性质与判定求解

＞题型04利用相似三角形的性质求解＞题型04与三角形有关的多结论问题

院题型05利用特殊三角形的性质求解院题型05勾股定理的证明

＞题型06三角形有关的折叠问题院题型06三角形与函数综合

考情透视•目标导航

中考考点命题预测

三角形作为初中数学几何部分的重要内容，其在中考数学中的考查频率和难度都较为突出。

【常见题型】

L选择题与填空题：选择题和填空题主要考查三角形的基础知识和简单计算，如三角形的三边

关系、内角和、外角性质、中位线定理等。此类题目通常较为简单，但要求考生对知识点掌握

准确。

2.解答题：解答题部分对三角形的考查更为深入，常涉及三角形全等的证明、特殊三角形的性

质和判定等。此类题型综合性较强，要求考生具备良好的逻辑推理能力和计算能力。

3.压轴题：在一些地区的中考中，三角形的证明与计算也会出现在压轴题中，通常结合四边形、

三角形的圆等其他几何知识，考查学生的综合运用能力和创新思维。

证明与计【命题预测】

算L注重基础知识的理解和运用：中考数学对三角形证明与计算的考查始终以基础知识为核心，

强调对概念、定理的理解和灵活运用。

2.强化实际应用：近年来，中考数学越来越注重与实际生活的联系，解直角三角形部分常常以

实际应用题的形式出现，要求考生能够将所学知识应用于解决实际问题。

3.提升综合思维能力：随着中考改革的深入，三角形的证明与计算题型逐渐向综合化、创新化

方向发展，要求考生具备较强的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。

综上所述，考生在复习三角形证明与计算部分时，应注重基础知识的学习和掌握，强化对

全等三角形和特殊三角形性质和判定的理解，提升解直角三角形的实际应用能力，并通过大量

练习提高逻辑推理和综合运用知识的能力。这样，才能在中考中取得优异的成绩。

知识导图•思维弓I航

三三角形的

三角形的高、中线、角平分线中位线、

角重要线段

SSS蟒千

形厂定理:三角形的两边之和大于第三边.

SAS找夹角已知两边-一三角"™J

的

三

全三角形的两边之差小于第三边.

角

HL找直角基

形

等「定理:三角形三个内角和等于180°.

AAS找另一角为角的对边的-三角形的内角和T

三1

性--直角三角形的两个锐角互余.

一边、一角

找夹角的另7质

SAS角

一

三I-定理：三角形的外角和等于360°.

ASA找夹边的另一角T5是角的邻边形

-三角形的外角和

角

判崛「三角形的一^卜角等于和它不相邻的两个内角的和

AAS的对角一L三角形的一^卜角大于任何f和它不相邻的内角

定

形

ASA

-------------------------------1已知两角的

AAS找其中一角的对边------------

证r概念：有两边相等的三角形角等腰三角形.

明p等腰三角形的两个底角相等——等边对等角

❶三边成比例等腰三角形-蜩

与

相L等腰三角形的顶角平分线、底边上的--

性质与判定

❷两角分别相等

似中线、底边上的高相互重合.-

计

三

两边成比例算L判定｛

❸两边夹一角

夹角相等卜角

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

形

与其它两❹平行于三角形厂陪三的三角形叫等边三角形.

边相交3，边的直线判

尼角形等边三角形的三条边相等.

定

等边三角形

❺斜边和直角边成比例（Rt）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.

性质与判定

一定义法

L判定一一三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.

匚有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

厂直角三角形两个锐角互余.

厂性质一一直角三角形斜边上的中绕于斜边的一半.

1-在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

直角三角形

-两个内角互余的三角形是直角三角形.

性质与判定

_三角形一边上的中皤于这条边的一半，那么这个三角

1-判定形是直角三角形.

-有Y角是直角的三角形叫做直角三角形.

如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个

三角形是直角三角形.

核心精讲•题型突破

考点一三角形的相关计算

真题研析

＞题型01与高，中线，角平分线，垂直平分线的计算

1.（2024.山东德州•中考真题）如图，在AABC中，AD是高，4E是中线，AD=4,ShABC=12,则BE的长

为（）

A

2.（2023・四川眉山・中考真题）如图，△ABC中，2。是中线，分别以点A,点2为圆心，大于之48长为半径

作弧，两孤交于点M,N.直线MN交力B于点E.连接CE交力。于点F.过点。作DGIICE,交4B于点G.若

DG=2,贝|CF的长为.

3.(2024.山东德州.中考真题)如图RtAABC中,Z.ABC=90°,BD1AC,垂足为O,3E平分的C,分别

交BD,BC于点尸，E.^AB-.BC=3:4,贝!]BF:FD为()

4.（2024•山东泰安.中考真题）如图，RtAABC中，乙4BC=90。，分别以顶点A,C为圆心，大于的长

为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N,作直线MN分别与BC,4C交于点E和点F；以点A为圆心，任意

长为半径画弧，分别交力B,AC于点”和点G,再分别以点“，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧

交于点P,作射线2P,若射线4P恰好经过点E,则下列四个结论：@ZC=30°；②4P垂直平分线段BF；

③CE=2BE；@ShBEF=^SAABC.其中，正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

方法技巧

线段

三角形的高三角形的中线三角形的角平分线

名称

AAA

图形

语言B二C

DDD

VAD是AABC中BC边的高VAD是AABC中BC边的中线VAD是AABC中NBAC的角平分线

性质,ZADB=ZADC=90°1

・・・NBAD=NDAC二一ZBAC

2

BD=CDSAABD=SAADC=—SAABC

2

用途

1）线段垂直.2）角度相等.1）线段相等.2）面积相等.角度相等.

举例

线段

三角形的中位线三角形的垂直平分线

名称

BAAC

图形

语言

C

VDE是AABC的中位线・・,直线1是AB的垂直平分线

性质

1・・・PA=PB,AC=BC,NPCA=NPCB=90°

'DE。BCDE//BC

用途

1）线段平行.2）线段关系.1）线段相等.2）角度相等.

举例

＞题型02与三角形有关的角度计算问题

5.（2024山西•中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力6

的方向与斜面垂直，摩擦力尸2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25。，则摩擦力F2与重力G方向的夹角S

的度数为（）

______________

▼G

A.155°B.125°C.115°D.65°

6.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，4B是。。的直径，点C在4B的延长线上，CD与。。相切于点D,若NC=

7.(2024•甘肃兰州•中考真题)如图，在A28C中，AB^AC,^BAC=130°,DALAC,贝UNADB=()

A.100°B.115°C.130°D.145°

8.（2024.黑龙江绥化・中考真题）如图，已知乙4。8=50。，点P为NAOB内部一点，点M为射线04点N为

射线。B上的两个动点，当APMN的周长最小时，贝吐MPN=.

9.（2024・四川凉山・中考真题）如图，AXSC43,^BCD=30°,AACB=80°,CD是边4B上的高，4E是NG4B

的平分线，贝吐2EB的度数是.

方法技巧

1)三角形的内角和为180°；

2)直角三角形中两锐角和为90°；

3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

＞题型03利用全等三角形的性质求解

10.(2024・四川资阳•中考真题)第14届国际数学教育大会(/CME-14)会标如图1所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(AABE,LBCF,

ACDG,ADAH)和一个小正方形EFG”拼成的大正方形2BCD.若EF：AH=1：3,贝Usin乙4BE=()

11.(2024•浙江・中考真题)如图，正方形48CD由四个全等的直角三角形(△48&43。？4。。6［。2”)和中

间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若4E=4,BE=3,则。E=()

12.(2024•甘肃临夏・中考真题)如图，在△4BC中，点力的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),

点D在第一象限(不与点C重合)，且AABD与AdBC全等，点。的坐标是.

13.(2024・湖北•中考真题)如图，由三个全等的三角形(AABE,ABCF,△C4D)与中间的小等边三角形DEF

拼成一个大等边三角形28C.连接BD并延长交4C于点G,若4E=ED=2,则：

(1)NFDB的度数是

（2）DG的长是

＞题型04利用相似三角形的性质求解

14.（2024・四川巴中•中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,贝|OG=（）

15.（2025・上海静安•一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的9倍，那么

它的周长扩大为原来的一倍.

16.（2024•山东青岛•一模）如图，将沿BC边上的中线4D平移到△A8C的位置，己知A4BC的面积

为9,阴影部分三角形的面积为4.若44=1,贝UAD等于（）

23

A.2B.3C.-D.-

32

17.（2024.江西.模拟预测）将一把直尺与△48C按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，AC,BC分

别与直尺的另一边交于点D,E.若点4,B,D,E分别与直尺上的刻度4.5,8.5,5,7对应，直尺的宽为1cm,

则点C到边4B的距离为

c

'_67\89

hull浦川I川小川，uh川1小小1冰山1小川I

AB

＞题型05利用特殊三角形的性质求解

18.（2024•宁夏.中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该

直线的解析式可能为（写出一个即可）.

19.（2024・陕西・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,E是边力B上一点，连接CE,在BC右侧作BF||AC,

且BF=AE,连接CF.若4C=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为

20.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形A8C的顶点力的坐标为（0,4）,点均

在x轴上.将△4BC绕顶点4逆时针旋转30。得到△AB'C',则点C'的坐标为.

21.（2024・河南.中考真题）如图，O。是边长为4百的等边三角形力BC的外接圆，点。是废的中点，连接BD,

CD.以点。为圆心，BD的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

.8n„.-16n--〃

A.—B.4irC.—D.16ir

33

22.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,AB=2V5,AC=2,分别以点A,B

为圆心，大于巳AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交4B,BC于点D,E,连接

⑴求CD的长；

⑵求△力CE的周长.

方法技巧

等腰三角形性质：

1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，

①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，

②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.

2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.

【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.

等边三角形的性质：

1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；

2）等边三角形的三条边相等；

3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.

直角三角形的性质：

1）直角三角形两个锐角互余.

2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

＞题型06三角形有关的折叠问题

23.（2024・四川・中考真题）如图，Rt△力BC中，ZC=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点3

重合，折痕DE与力B交于点。，与力c交于点E,贝ICE的长为.

24.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，在纸片AABC中，NC=90。/8=60。，点D,E分别在边力B,AC上,

且2D=4E,将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点尸处，贝!]BD:CE=（）

A.3:2B.V3:2C.2V3:3D.4:3

25.（2023•湖北武汉•中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FD&4C分别与。凡EF

相交于G,H两点.若DG=m,£7/=几，用含的式子表示GH的长是.

方法技巧

思路：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角

与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾

股定理列方程使问题得以解决.

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形,利用未知数表示其它直角三角形三边,通过勾股定理/相似三角

形知识求解.

＞题型07利用分类讨论思想解决特殊三角形计算问题

26.（2025中原区一模）在等腰AABC中，AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部分,

则这个等腰三角形的腰长为.

27.（2024大庆市二模）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a,—4=&2c2一。2°2,则△力BC是（）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

28.（2024云岩区一模）在△2BC中，NC为钝角，乙4=48。，如果经过△2BC其中一个顶点作一条直线能把

△4BC分成两个等腰三角形，那么NC的度数为.

29.（2024•新疆中考真题）如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,AA=30°,AB=8.若点。在直线力B上（不与

点A,B重合），且NBCD=30。，贝必。的长为.

30.（2024・四川雅安・中考真题）如图，在△（BC和A/WE中,AB=AC,Z.BAC=^DAE=40°,将绕

点A顺时针旋转一定角度，当2D1BC时，NB4E的度数是

31.（2024•江苏盐城•模拟预测）已知直角三角形的两边长分别为3、1.则第三边长为

边长分类：若己知等腰三角形的周长和一条边长，但未指明该边长是腰长还是底边长，则需要分两种情况

讨论：一是该边长为底边，求两腰长；二是该边长为腰长，求底边长。

角度分类：若已知等腰三角形的一个角度，但未指明是顶角还是底角，也需要分两种情况讨论：一是该角

度为顶角，求两个底角；二是该角度为底角，求顶角。

2.直角三角形

边长分类：若己知两边求第三边长.

＞题型08利用分类讨论思想解决全等/相似三角形问题

32.（2025宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点。（0,0）,点4（1,0）,B（0,2）,C（3,0）,点

。在第一象限内，如果以点。、。、C为顶点的三角形与△2。8相似，那么这样的点D有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

33.（2025・湖北黄石•一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转

角度是.

A,C

B

34.（2021・山东日照・中考真题）如图，在矩形2BCD中，AB=8cm,AD=12cm,点P从点B出发，以2cm/s

的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以ucm/s的速度沿CD边向点D运动，到达

点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当u为时，AABP与APCQ全

核心精讲

全等图形的性质:

全等三角形的对应边相等，若AABWADEF,则AB=DE,AC=DF,BC=EF

全等三角形的对应角相等若AABCmADEF,贝iJ/A=ND,ZB=ZE,ZC=ZF

全等三角形的周长相等，面积相等

右A/4BCADEF,则S”5c0AA^^M)EF

全等三角形对应边上的高线相等，AABCmADEF,则AG=DJ（对应边上的高线相等）

对应边上的中线相等，对应角的角AI=DL（对应边卜.的中线相等）

平分线相等.AH=DK（对应角的角平分线相等）

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方

法时一定要注意找准对应关系.

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3）相似三角形周长的比等于相似比.

4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

5）传递性：若△ABCSABDC,AABC^AADB,则4BDCSAADB.

解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运

用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.

命题预测

1.（2025・陕西・一模）如图，在△力BC中，N84C=30。，AB4c的平分线4。交8c于点。，点。在2。上，。4的

垂直平分线分别交AC、于点E、F,连接OC,若。C=4尸=4,则AAOC的面积为.

2

2.（2024•安徽亳州.模拟预测）在△ABC中，若卜in2—寸+（'—cos8）=0,则“=.3.（2025・陕

西西安.一模）割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”.著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵

活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题.在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半

广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长

方形面积导出的.如图中的三角形下盈上虚，以下补上.如果图中矩形的面积为20,那么图中阴影部分的

4.（2025•山东滨州・模拟预测》如图,A4BC中,NB=90。,将△4BC绕点B逆时针旋转90。,若BC=3,AC=4,

点4旋转后的对应点为4,则次/的长是.

5.（2025•河南安阳•模拟预测）如图，等腰三角形力BC中，AB=AC=3,BC=4,点。为平面内一点，且

乙BDC=90。,连接4。，贝"2。的最小值为,最大值_____.

A

D.

BE---------------------

6.（2025・陕西・一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证

明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的

小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两条直角边

长分别为n,则77m=.

7.（2025•山东滨州•模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

（1）力。的长等于；

（2）只用无刻度的直尺作出△ABC的2C边上的高BD.（保留作图痕迹）.

8.（2024.辽宁抚顺.二模）△ABC为等边三角形，。为平面内一点，连接AD,将AD绕点。顺时针旋转60。,

得到线段DE,连BD,CE.当N£MC=30。，AB=2®2D=4时，CE=.

9.（2024・湖南长沙•模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与

较大部分的比值，其比值为寺这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.如图,

乐器上的一根弦长4B=80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支

撑点。是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,。之间的距离为cm.（结果保留根号）

考点二三角形的相关证明

真题研析

＞题型01利