27.2.1 相似三角形的判定 课件2024-2025学年人教版数学九年级

27.2.1相似三角形的判定第二十七章

相

似第2课时

三边成比例的两个三角形相似

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1

△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边

长是否对应成比例？BCADE相似三角形的引理三合作探究1.

已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似

三角形.3练一练CDABEFO相似具有传递性2.

若

△ABC

与

△A′B′C′

相似，

一组对应边的长为AB

=3

cm，

A′B′=4

cm，那么△A′B′C′与

△ABC

的相似比是_____.4︰33.

若

△ABC

的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，

与其相似的另一个

△A′B′C′

的最小边长为12

cm，

那么

A′B′C′

的最大边长是______.24cm当堂练习1.

如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若

BC=1，

则

EF

的长为

(

)A.

1B.

2C.

3D.

4BCAEFDB2.

如图，在

△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC

=

4

cm，EF

长()AA.

1cmB.cmC.

3cmD.2cmABCEF3.

如图，在

△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，

对应边的比例式为

＝

＝ADEABC————．BCADE4.

已知

△ABC

∽

△A1B1C1，相似比是

1:4，△A1B1C1

∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的

相似比为

.1:205.

如图，在

□ABCD

中，EF∥AB，

DE

:EA

=

2:3，

EF

=

4，求

CD

的长．

解：∵EF∥AB，DE

:EA

=

2:3，DACBEF∴

即∴

△DEF∽△DAB，解得

AB=10.又∵四边形

ABCD为平行四边形，∴CD=AB=10.6.

如图，已知菱形

ABCD

内接于△AEF，AE=5cm，

AF

=

4

cm，求菱形的边长.

解：∵四边形

ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴

设菱形的边长为

xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴

解得

x=∴菱形的边长为cm.2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？导入新课1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪

些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有

其缺点和局限性？ABCDE复习引入3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究

画

△ABC和

△A′B′C′，使，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCC′B′A′ABCC′B′A′

通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以

△ABC

∽△A′B′C′.下面我们用前面所学得定理证明该结论.∴

C′B′A′证明:在线段

AB

(或延长线)

上截取

AD=A′B′，

过点

D

作

DE∥BC

交AC于点

E.∵

DE∥BC

，∴

△ADE

∽

△ABC.

∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，

△A′B′C′

∽△ABC.BCADE又

，AD=A′B′，

∴

，.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∵

，∴

△ABC

∽

△A′B′C.符号语言：例1

判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在

△ABC

中，AB>BC>CA，在

△

DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC

∽

△DEF.ABC33.54DFE1.82.12.4∵，

，

，∴.方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.

已知

△ABC和

△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，

BC=15，

AC＝24，DE＝16，EF＝20，

DF＝30.(2)AB=4，

BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，

DF＝8；(1)AB=3，

BC=4，

AC＝6，DE＝6，

EF＝8，

DF＝9；是否否练一练例2

如图，在

Rt△ABC

与

Rt△A′B′C′中，∠C

=∠C

′

=

90°，且

求证：△

A′B′C′∽△ABC.

证明：由已知条件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△

A′B′C′∽△ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即

∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴

△ABC∽△ADE(三边成

比例的两个三角形相似).例3

如图，在

△ABC和

△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ABCDE解：∵解：在

△ABC和

△ADE中，∵AB

:CD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如图，已知

AB

:AD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三

角形的是()①②③④A.

①和②

B.

②和③C.

①和③

D.

②和④C当堂练习2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论

正确的是()

A.

△PAB∽△PCA

B.

△PAB∽△PDA

C.

△ABC∽△DBA

D.

△ABC∽△DCA

ACBPDC∵AB

:BC=

BD:AB=

AD:AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=，AD=.3.

根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：AB=4cm

，BC

=6cm

，AC

=8cm，A′B′=12cm

，B′C′=18cm

，A′C′=21cm.答案：不相似.4.

如图，△ABC中，点

D，E，F

分别是

AB，BC，CA

的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴

△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴∴5.

如图，某地四个乡镇

A，B，C，D

之间建有公路，

已知

AB

=

14

千米，AD

=

28

千米，BD

=

21

千米，

DC

=

31.5

千米，公路

AB

与

CD

平行吗？说出你

的理由.ACBD2814214231.5解：公路

AB

与

CD

平行.∴∴

△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.ABCA'B'C'知识点1相似三角形对应线段的比

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？知识探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，若相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？ABCA'B'C'知识探究相似三角形对应高的比等于相似比证明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD从而如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求证：知识探究证明：∵△ABC∽△DEF.

相似三角形对应中线的比等于相似比.ABCMDEFN又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△ABM∽△DEN.求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为中线∴BC=2BM,EF=2EN,∴∴∴∠B=∠E,知识探究证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.相似三角形对应角平分线的比等于相似比.ABCMDEFN求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为角平分线

∴∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴，，知识探究相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：

相似三角形对应线段的比等于相似比.

归纳总结知识探究解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.

求EH的长.∴∴，解得

EH=3.2.AGBC故EH的长为3.2cm.素养考点1利用相似三角形对应线段的比求线段的长度知识探究1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对应角的角平分线的比为

.2∶

32∶

32.两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4,若一个三角形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______.3或48巩固练习相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？【想一想】知识探究相似三角形周长的比等于相似比.已知：求证：证明1：∴∴(等比性质)ACBB′A′C′∵△ABC∽△A′B′C′△ABC∽△A′B′C′知识探究ABC证明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′相似三角形的周长比等于相似比∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k∴A′B′C′知识探究3.相似三角形对应边的比为2∶5,那么周长比为________.2∶54.两个相似三角形周长的比为1∶7,则它们的相似比为_______,对应边上角平分线的比为_______.1∶71∶7知识探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'知识点2相似三角形面积的比知识探究由前面的结论，我们有ABCA'B'C'D'D知识探究∴几何表述:相似三角形性质定理:

相似三角形面积的比等于相似比的平方.

∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，归纳:∴A′B′C′ABC知识探究5.已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2

k……周长比……面积比10000……24100100kk2巩固练习解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又

∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比为1:2.ABCDEF∴例2

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.素养考点1利用相似三角形面积的比求面积或线段知识探究ABCDEF面积为

∴△DEF

的边

EF上的高为，∵△ABC的边

BC上的高为

6，面积为，知识探究6.如果两个相似三角形的面积之比为4:9，较大三角形一边上的高为18，则较小三角形对应边上的高为______.

12巩固练习例3

如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.

∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

素养考点2利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）又∵△ABC的面积为100

cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).知识探究7.

如图，这是圆桌正上方的灯泡（点A

）

发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直径为1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH，巩固练习∴即解得CH=0.9米.(平方米).答：地面上阴影部分的面积为2.54平方米.∴阴影部分的面积为：ADEFCBH巩固练习3.

把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍.2510基础巩固题课堂检测4.

两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm，

(1)

它们的周长差60cm，这两个三角形