实数（6个知识点+10类题型突破）原卷版-2024-2025学年人教版七年级数学下册

实数（6个知识点+10类题型突破）

01思维导图

平方根、算术平方根

平方根和立方根

立方根

实数实数的定义

实数的性质

实数

实数的比较大小

实数的运算

02知识速记

知识点一：平方根和立方根

^类型

平方根立方根

被开方数非负数任意实数

符号表示±G

一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；

性质相反数；零的平方根为零；负数一个负数有一个负的立方根；

没有平方根；零的立方根是零；

(«)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论V?"二Q

\-a{a<0)V-ci--\[a

知识点二：实数

有理数和无理数统称为实数

1.实数的分类

按定义分：按与o的大小关系分:

正有理数

正数

'有理数:有限小数或无限循环小数正无理数

实数实数

无理数:无限不循环小数<0

负有理数

负数

负无理数

特别说明：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无

限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如、6,舱等；②有特殊意义的数，如口；③有特定结构的

数，如0.1010010001…

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

(4)实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点----对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式:

1任何个实数。的绝对值是非负数，即|a|20

2)任何个实数。的平方是非负数即/2o

3)任何非负数的算术平方根是非负数即4a>0(a>0).

非负数具有以下性质

1)非负数有最小值零

2)有限个非负数之和仍是非负数

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算:

数。的相反数是一。；一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值

是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除,

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大;

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

03题型归纳

题型一平方根、算术平方根、立方根

例题：（24-25八年级上•全国•期末）1的平方根；1的算术平方根；1的立方根；

巩固训练

1.（22-23七年级下•重庆江津•期末）病的平方根是，-8的立方根是.

2.（23-24七年级下•福建厦门•期末）计算：（1）的=；（2）双=；（3）土"=\

（4）卜一闽=.

题型二非负数的性质:算术平方根

例题：（23-24八年级下•广东江门•期末）已知x、y为实数，且GT+3（y-2）2=0,则.

巩固训练

1.（23-24七年级下•新疆喀什・期末）若实数b满足|。+2|+麻万=0,则而^的值是.

2.（23-24七年级下•广东肇庆•期末）如果Jl-3x和Jy-27互为相反数,那么而的平方根是.

题型三利用平方根与立方根的定义解方程

例题：（24-25八年级上•江苏无锡•阶段练习）解方程

⑵64/+27=0.

巩固训练

1.(22-23八年级上•四川眉山•阶段练习)解方程

(1)4(X+2)2-16=0；

⑵(21)3-26=1.

2.(24-25八年级上•全国・期中)解方程:

(1)4(X-1)2-49=0；

(2)27(2x-l)3=64.

3.(24-25七年级上•山东泰安•阶段练习)求下列式子中的x值

(l)9(x+l)2=25

(2)(-2+x)3=-216

(3)-X2-3=0

(4)27(X+1)3+64=0.

题型四平方根与立方根综合

例题：(24-25八年级上•陕西宝鸡•阶段练习)已知a+1的算术平方根是1,-27的立方根是b-12,c-3

的平方根是±2.

(1)求a,b,c的值；

⑵求a+6+c的平方根.

巩固训练

1.(24-25八年级上•四川成都•期中)已知26-2的立方根是-2,4a+36算术平方根是3.

⑴求a、b的值；

(2)求2a-6的平方根.

2.(22-23七年级下•广西钦州•阶段练习)已知x的两个平方根是a+3与2.-15,且26-1的算术平方根是

3.

(1)求的值；

⑵求a+6-l的立方根.

3.（24-25八年级上•广东佛山•阶段练习）已知。+1的算术平方根是1,-27的立方根是6-12,c-3的平方

根是+2.

（1）求a,b,c的值：

⑵求a+b+c的平方根和立方根.

4.（23-24七年级下•湖北黄石・期中）已知2a-1的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=O.

⑴求a、b、c的值；

（2）求a+6+c的算术平方根.

题型五实数和实数的性质

例题：（23-24七年级上•江苏苏州・期末）|2-叫=,|3-同=—.

巩固训练

1.（23-24七年级下•天津滨海新•期末）2亚-6的相反数是.

2.（22-23七年级下•北京丰台•期中）石的相反数是；石-2的绝对值是.

题型六无理数

例题：（24-25七年级上•浙江杭州•期中）在下列数中，属于无理数的是（）

22

A.B.一无C.2.5D.——

7

巩固训练

1.（24-25七年级上•浙江金华•期中）在0.458,4后,百-肪L010010001...（每两个1之间依次多1个

0）这几个数中，无理数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

71,I-----7r-

2.（24-25七年级上•浙江杭州•阶段练习）在实数3.14,衣,0.23,0.1010010001,y，V-27，-，V3

中，无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（24-25七年级上•浙江杭州•阶段练习）在实数3.1415926,3，0，—>J100，-032,-#10。，

0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

题型七实数与数轴

例题：（23-24七年级下•贵州黔南•期末）若点/在数轴上的位置如图所示，则点/在数轴上表示的无理

数可能是.（只填一个）

A

IIII1Il.lI»

-4-3-2-101234

巩固训练

1.（23-24七年级下•黑龙江齐齐哈尔・期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数JTT对应的可能是

点（填“4域“8”或“。，或“£>"）.

IAlB.lIC.D

-3-2-10123

2.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图1,我们知道用两个面积为1dm2的小正方形能拼成一个面积为

2dm2的大正方形，如图2,在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形

的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是.

图1图2

题型八实数大小比较

例题：（24-25八年级上•全国•期末）比较大小：6屈.

巩固训练

1.（23-24七年级上•黑龙江哈尔滨•期末）比较大小：V3-2_--.

一2

2.（23-24七年级下•辽宁大连•期末）比较大小：V2