数学概率的基本性质教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质

一、教学目标

一、教学目标1.通过类比函数性质的研究途径，确定概率性质的研究思想和方法.2.理解概率的基本性质，培养学生数学抽象的核心素养.3.通过互斥事件的概率求解公式的推广和对立事件概率的意义，体会划归转化思想，提升数学运算核心素养.

二、教学重难点重点：概率的基本性质及其应用．难点：利用概率的基本性质解决实际问题．

三、教学过程（一）创设情境说一说：类比对函数性质的研究，你认为可以从哪些角度研究概率的性质呢？答：我们可以从概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系等角度来研究概率的性质.师生活动：教师展示带领学生简单回忆学习指数函数定义后对指数函数性质的研究，引导学生思考有哪些研究概率性质的角度.设计意图：教师带领学生回忆学习指数函数定义后对指数函数性质的研究，从而引导学生进行研究路径的确认，形成类比研究的基础，培养学生的学习迁移能力和学习兴趣，提升学生的思维能力.（二）探究新知任务1：确定概率的取值范围.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件A的概率用P(探究：结合概率的定义及随机事件中的必然事件和不可能事件，你能得到概率有什么性质呢？师生活动：小组内交流，并汇报展示.提示：由概率的定义可知，任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.答：性质1对于任意的事件A，都有P(性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1设计意图：在研究路径的指导下，通过定义及特殊事件的概率研究，得到概率的性质1和性质2.任务2：探究和事件A∪B的概率与事件A，在“事件的关系和运算”中我们研究过事件的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？思考：设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，那么，则事件R和G有什么关系呢？那么，P(R∪G)与要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间Ω={(1(3，事件R=“两次都摸到红球”，即x1=1或2，x2事件G=“两次都摸到绿球”，即x1=3或4，x2则R={(1，2)R∪所以，n(R)=2，n则P(R)=P(G)=212，故P(R∪分析：一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪即，两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式：性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(拓展：互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1，A2，···，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪···∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪···∪Am)=P(A1)+P(A2∪)+···+P(Am).思考：若事件A与事件B互为对立，那它们的概率又有什么关系呢？例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”，那么，则事件M和N有什么关系呢？那么，P(M∪N)与要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间Ω(3，M=“两个球颜色相同”，N则M={(1，(3，M(3，所以，n(M)=4，n则P(M)=412，P(N)=8故P(M∪分析：因为事件A与事件B互为对立事件，则事件A与B的交事件A∩B=∅,所以事件A与事件B也为互斥事件，因此由性质3:如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=1=P由此我们得到对立事件的加法概率公式：性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1−设计意图：以摸球试验为例，得出和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间的关系，任务3：确定概率的单调性.思考2：若事件A与事件B存在包含关系，即A⊆分析：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么n(A)≤一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件于是我们有概率的单调性：性质5如果A⊆B，那么拓展：由性质5可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω,所以有P(∅)⊆P(0≤P(A)≤1设计意图：以古典概型为例，得出概率的单调性，让学生学会总结.任务4：探究概率的加法公式思考：随机试验中，任意两个事件A和B，P(A∪B)和P(A)+P(B)也相等吗？如果不相等，请说明原因，并思考如何计算P(A∪B).例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”.那么，事件R1和R2有什么关系呢？P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)之间有什么关系呢？答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间Ω(3，事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2；事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2.于是，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；R1∪R2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}R1∩R2={(1，2)，(2，1)}故事件R1与事件R2既不对立也不互斥，是试验中任意两个事件.n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，n(R1∩R2)=2，所以P(R1)=P(R2)=，P(R1∪R2)=1012，P(R1∪R2)=212.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).这是因为(R1∪R2={(1，2)，(2，1)}≠ϕ，即事件R1，R2不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1R2一般地，我们有概率的加法公式：性质6设A，B是随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).显然，性质3是性质6的特殊情况.分析：如果事件A与事件B互斥，则A∩B=ϕ，由性质1知，P(Ω)=1，P(ϕ)=0.因此有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(ϕ)P(A∪B)=P(A)+P(B)-0P(A∪B)=P(A)+P(B)设计意图：以同一摸球试验为例，由浅入深，进一步探究概率的加法公式，培养学生思考能力，并提升学生的学习兴趣．（三）应用举例例1甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.39，乙获胜的概率为0.51，则甲不输的概率为

．提示：利用性质3进行求解.解：因为乙获胜的概率为0.51，且乙获胜和甲不输互为对立事件，

所以甲不输的概率为1−0.51=0.49．

故答案为：0.49．例2已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.6，P(C)=0.2提示：利用性质4和互斥事件的概率加法公式的推广公式进行求解.解：P(A)=1−P(A)=0.7，

∵P(B)=0.6，∴P(B)=1−PB=0.4，

又事件A，B例3从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=14.那么

(1)C=解：(1)因为C=A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，

根据互斥事件的概率加法公式，得

P(C)=P(A)+P(B)=14+14=12【总结】运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤：

(1)确定各事件彼此互斥；

(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.例4为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?解法一：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1A2=所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30，且每个样本点都是等可能的，

因为n(A1A2)=2，解法二：应用对立事件的概率公式进行解决.

事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于A1A2=“两罐都不中奖”，而n(A设计意图：通过例题，熟悉概率的基本性质，并体会各公式应用的条件．（四）课堂练习1.已知事件A与事件B发生的概率分别为P(A)，P(B)，则下列命题：①若A为必然事件，则P(A)=1；②若A与B互斥，则P(A)+PA.3 B.2 C.1 D.0解：对于①，由概率的性质知若A为必然事件，则P(A)=1，所以①是真命题；

对于②，对立事件的概率的和为1，所以②的判断不正确；

对于③，满足互斥事件的概率求和的方法，所以③为真命题，

∴真命题有①③．

2.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(BA.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8

解：随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，

∴P(A3.已知随机事件A和B互斥，记事件B为事件B对立事件，且P(A)=0.6，A.0.6 B.0.8 C.0.2 解：根据题意P(B)=0.2，又由事件A和B互斥，则A∩B=则P(P(故选：B.4.玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=512，P((1)

求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=55.国家射击队的某队员射击一次，命中7∼10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次求：

(1)射中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．解：记事件“射击一次