内蒙古包头市第八十一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

包头市第八十一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知，则等于A．0 B．C． D．2．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．3．某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（

）A．24贝克 B．贝克C．1贝克 D．贝克4．已知直线与曲线相切，则实数a的值为（

）A． B． C．0 D．25．已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（

）（注：）A．3 B．C．5 D．6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．已知函数，若，则B．已知函数在上可导，若，则C．D．设函数的导函数为，且，则10．已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（

）A．函数的单调减区间为B．函数的极小值是C．函数的图像有条切线方程为D．点是曲线的对称中心11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，函数恰有两个零点B．当时，不等式对任意恒成立C．若函数有两个零点，则D．当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为三、填空题12．函数的单调增区间为.13．已知是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是．14．已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为．四、解答题15．（1）已知函数，直线l为曲线的切线且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.（2）已知是函数的一个极值点，求在区间上的最小值.16．已知函数，（1）若曲线在点处的切线为，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．17．已知函数(1)求的极值；(2)证明：当时，．18．设.(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数存在两个极值点、，求证：.19．已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数．(1)若是R上的自律函数．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围；(2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由．题号12345678910答案CDBABDCDBDABD题号11答案BCD12．13．14．15．（1）由，若切点为，则，所以切线方程为，且过原点，所以，可得，故切点为，所以切线方程为.（2）由，则，可得，所以，则，所以或时，时，故在上单调递增，在上单调递减，显然为极值点，且，，，，综上，在区间上的最小值为.16．（1）的定义域为，，∴，解得，∴．（2），当时，，∴的单调增区间为当时，由，∴的单调增区间为，由，∴的单调减区间为．当时，由，∴的单调减区间为，由，∴的单调减区间为．综上所述：当时，，∴的单调增区间为，当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为．（3）若至少存在一个，使得，∴，当时，，∴有解，令，∴，∴在上单调递减，∴得，．17．（1）函数的定义域为，，由可得，，解得，由可得，，解得，所以函数在单调递增，单调递减，所以的极大值为，无极小值.（2）若证，即证，即证，设，，令恒成立，所以在上单调递减，又，所以存在唯一，使得，所以当时，，则，函数单调递增，当时，，则，函数单调递减，所以，所以.18．（1）设，即，即；所以在上单调递增；当时，；若即，则；即在上恒成立，所以在上单调递增；恒成立；若即，则；又，且在上单调递增；存在唯一，使得；所以在上恒成立，在上单调递减；此时，这与条件矛盾，所以不成立；所以；（2）因为函数存在两个极值点；所以有两个实数根；所以将两式相减，得：；即要证：，只需证：；即证：，设，因为，所以；即证：；设，则单调递减，所以；故原命题成立.19．（1）（ⅰ）因为，所以，，因为是R上的自律函数，所以恒成立，恒成立，所以解得，所以a的取值范围是．（ⅱ）当时，，设，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增，因为，，，所以若只有一个实根，t的取值范围是．（2）由得，