数列（新定义）压轴强化训练27道（原卷版）-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

数列（新定义）压轴强化训练【27道】

1.（24-25高二上•福建龙岩•期中）已知数列｛%｝的前”项和数列也｝是各项均为正数的等比数歹U,

67+4=8(64+65)，且4=2.

⑴求应｝和0｝的通项公式;

为奇数

(2)设=<"M2,数列上｝的前〃项和为证明：北“〈生.

巴为偶数18

2b,

2.（24-25高三上•山东・期中）将〃2个实数排成〃行〃列的数阵形式如下;

⑴当〃=7时，若每一行每一列均构成等差数列，且%4=5,求该数阵中所有数的和/;

⑵若%>0（i"=l,2,…,且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为4的等比数列,已知弓=1。，

25=18,a46=88,设$=%+%2+…+。”“，求S的值.

2

3.（24-25高三上•天津河西•期中）设｛%｝是等比数列，公比大于0,也｝是等差数列.已知%=1,%=%+2,%=&+&,

。5=a+2b6.

⑴求｛a'｝和也｝的通项公式;

a”（b“-2）-1

（2）设的=,数列｛c“｝的前〃项和为求7；的值;

（。“+1）,（。角+1）

b”,n^2k,2"

⑶设dn=<4（log2“+l）,〃=2:其3,求

Z=1

3

4.(2024•浙江台州•一模)对于无穷数列｛g｝和如下的两条性质：4：存在实数彳＞0,使得ViJeN*且，＜九都

有叫£：任意iJeN*且任九都存在meN*，使得%=2。•

(1)若%="+1,”eN*,判断数列｛%｝是否满足性质耳，并说明理由；

n

⑵若不＜，2＜••・＜，"＜•••&eN*“=1,2,3,…),且数列也｝满足任意〃eN*，a=%,则称也｝为数列｛%｝的一个子数

列.设数列｛%｝同时满足性质6和性质5.

①若%=1,%=5,求生的取值范围；

②求证：存在｛%｝的子数列为等差数列.

4

5.(24-25高三上•天津滨海新•阶段练习)设数列｛为｝的前"项和为S.，若对任意的〃eN*，都有邑“=后”(左为非

零常数)，则称数列｛与｝为''和等比数列,”其中左为和公比.若｛"J是首项为L公差不为0的等差数列，且｛“｝是"和

等比数列,"令c'=玄，数列｛c.｝的前”项和为T„.

(1)求｛bn｝的和公比;

(2)求用；

⑶若不等式Tn-言学＞(-l)-m-2对任意的口eN*恒成立，求掰的取值范围.

5

6.(24-25高三上・北京・期中)设正整数数列｛%｝满足.=旨'%为偶数力eN*.

%+5,%为奇数

(1)若&=L请写出/所有可能的取值；

(2)记集合M二｛%|〃EN*｝,且％不是5的倍数，求证：

⑶存在常数T,对于V〃EN*者R有%+7=。〃，求/所有可能的取值.

6

7.（24-25高二上•福建龙岩•期中）已知数列｛氏｝满足％=1,-数列也｝满足々=2,b„+l=2h„.

an+lan矶〃+1）

⑴求应｝,0｝的通项公式；

（2）设=anbn,求数列｛c〃｝的前〃项和T”；

⑶若满足不等式丝包的正整数〃的个数为3,求优的取值范围.

8.（24-25高三上,江苏泰州•期中）已知数列｛0“｝为等差数列，公差前〃项和为S“，的为《和%的等比中项,

7

sn=⑵.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵是否存在正整数冽，〃（3＜加＜〃），使得工，—,‘成等差数列？若存在，求出加，〃的值；若不存在，请说

〃3。加%

明理由；

〃+i19

（3）求证：数列£±＜土

i=2E3

9.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知数列｛〃“｝的前〃项和为S〃，满足2S〃+「S“=2吗=1.

8

⑴求｛〃“｝的通项公式；

⑵若数列低｝,｛，“｝满足6.=-21og2%c"=",｛c“｝的前”项和为T“,若不等式7；一22北对一切正整数〃恒成

an

立，求力的取值范围.

10.（24-25高二,上海,随堂练习）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格°与其实

际价值之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与

9

商家的‘讨价还价;‘常见的方法是“对半还价法,"消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一

半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表.

次数消费者还价商家讨价

71ci=4+-(a-b)

第一次b,=—al

12

c2=b2+；(q—4)

第二次b2=9—g(q—乙)

A=C2--(C2-%)

第三次C3=，3+—(C2-仄)

第〃次=%-/(%-%)Cn=3+/(%-6〃)

消费者每次的还价”仅eN*）组成一个数列｛%｝.

⑴写出此数列的前三项，并猜测通项”的表达式；

⑵若实际价格b与定出a的价格之比为6=0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利

润？

11.（2025,广东深圳,一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这

个数列是一个“二阶等差数列,"已知数列｛%｝是一个二阶等差数列，其中q=1,%=3,%=6.

⑴求知及｛%｝的通项公式；

10

R/7—4〃

（2）设演”]〃求数列也｝的前〃项和S“

-4n-1

12.（24-25高三上•湖南岳阳・开学考试）有〃"”24）个正数，排成〃行〃列的数表：其中与表示位于第z・行，第j

列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知%=1,

8

11

a\\ana\3。14…a\n

。21a?2出3。24,,,a2n

。31a32a33。34…。3n

。41。42443。44…

an2an3〃〃4…ann)

⑴求公比.

⑵求〃]]+%+…+ann-

13.(2025・四川巴中•模拟预测)已知数列｛%｝的首项%=；,且满足。,用=

(1)证明：数列1]为等比数列；

⑵若—I-----1-------1-----1<50,求满足条件的最大整数〃.

Q]n

12

14.（24-25高三上•湖南,阶段练习）已知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，b^a,tan+l-2Sn.

⑴求证：数列也「bn｝是等差数列；

⑵若％>0,%。的，且｛2｝是等差数列，求证："-+-%-T---1--——<1---.

a2a3。3。4anan+\。2

13

15.（2025,黑龙江齐齐哈尔・一模）已知公差d不为0的等差数列｛叫的前"项和为S.,%=6,委=二

13

⑴求｛〃“｝的通项公式；

⑵令4=2%+12,记7；为数列｛,｝的前〃项和,若7；22024,求〃的最小值.

16.（24-25高三上•山东青岛•期中）如果正项有穷数列4,生，…,〃掰满足力，。加=1，24—1=1,…，即

a；.flm；+,=l（z-=l,2,...,m）,我们称其为"1的对称数列，"例如：数列2,3,1,；与数列3,2,1,1,（都是“1的

对称数列”.

（1）设低｝是项数为8的“1的对称数列:其中4也,“也是等差数列，且"=4,"=8,请依次写出也,｝的每一项；

14

⑵设数列｛c“｝是13项的“1的对称数列,”其中是等比数列，c,-c5=15,c2-c4=6,求数列｛c“｝的所有项和S

的最小值；

⑶设数列｛"“｝是2m项的“1的对称数列,"数列前加项的通项公式为d“="2+〃，求数列｛"“｝的前〃项和邑.（注：

12+22+...+"2="（"+1）伽+1））

6

17.（24-25高三上•山东泰安・期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或

者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：L证明当〃=〃。（%eN）时命题成立；2.假设〃=笈

leN,且左2%）时命题成立，推导出在〃=《+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从"。开

始的所有自然数"都成立.已知有穷递增数列｛%｝,%=-1,%>0,〃eN*且〃23.定义：集合

15

A=\^x,y）\x=at,y=ap\<i,j<n,i,jeN'|,若对V(X1,yJe/,三亿,为)€力,使得占马+.“%=0，则称｛氏｝具有

性质T

⑴若数列.1,1,2,m(w>2)具有性质7,求实数加的值;

⑵若｛a“｝具有性质T,且％=1,%=2,

(i)猜想当〃22时｛为｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想;

325"+1/、

（li）—+—+—++H（n-l）a„（“22）■

2a23%12%

18.(24-25高二上,江苏徐州・期中)已知数组N“：q,%,a"和8"：4，%，…,bn,若且%+初广&+%]

(后=2,3,»),则称纥为4的“应联数组

⑴写出数组4:4,3,1的“应联数组”反；

⑵若4的"应联数组''是为，证明：4，的,《成等差数列；

16

⑶若”为偶数，且4的“应联数组”是5,求证：….

19.(24-25高二上,江苏镇江•期中)已知数列｛叫满足％+&+…+a“=2"-a"("eN*).

(1)求生+&+。3的值；

⑵求证:数列｛log,&-2|｝是等差数列；

2

⑶令6“=(277-1)(2-%乂力eN*),如果对任意”N*，都有求实数/的取值范围.

17

20.（24-25高三上河南•期中）设有穷数列也｝的项数为加，若她用_,=。（。为常数，且。H0』=1,2,3,-一,机），则

称该数列为等积数列，a叫做该数列的公共积.

（1）若1也也,2,4是公共积为。的等积数列，求该数列的公共积。及&A；

（2）若低｝是公共积为。的等积数列，且/_.=cJeN*且为常数），证明：当m=4r+2（reN*）时，对任

18

意给定的”,C,数列也,｝中一定存在相等的两项；

⑶若也｝是公共积为1的等积数列，且0＜也.＜々+］（7=1,2,3,…，加T）,以是奇数，对任意的々，巧“"^加;I加都

存在正整数〃71,川，使得%=%求证：也｝是等比数列

21.（2024高三,全国・专题练习）已知无穷正项数列｛%｝单调递增，其首项记为1，SN=%+4+%+…+%

（〃eN）.若%＜五4%+「〃eM,其中"为正整数集的子集，称数列｛%｝在M内满足性质A；若名旦

nn

neM,称数列｛%｝在"内满足性质5；若黑1＞%用，〃eM,则数列｛叫在"内满足性质C.

n

⑴若2=2^1,判断数列｛%｝具有哪种性质，并说明理由；

19

⑵若数列｛氏｝具有性质5,证明：“23时，S,“〃-1）邑；

⑶若数列｛%｝是正整数数列，card（D）表示有限集合。中元素的个数，求证：若数列｛%｝满足性质A,则

card（M）=l.

22.（24-25高二上.上海.期中）在章节“用迭代序列求出的近似值''中，将方程x?=2等价变形为x=+构

造递推数列=工［“+工］来形成一个迭代序列｛xj,当n趋于正无穷大时，匕趋近于血.选取初始值为=8,并

2（Xn）

令4,Bn（xn+1,xn+l）,n=1,2,3,

⑴完成以下表格，并在图中画出线段4月，BH，A2B2,B2A3,4名；（精确到0.001）

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(2)证明：｛x.｝是严格减数列；

⑶设与=lg9g,证明｛对｝是等比数列，并求出卜,｝的通项公式及J则£的值.

23.(24-25高三上•江苏淮安•期中)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，/=1,电=4，«3=7,且NS“=”(％+]+8).

⑴求数列｛g｝的通项公式；

4

(2)若左eN*,当/时，bn=k',当应＜”＜即+]时，---=2.

。〃一1

①求数列｛%｝的前人项和小

②当〃=41时，求证：25“2-2左20.

K+1n—z.K+l

21

24.（24-25高二上•上海・期中）若项数为〃的有穷数列｛%｝满足%+%+%+...+%=0且同+同+同+”+同=1，我

们称这样的数列｛为｝为M数列：

⑴若数列｛%｝是/数列，且为等比数列，项数为2024,求该数列的通项凡；

⑵若数列｛%｝是/数列，且为等差数列，项数为2左+1（左eN且左＞0）,求该数列的通项q,（l左+1用左”表示

）；

⑶若数列｛叫是"数列，项数为”，记｛叫的前左项和为&（左=1,2,3,…⑼，若存在加e｛l,2,3,…，*使5,“=；,

22

试问：数列｛S,｝（，=1,2,3,…⑼能否是M数列，若能，求出所有这样的数列｛%｝；若不能,请说明理由.

25.（24-25高三上•江苏无锡・期中）在下面”行、〃列（〃eN*）的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为

1,公差为2的等差数列｛%｝；第一行所填各数自左向右构成首项为1,公比为2的等比数列｛%｝；其余空格按照“任

意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和'’的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为qgg,…,的.

第1列第2列第3列第”列

第1行12222“-1

第2行359

23

第3行510

第〃行2〃-1

⑴求数列｛c“｝通项公式；

⑵对任意的加eN*，将数列｛%｝中落入区间也“£”］内项的个数记为dm.

①求4和九的值;

②设数列｛册4｝的前加项和器；是否存在加e