实数【八大题型】（原卷版）-2025年中考数学一轮复习

实数【八大题型】

色题型梳理

题型5绝对值的非负性题型1实数的分类

题型6实数的混合运算题型2实数与数轴

题型7绝对值的几何意义题型3相反数和倒数的应用

题型8数轴上的动点问题题型4化简绝对值

办实基砒,建g兔整知盥体东

1实数的分类

（（正有理数）

有理数0有限小数或无限循环小数

实数J（负有理藜1

（无理数｛栽翳｝无限不循环小数

2实数的相关概念

2.1数轴

规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴.

2.2相反数

（1）相反数的概念

像3和一3,:和一!这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的几何意义

（1）在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则0的相反数是0.

（2）互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等.

（3）相反数的性质

若a,b互为相反数，则a+6=0.

2.3绝对值

(1)绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|.

(2)绝对值的代数定义

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；。的绝对值是0.

用字母表示为：

如果a>0,贝！J|a|=a；如果a<。，贝！J|a|=—a；如果a=0,则|a|=。.

即⑷=｛二臂累).

2.4倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

用字母表示为：ax!=l(aK0),就是说a和:互为倒数，a的倒数是，：的倒数是a.

3科学记数法

把一个大于10的数表示成ax10”的形式(其中1<a<10,n是正整数)，这种记数法是科学

记数法.

4近似数的精确位

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

5实数的运算

5.1实数运算次序

(1)先乘方，再乘除，最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.

5.2实数的运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a；

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(6+c);

(3)乘法交换律：ab=ba；

(4)乘法结合律：(ab)c=a(bc);

(5)乘法分配律：a(Jj+c)=afo+aco

基本方法馍块化学打，壁造解散俄力

【题型1】实数的分类

1A•,Ji

【典题1】-2.4,3,-2020,-y,0.1010010001...,-0.15,0,-(-30%),-|-4|

(1)正数集合：｛...)

⑵无理数集合：｛

(3)分数集合：｛…｝；

(4)非正整数集合：｛…｝;

【典题2】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根.②闻的平方根是±3.③-125的

立方根是±5.鳄是一个分数.⑤9是一个无理数.其中正确的有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【巩固练习】

1.下列实数中，有（）个有理数.

今3兀、V4,V27>9、0.01001000100001...

A.2B.3C.4D.5

2.在实数表近、y、V9>0.1010010001中，无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.下列各数为负数的是（）

A.|-3|B.0C.V2D.

4.关于实数0.5和字下列判断中，正确的是（）

A.都不是分数B.都是分数

C.0.5是分数，苧不是分数D.0.5不是分数，手是分数

【题型2】实数与数轴

【典题1】在数轴上表示数：0,—（+5）,|-1.5|,-3|,-（-3）,5.按从小到大的顺

序用“〈”连接起来.

-5-4-3-2-161234^

【典题2】如图，点/、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、C,且。4+0B=0C,则下

列结论中：①abc<0；②a（b+c）>0；③a-c=b；④解+卷+?=1-其中正确的个数

有（）.

CAOB

_________I_________I1I_________

ca0b

A.1个B.2个C.3个D.4个

【巩固练习】

1.数。和数6在直线上的对应点的位置如下图，数6可以用下列算式（）表示.

-----1---------1--------1——11——i1------>

-2-10a162

A.u+—B.a——C.uX—D.a+§

2.数轴上的点M表示一2,将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N,那么

点N表示的数是（）

A.6B.-3C.-10D.-6

3.如图，数轴上两点48所表示的数分别为一3,1.若点C在数轴上，且48=3。则点

C表示的数是（）

4IIIh

-3-2-101

A.8B.5C.5或一4D.5或一11

4.数轴上点4B、C、。对应的有理数都是整数，若点B对应有理数b,点C对应有理数c,且

3c=9,则数轴上原点应是（）

ACBD

A.2点B.B点、C.C点D.D点、

5.如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点。到达点

P,这个点P表示的数为,它是数.

6.如图，数轴上依次有4B,C三点，它们对应的数分别是a,b,c,若BC=2AB=6,

a+b+c=O,则点C对应的数为.

ABC

_।______।_____________।__4

【题型3】相反数和倒数的应用

【典题1】下列各对数中，互为相反数的是（）

A.一（-2）和2B.+（—3）和一（+3）

C.舞口一（一2）D.—（―5）和一|+5|

【典题2】已知a,6互为相反数,c,d互为倒数,x是绝对值等于2的负数,则乂2—①+6+cd）

X+（a+6）2023+（—cd）2024的值为（）

A.3B.7C.3或7D.无法计算

【巩固练习】

1.下列几组数中，互为相反数的是（）

A.23和一32B.（—1）2023和—12002c.一（一6）和一|一6|

D.（一3）3和—33

2.如图所示，点在数轴上，则将加、n、0、—m,―几从小到大排列正确的是（）

_________1111111A

m0-n

A.—m<—n<0<m<nB.m<n<0<—m<—n

C.—n<—m<0<m<nD.m<n<0<—n<—m

3.若5x与2—3x互为相反数，贝咏等于（）

A.1B.-1C.-D.-

4.已知a,6互为相反数，c是绝对值最小的负整数，〃?，〃互为倒数，则詈+c3—3an的值

为()

A.2B.-2C.4D.-4

5.若a,b(a丰0,匕70)互为相反数，〃是正整数，贝U()

A.a2n和b2n互为相反数B.a2n+l和b2n+l互为相反数

C.a2和炉互为相反数D.屋和6n互为相反数

【题型4】化简绝对值

【典题1】已知三角形的三边长为4、X、10,化简：|x-5|+|x-15|-

【典题2】已知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,

IIII>

cb0a

(1)判断下列各式与0的大小：

①b+a0；②a—b0；③be0；

（2）化简式子:|a|—|a+fo|+|c—fa|+|a+c|.

【巩固练习】

1.已知表示有理数a,b的点在数轴上的位置如图所示，则高+卷的值是（）

----1------------1——«------>

a0b

A.-2B.-1C.0D.2

2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简一|可+J（a—b）2的结果是（）

-------1-------------------------1--------------1>

a0b

A.—aB.ciC.—bD.b

3.若<a<V3,则化简A/Q2—2a+1—|a一2|的结果是（）

A.2d—3B.—1C.一CLD.1

4.若|久+4|=7,贝卜的值是（）

A.3B.-11C.3或一11D.3或11

5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，且|a|=\b\.

___I____।______।______I»

cb0a

(1)比较a,—a,—c的大小；(用>连接)

(2)化简\CL+b\—\CL—b\+\CL+c\—\b—c\.

【题型5］绝对值的非负性

【典题1】若|y+2024|+（%—2023）2+|2022—z|=0,则（％+y1的值是（）

A.-1B.1C.0D.2

【巩固练习】

1.已知比+丫+2|+(2%—3)7—1)2=0,则x,y的值分别是()

345

A.1,-B.1,一■=■C.-1,一~D.-1,-1

b54

2.如果|a+2|与(b—1尸互为相反数，那么代数式(a+6)2。17的值是()

A.1B.-1C.±1D.2008

3.若。一2)2+Jy+5+|z+l|=0,贝!Ixyz的值是()

A.10B.-10C.3D.-3

【题型6]实数的混合运算

【典题1](1)10+(-15)-(-17)；

(2)(+0.125)-(-31)+(-31)-(+1.75)；

(3)(-3)2-60-22x|+|-2|；

(4)-32X+(|-|+|)x(-24).

【巩固练习】

1.下列运算正确的是()

A.(一3尸x(—2)+(―6)=9B._(_I)?。。x(—2)4=—8

C.(—8)x3+(―2尸=12D.12—7x(—4)+8+(—2)2=42

2.定义新运算“㊉”如下：当a2b时，。㊉人二必―a；当a<6时，a®b=ab+a.其算符

号意义不变，按上述规定计算(—2)㊉(―9()

A.-1B.-2C.—5D.-4

3.计算

131

-+

(1)10+(-14)-(-18)-13(2)(—24)x3-4-6-

37

(3)(-78)+]+(-12)(4)-16--X[2-(-3)2]

4.计算

⑴—32+(—23+1+G—0)x24；⑵*x(-0.9)2.

【题型7］绝对值的几何意义

【典题1】阅读材料：田的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即因=|%-0|,

也可以说因表示数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|xi-犯1表示数

轴上数句与数冷对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：

(l)|x+3|=4；

(2)若x为有理数，代数式3-|x+2|有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值

是多少？如果没有，请说明理由；

(3)若x为有理数，则|x—+—3|有最值(填“大”或“小”)，其值为.

【巩固练习】

1.先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：|%+3|=2.

解：当％+3NO时，原方程可化为％+3=2,解得第=—1；

当久+3＜0时，原方程可化为X+3=—2,解得久=—5.所以原方程的解是X=—1或

x=—5.

(1)解方程：|3%-1|-5=0；

(2)若|x-a|+|x+1|的最小值为4,求a的值.

2.数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合.我们知道，\a\

表示数轴上a所对应的点与原点之间的距离.这个结论可推广为：若4B在数轴上分别表示

有理数a、b,则4B两点之间的距离可表示为距离4B=|a—4.例如，数轴上表示2和3的

两点之间的距离为|2—3|=1,表示一2和一3的两点之间的距离为|(一2)—(-3)|=1.利用

数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和一1的两点之间的距离为一.

(2)若6表示一个有理数，数轴上表示小和-1两点之间的距离可表示为一(用含小的式子表

示).

(3)若%表示一个有理数，且一4＜无＜2,则设-2|+|x+4|=_.

(4)若x表示一个有理数，且|x++|久一3|=5,贝！.

3.我们知道一个数万的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数万的点离原点(表示数0)

的距离，在数轴上表示两个数x,y的点之间的距离可以表示为—如|x+2|+|x—1|

可以表示点x与点1之间的距离跟点x与一2之间的距离的和，根据图示易知：当点久的位置

在点A和点B之间(包含点A和点B)时，点x与点A的距离跟点x与点B的距离之和最小,

且最小值为3,即|久+2|+|x—1|的最小值是3,且此时的x的取值范围为一2WxW1.请

根据以上阅读，解答下列问题：

AXB

]_______________I______।___________Ia

—2x01

(1)表示3的点与一1的点之间的距离表示为；

(2)|%+2|+|%|+|久一1|的最小值是此时％的值为；

(3)当|久+1|+|x|+|x—2|+|x—可的最小值是4.5时，求出a的值及％的值.

【题型8】数轴上的动点问题

【典题1】【阅读理解】

定义：点/,B,C为数轴上三点，若点C到/的距离是点C到8的距离2倍，我们就称点

C是有序点对园切的乐点.例如：如图1,点N表示的数为一1,点8表示的数为2,点C

表示的数为1,则点C到点/的距离CA=2,点C到点8的距离CB=1,那么点C是有序

点对园B］的乐点；但点C不是有序点对［B,川的乐点.

ADCBXS111Y

-j-----,-----,_(t(__t_I---L_>.—1'-------'----------------------'--------~»►

-4-3-2-101234-4-3-2-10123456

图1图2

H002555~*

图3

【知识运用】

⑴判断，如图1,点。有序点对［B,C］的乐点，点。有序点对［C,B］的乐点(两空

均填“是”或“不是”)；

⑵如图2,x、y为数轴上两点，点x所表示的数为-3,点y所表示的数为6.数轴上的点S

在线段盯上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对［居y］的乐点；

(3)如图3,E、尸为数轴上两点，点E所表示的数为25,点尸所表示的数为55.有一只电

子蚂蚁尸从表示一10的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为，秒；

①当点尸在点£左边时，用含/的代数式表示点P和点£的距离PE=_，点P和点9的距

离PF=

②当/为何值时，P是E、尸两点所组成的有序点对的乐点？

【巩固练习】

1.如图，已知数轴上点4表示的数为6,B是数轴上在点4左侧的一点，且48两点间的距离

为10.动点P从点a出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t

(t>0)秒.

<—QBO◄—PA

_________III1I»

06

(1)数轴上点8表示的数是，点P表示的数是；

(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发,

则当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？

2.已知数轴上4、B两个点表示的有理数分别为a,b,且(a-1/+g+2|=0.

~BO_A*~BO~~A~”

备用图

(1)求a,6的值；

(2)从绝对值的定义来看，我们知道数轴上任意两点X1，尤2间的距离公式为|X1—冷1；点C在

数轴上表示的数是c,且与4、B两点的距离和为11,求c的值.

(3)小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位

于点4的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达

后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发

至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？

3.如图，数轴上点M,N对应的实数分别为一6和8,数轴上一条线段4B从点M出发（刚开始

点4与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M,N之间往返运动（点B到达点N立刻返

回），线段4B=2,设线段48的运动时间为t秒.

《邛

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-6018

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