2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题9.2 分式及其基本性质【八大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题9.2分式及其基本性质【八大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断分式变形正误】 1【题型2分式成立的条件】 3【题型3由分式的基本性质判断分式值的变化】 5【题型4将分式的分子分母系数化成正数】 6【题型5约分】 8【题型6最简分式的判断】 10【题型7求最简公分母】 12【题型8通分】 13知识点1：分式的基本性质1.分式的性质的基本内容：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。即：AB2.分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。即：A【题型1判断分式变形正误】【例1】（24-25七年级·四川凉山·期末）下列等式成立的是（）A．−x+y2=x+yC．x2−2xy+y【答案】C【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案.【详解】A.−x+y2B.x−3xC.x2D.xyx故选：C【变式1-1】（24-25七年级·山东烟台·期末）已知mn=2A．m−nn=13 B．m+2n+3=【答案】B【分析】本题考查了分式的变形，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行适当变形，即可得出答案．【详解】解：∵m∴m=2A.m−nnB.m+2n+3C.m2nD.3n=2m，由原式可知2n=3m，故选项D不符合题意；故选：B．【变式1-2】（24-25七年级·天津河东·期末）下列各等式变形不正确的是（

）①a2b=ac2bc(c≠0)；②2(3x−2y)3(2y−3x)=−23；③x+y2A．② B．③ C．④⑤ D．⑤【答案】C【分析】根据分式在性质对各个等式进行分析判断即可．【详解】①a2b②2(3x−2y)3(2y−3x)③x+y④−b−2a⑤am综上所述，变形不正确的是④⑤．故选C．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【变式1-3】（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．分式x2−4x−2B．根据分式的基本性质，等式mC．把分式0.6a−53D．分式34x−y【答案】C【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、分式x2−4x−2B、根据分式的基本性质，等式mn=mC、分式0.6a−53bD、分式34x−y故选：C．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．【题型2分式成立的条件】【例2】（24-25七年级·河北邯郸·期末）若5x=5(x−2)x(x−2)，则A．x≠0 B．x≠2 C．x≠0且x≠2 D．x≠0或x≠2【答案】C【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．【详解】解：当x−2≠0时，5(x−2)x(x−2)分子与分母同时除以x−2，分式的值不变，即5∴x≠2，又分式的分母不能为0，∴x≠0，∴x应满足的条件是x≠0且x≠2，故选C．【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0．【变式2-1】（24-25七年级·河南平顶山·期末）等式12=a【答案】a≠0【分析】依据等式的性质解题即可．【详解】解：12=故当a≠0时，此等式成立，∴a≠0，故答案为：a≠0．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【变式2-2】（24-25七年级·江苏无锡·期中）如果3x−y5x−y=3【答案】x≠y【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：由3x−y5x−y=3即x≠y，故答案为：x≠y．【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．【变式2-3】（24-25七年级·陕西西安·期末）已知|a−3|a2−6a+9=1【答案】a＜3【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．【详解】解：∵|a−3|a∴a-3＜0．解得a＜3．故答案为：a＜3．【点睛】本题考查的是分式的基本性质，绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．【题型3由分式的基本性质判断分式值的变化】【例3】（24-25七年级·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可．【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变，所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键．【变式3-1】（24-25七年级·北京昌平·期中）若将分式3xx+2y中的x，y都扩大10倍，则分式的值（

A．不改变 B．缩小为原来的1C．缩小为原来的1100 D．扩大为原来的10【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】由题意得：3x×10x×10+2y×10∴若将分式3xx+2y中的x，y都扩大10故选：A．【变式3-2】（24-25七年级·浙江宁波·期末）不改变分式0.2x+30.5x−1的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（

A．2x+305x−10 B．2x+35x−1 C．2x+305x−1【答案】A【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．【详解】解：0.2x+30.5x−1故选：A．【变式3-3】（24-25七年级·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式1x+12【答案】2【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为0的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘2即可求解，掌握分式的性质是解题的关键．【详解】解：1x+故答案为：22x+y【题型4将分式的分子分母系数化成正数】【例4】（24-25七年级·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式1−2x−x2A．2x−1x2+3x−3 B．2x−1x2−3x+3【答案】B【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．【详解】解：1−2x−故选B．【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．【变式4-1】（24-25七年级·山东烟台·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则−x+y−2x−y=【答案】x−y【分析】把分子分母同时除以−1，即可求解．【详解】解：−x+y−2x−y故答案为：x−y【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．【变式4-2】（24-25七年级·河南新乡·阶段练习）不改变分式−3x+1−x2A．3x+1x2−7x+2C．3x−1x2−7x+2【答案】C【分析】根据分式的基本性质即可求解．【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘−1得：−3x+1−故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式4-3】（24-25七年级·北京·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“－”号．①−2x−3y=；

②2x−1−x+1=③−x2+xyx2=【答案】2x3y2x−11−xy−【详解】①−2x−3y=2x②2x−1−x+1=2x−1③−x2+xyx④−x−1−x2−3x+1故答案为

(1).2x3y

(2).2x−11−x

(3).y−xx知识点2：约分公因式：①公因式的概念：一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。②公因式的求法：对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘积为公因式。最简分式的概念：分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。约分：①约分的概念：根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。②约分的步骤：Ⅰ.对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。Ⅱ.约去分子分母的公因式即可。【题型5约分】【例5】（24-25七年级·山东青岛·单元测试）下列约分正确的是（

）A．x6x3C．x2+4y【答案】B【分析】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．利用分式的约分定义判断即可．【详解】解：A、x6B、x−1x−5C、x2D、c2故选：B．【变式5-1】（24-25七年级·全国·单元测试）先化简，再求值：−a2+4b2【答案】a+2ba−2b，【分析】本题考查分式的约分化简求值，根据分式的性质，进行约分，再代值计算即可．【详解】解：原式=2b−a当a=34，b=−3【变式5-2】（24-25七年级·山东·课后作业）分式(2a−a2)(A．1a−1 B．aa−1 C．a+1a−1【答案】D【分析】将分子分母化简，再约分即可．【详解】解：2a−=a(2−a)(a+1)(a+3)=a+1故选：D【点睛】本题考查化简分式，解题关键为找公因式．【变式5-3】（24-25七年级·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（

）A．4x+2yx2−9C．x2−y【答案】A【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：A、4x+2yxB、x+yxC、x2D、x2故选：A．【题型6最简分式的判断】【例6】（24-25七年级·河北石家庄·期末）有分别写有x，x+1，x−1的三张卡片，若从中任选一个作为分式    x2−1【答案】x【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可．【详解】解：∵x+1xx−1xxx∴应选择写有x的卡片，故答案为：x．【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键．【变式6-1】（24-25七年级·湖南衡阳·期末）下列分式中最简分式是（

）A．1−a1−2a B．a−ba2−2ab+b2【答案】A【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可．【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式a−baC、原式2b+4abD、原式a2故选：A．【变式6-2】（24-25七年级·江苏·期中）已知三张卡片上面分别写有6，x−1，x2−1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为【答案】6x−1/【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如AB，A、B是整式，B中含有字母且B【详解】解：6为分母时不是分式，x2x+1x6x−1故答案为：6x−1【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．【变式6-3】（24-25七年级·山东青岛·单元测试）下列4个分式中：①a−3a2+3；②x−yx2−y【答案】2【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．【详解】解：①a−3a②x−yx③m2④2m+1∴最简分式有2个，故答案为：2．【题型7求最简公分母】【例7】（24-25七年级·山东济宁·期中）写出下列各组分式的最简公分母：x+1x,【答案】2x（x+3）（x-3）【分析】根据最简公分母的确定方法解答．【详解】解：x+1x,x6−2x,x−1x故答案为：2x（x+3）（x-3）．【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【变式7-1】（24-25七年级·湖北孝感·期末）分式bax，c3bx，A．15abx3 B．15abx5 C．【答案】A【分析】本题考查的是最简公分母的确定，要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．【详解】解：分式bax，c3bx，a5故选A【变式7-2】（24-25七年级·全国·单元测试）23x2x−y、12x−2y【答案】12x3y－12x2y2【分析】根据确定最简公分母的方法进行解答即可．【详解】系数的最小公倍数是12；x的最高次数是2；y与（x-y）的最高次数是1；所以最简公分母是12x2y（x-y）．故答案为12x2y（x-y）．【点睛】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．【变式7-3】（24-25七年级·上海闵行·阶段练习）分式x+52(x−3)2(x+2)与【答案】6（x-3）2（x+2）3.【分析】根据各分式的分母，寻找出最简公分母即可.【详解】解：最简公分母为6（x-3）2（x+2）3.【点睛】本题考查了确定分式的最简公分母的应用，注意：找最简公分母的方法是：系数找最小公倍数，相同的因式找最高次幂.知识点3：通分①通分的概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。②最简公分母的求法：最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。③通分的步骤：Ⅰ.将所有能分解因式的分母分解因式。Ⅱ.求出最简公分母。Ⅲ.利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。【题型8通分】【例8】（2024七年级·全国·专题练习）把a−1a2+2a+1与11−a2通分后，A．1−a B．1＋a C．−1−a D．【答案】B【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．【详解】解∶11−故11−a2故选∶B．【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．【变式8-1】（24-25七年级·山东·课后作业）把分式xx−y，yx+y，2x2−y2的分母化为xA．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2C．x2＋2xy-y2＋2 D．x2-2xy＋y2＋2【答案】C【分析】结合通分的知识将分式xx-y，yx+y的分母化为x2−y【详解】解:由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x-y)故将xx-y的分母化为x2−y2后可得将yx+y的分母化为x2−y2后可得y(x−y)x所以分式的xx-y,y