自动控制理论 课件版 6-1学习资料

控制系统的稳定性控制系统的稳定性第一节：线性系统有界输入-有界输出（BIBO）稳定性第二节：特征方程与稳定性的关系第三节：Liapunov稳定性及渐进稳定性第四节：Liapunov直接法控制系统的稳定性

liapunov稳定和渐进稳定只要求掌握概念，不用计算。liapunov直接法不要求，不讲。这章重点讲劳斯判据和奈奎斯特判据。控制系统的稳定性系统处于初始平衡状态，在受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统稳定；否则，系统不稳定。根据稳定性定义，系统稳定性应当决定于系统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即可找出系统稳定的充分必要条件。控制系统的稳定性设线性定常系统闭环传递函数为：特征方程为：为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（对有重极点的情况，以下结论也是成立的），则在扰动作用下系统响应的暂态分量为：控制系统的稳定性

从c1(t)的表达式可知，只有当特征方程的所有根（闭环极点）都具有负的实部时，随着时间的推移，

c1(t)才能趋于零，即回到初始状态。

线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。

根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判断稳定性。但系统阶次较高时，所有极点不易求出。劳斯判据系统特征方程如下：（1）ai>0（2）利用特征方程的系数构成劳斯表：劳斯判据注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。劳斯判据：(ai>0)

劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。

例1系统特征方程为S4＋2S3＋3S2＋4S＋5=0，试用劳斯判据判别系统是否稳定；若不稳定，确定正实部根的数目。解根据特征方程系数计算劳斯表

因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。例2某系统特征方程为S4＋3S3＋3S2＋2S＋2=0，试用劳斯判据判断系统的稳定性。解根据特征方程系数计算劳斯表

因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。劳斯判据特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。

若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定

如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定是以一个很小的正数来代替为零的这项1解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例3由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表习题1系统的特征方程为S4＋2S3+s2+2s＋1=0,试判别系统的稳定性。劳斯表中出现全零行

用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。2解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定劳斯判据特殊情况

例如，一个控制系统的特征方程为列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。

例4某系统特征方程为S5＋S4十3s3十3s2＋2S＋2=0，试用劳斯判据判断系统的稳定性。解根据特征方程系数计算劳斯表构成辅助方程：

Q（s）=S4＋3S2＋2=0

求导后得

4S3十6S=0，用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行：可知，系统不稳定，但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于S右半平面的根，有位于虚轴上的根。虚轴上根的求取由辅助方程求得

S4＋3s2＋2=0则有（S2＋1）（S2＋2）=0故S1、2=±j，S3、4=±j

劳斯判据的应用实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。代入原方程式中，得到以

稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法设右侧。用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。

例5解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入特征方程：式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。例6设控制系统结构图如图所示，试确定满足稳定要求时K1的解系统的闭环传递函数为为使系统稳定，必须有（1）K1>0（2）K1<6综合考虑，使系统稳定的K1取值范围应为：0<K1<6已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答

例7时，闭环系统是否稳定？

单位反馈控制系统方块图时，

特征方程为排劳斯表

第一列均为正值，S全部位于左半平面