投影与三视图知识归纳与题型训练（6类题型清单）解析版-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

《投影与三视图》知识归纳与题型训练（6题型）

01思维导图

基本概念：投影、投射线、投射面、平行投影、中，诬或

~（投影）C

尸［正投影：

简单几何体的三视图主视图।.主视方向

（三视图俯视图

-左视图

投影与三视图

―（由三视图描述几何体a（由三视图描述几何体的法则：长对正、高平齐、宽福叠

表面展开图定义

圆柱的侧面展开图

简单几何体的表面展开图

圆锥

全面积公式：s全=m'+勿”

正方体的表面展开图

02知识速记

1、投影：物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影；这时，光线叫做投射线，投影所在的

平面叫做投影面；

2、平行投影：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影；

3、中心投影：由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影；

要点诠释：

平行投影与图形的相似紧密相关；中心投影与图形的位似紧密相关；

二、简单几何体的三视图

1、正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；

2、三视图：主视图、左视图和俯视图合称三视图

主视图：物体在正投影面上的正投影叫做主视图;

俯视图：物体在水平投影面上的正投影叫做俯视图;

左视图：物体在侧投影面上的正投影叫做左视图；

产生主视图的投射线方向叫做主视方向

要点诠释:

白一

正投影血

正投影询

水平投忠向

水平投影曲

画三视图遵循的法则：“长对正、高平齐、宽相等”

三、简单几何体的表面展开图

1、表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪”开，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体

的表面展开图；

2、圆柱的表面展开图：圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体;

和转轴平行的一条边旋转所成的面就是圆柱的侧面，这条边不论转动到哪一个位置，都叫圆柱的母线，圆

柱的侧面展开图是一个矩形，它的一组邻边长分别等于母线长和底面圆周长

3,圆锥的侧面积和全面积公式：

S侧=勿7S全=勿^+加7

S全=nr'+7irl

设圆锥的侧面展开图的圆心角为6,则有:

9J・360。

4、正方体的11种表面展开图:

1.一四一型:

03题型归纳

题型一平行投影的综合

例题：

1.（2024•下城区校级三模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处

在地面上的部分影子抽象成图2,已知NM4O=22°,/FCN=23°,则/N8C的大小为（）

【分析】根据平行线的性质及角的和差即可求得.

【解答】解：：某一时刻在阳光照射下，AD//BE//FC,且/M4D=22°,/FCN=23°,

：.ZMAD=ZABE=22°,/EBC=NFCN=23°,

，ZABC=ZABE+ZEBC=45°.

故选：B.

2.（2023•柯城区校级一模）在同一时刻，两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么

这两根竿子的相对位置是（）

A.两根都垂直于地面B.两根平行斜插在地上

C.两根竿子不平行D.一根到在地上

【分析】根据平行投影的性质判断即可.

【解答】解：因为两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，

所以两根竿子不平行.

故选：c.

巩固训练

3.（2024•长兴县模拟）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度.古代的人

们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，

利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角/A4c和第二时刻光线与地面的

夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为24尺.

2

【分析】由/B4C=/ADB,得ADBA,知组=^1,故$二=24

BDAB1.5

（尺），即第二时刻的影长为24尺.

【解答】解：/ABC=ZDBA=90°,/B4C=ZADB,

:.AABCs^DBA,

•••AB,BC,

BDAB

根据题意得：48=6尺，2c=1.5尺,

:.BD=±—=24（尺），

1.5

•••第二时刻的影长为24尺；

故答案为：24.

4.（2023秋•西湖区校级月考）

数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据

活动1如图1,测角小组用一根木条防斜靠在护坡石坝上，

使得BF与BE的长度相等，如果测量得到=

30°,那么石坝与地面的倾角Na的度数是

60°_.

图1

活动2如图2,测高小组把一根长为4米的竹竿NG斜靠在

石坝旁（/点在石坝顶部，G点在地面），量出竿长11

GM=1米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石

坝的垂直高度M

GNBH

图2

实践活动总结归纳

大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部

的影子处立一根长为。米的杆子尸杆子与地面垂直，测得杆

子的影子长为6米，点P到护坡石坝底部8的距离为c米.利

光线

用测角小组得到的倾角Na的度数，请你用a,b,c表示出护

D

坡石坝的垂直高度

CP

图3

【分析】（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可;

（2）首先得到△GMNS^G/8,然后利用相似三角形的性质得到史工此，然后代数求解即可;

GAAH

时然后得至UpH=PB+BH=c+^~AH，然后证明出△CZJPs

（3）首先根据60°角的正切值得到

△CAH,得到史典，然后代入求解即可.

PHAH

【解答】解：（1）■：BF=BE,

:./BEF=/EFB=30°,

Za=ZBEF+ZEFB=60°.

故答案为：60°；

(2)'JMN//AH,

:.△GMNSAGAH,

.GM_MN即1=0.5

•怎而AH

解得N”=2；

(3)VZa=60°，AH±BH,

.AH

tanZCl=tan600=777=Vi3—)

Dn

AH，

••PH=PB+BH=c

"JCD//AP,

：.ZC=ZAPH,

,:DP〃AH,

：.ZCPD=ZPHA=90°,

:.△CDPsfAH,

.-.CPJP,即一^得，

PHAH,V3ATTAH

解得皿=省小.

V3b-a

题型二中心投影

例题：

1.（2023•婺城区模拟）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）

B.

D.

【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断.

【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反.

故选：D.

2.（2024•龙港市二模）如图，点光源。射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶

片平行的屏幕上，形成影像CD.已知/8=0.3(dm)，点光源到胶片的距离OE长为6(dm),CD长

为4.3(dm),则胶片与屏幕的距离斯为()dm.

【分析】证明△O/Bs^ocD,推出姻_=旦殳，构建方程求出所即可.

CDOF

【解答】I?：'JAB//CD,

:.△OABs^ocD,

'：OF.LCD,

J.OFLAB,

•AB=OE

"CDOF'

•0.3=6

"TT6+EF'

:.EF=80(dm),

故选：C.

3.(2022秋•义乌市期末)如图，小树N8在路灯。的照射下形成投影BC.若树高/8=2根，树影BC=

3m,树与路灯的水平距离2P=45〃.则路灯的高度OP为()

【分析】先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解.

【解答】解：•.15_LCP,POLPC,

C.OP//AB,

，△ABCsAOPC,

•AB=BC,

"OPPC"

即：_2_=_3_,

op3+4.5

解得：OP=5(%)，

故选：A.

巩固训练

4.(2023秋•鹿城区期中)图1是遮雨棚，一边搭在墙面上，由支架固定.其侧面结构示意图如图2所

示.墙2E垂直于地面，棚面DG的顶端。固定在5E上，CF是支架，在墙上有一照明灯E,该遮雨棚

外端点G在灯光和阳光照射下产生的影子分别落在地面B处.经测量得到N/8G=45°,

DF=FG=CFX^~，CD=1,4B=BD,X为。G和A4延长线的交点，BH=20,则EC=16.

图I图2

【分析】连接CG,证明GC〃/2,推出典=型，求出CG,AB,可得结论.

EBAB

【解答】解：如图，连接CG.

D

H

图2

'：BE±AB,/N5G=45°,

:.NEBG=90°-45°=45°,

,:FD=FC=FG,

：.ZGCD^90°,

：.ZCGB=ZCBG=45°,

ACG=C5=VDF2-CD2=V(V17)2-I2=4?

：.AB=BD=BC+CD=4+1=5,

VZECG=ZABE=90°,

C.CG//AB,

•・•EC---CG,

EBAB

-EC=4

"EC+4T

；.£C=16.

故答案为：16.

题型三简单几何体的三视图

例题:

1.（2024•台州模拟）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（)

【分析】分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断.

【解答】解：/、主视图和左视图都为矩形的，所以N选项正确;

B,主视图和左视图都为等腰三角形，所以8选项错误；

C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；

。、主视图是矩形，左视图为三角形，所以。选项错误.

故选：A.

2.（2023秋•义乌市校级月考）如图所示的几何体的左视图是（）

A.

C.

【分析】要记住常见的几何体的三视图,从左面观察即可得到结果.

【解答】解：仔细观察几何体特征,

从左面观察可得图形是

故选：D.

3.（2024•金华三模）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑

堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放,则它的左视图为（）

/正面

A.C.

【分析】从左边观看立体图形即可得到.

【解答】解：从左边观看立体图形可得,左视图为直角在左边的直角三角形,

故选：B.

4.（2024•鹿城区校级三模）如图是U型磁铁示意图，它的俯视图是（）

主视方向

A.B.C.D.

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上面看。型磁铁的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段,

故选：D.

5.（2024•浙江模拟）如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（

主视方向

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形.

故选：A.

巩固训练

6.（2024•湖州一模）如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（）

A.B.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从正面看有2层，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，故/符合题意，

故选：A.

7.（2023•龙港市二模）原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（）

【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案.

【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：

故选：A.

8.（2024•浙江模拟）如图所示的工件，其俯视图是（）

【分析】根据工件的特征，可得俯视图是两个同心圆，外圆是实线，内圆看不见，用虚线.

【解答】解：从上边着是一个同心圆，内、外圆均是实线，

故选：D.

题型四由三视图判断几何体

例题:

1.（2024•浙江一模）由6个同样的立方体摆出从正面看是I_I_I_I的几何体，下面摆法正确的是（）

【分析】根据主视图是从正面看到的图形判断则可.

【解答】解：由题目中的主视图可知，第一层有三列，第二层有一列，只有2选项符合题意.

故选：B.

2.（2024•玉环市三模）小李同学准备送给朋友一个小礼物.礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的

外包装不可能是（)

A.长方体B.正方体C.三棱锥D.圆柱

【分析】根据主视图即可判断出答案.

【解答】解：根据主视图可知，三棱锥的主视图是矩形，且中间有纵向的实线或虚线，与题干图形不符,

故选：C.

3.（2024•钱塘区二模）由〃个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则"的值

【分析】左视图、俯视图是分别从物体左面、上面看，所得到的图形.

【解答】解：从俯视图发现有5个立方体，从左视图发现第二层最多有3个立方块，最少有1个立方块,

所以最多有8个立方块，最少有6个立方块，

故"的值可以是6、7、8.不可能是9.

故选：D.

4.（2024•杭州四模）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△N2C,已知

tanB=A,ZC=45°,则左视图的面积是（）

3

<----------4------------►

左

俯

主

视

视

视2

图

图

图

BC

A.2V3B.4-73C.4D.2

【分析】作4DL2C于点。，设4D=x,根据等腰三角形的性质得CD=4D=x,解直角三角形得

3x,所以8c=4x=4,即4D=1,又知三棱柱的高为2,即可求出答案.

【解答】解：如图，作ADL2C于点。，

VZC=45°,

：.CD=AD=x,

..1

,tanB二不'

o

AAD=X

"BD于

:.BD=3x,

：.BC=4x=4,

•»x=1,

：.AD=\,

...左视图的面积是2X1=2.

故选：D.

巩固训练

5.（2024•浙江模拟）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（

主视图左视图

△

俯视图

A.长方体B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称.

【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形

的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，

故选：D.

6.（2024春•瑞安市月考）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4,宽为1.现将若干个小

礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方

形面积的工，则大正方形边长最小是10.

5

小礼盒T至少有3个小卜

礼盒

图1图2

【分析】设下方竖着放的有。个（。23）,上方竖着放的有b个（623）,则正方形的边长为a+4,一

共摆了（20+6）个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的工得到

5

2

b=（三也5“然后运用列举法确定a的值成为解题的关键.

5

【解答】解：设下方竖着放的有。个Q23）,上方竖着放的有b个（623）,则正方形的边长为a+4,

一共摆了（2a+6）个礼盒，这些礼盒的面积为1义4（2a+6）=8a+4b,

阴影部分的面积为：（。+4）2-（8a+4b）=层+16-46,

•••留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的工，

5

,,a2+16-4b^7"（a+4）2,

D

a2口+1u6-AU4b1)a2816

bob

42864,,

『a

bbb

4.9

―(a-2a+16)=4b,

b

a2-2q+16=5b,

(Q-1)2+15=56,

5b=(a-1)2+15,

,(a-l)2+15

b=5-'

：a23,623,

当。=3时，不是整数，不符合题意;

5

当。=4时，bM不是整数，不符合题意；

5

当。=5时，bWL不是整数，不符合题意；

5

当。=6时，6=8是整数，符合题意；

・,•正方形的边长为q+4=6+4=10.

故答案为：10.

题型五圆柱与圆锥的计算

例题：

1.(2024秋•婺城区校级期中)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为()

A.6irB.12nC.151rD.24K

【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解.

【解答】解：S侧=TU7=TTX3X4=12II,

故选：B.

2.(2023•海曙区校级三模)如图已知扇形405的半径为6c冽,圆心角的度数为120。，若将此扇形围成

一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为()

D.12ircm2

【分析】根据圆锥的计算公式即可求出答案.

【解答】解：由弧长公式可知：AB=12QKX6=4it

180

.♦.底面圆的周长为4n,

设底面圆的半径为CD=r,

.*.4n=2iir

・••尸=2,

・••圆锥的底面积为nX22=4n,

故选：A.

------>

O

3.（2024•宁波模拟）若圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则该圆锥的侧面积是154.（结果保留

TT）

【分析】根据圆锥的侧面积就等于圆锥母线长乘底面周长的一半，依此公式即可计算.

【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：irr/=-n:X3X5=15iT,

故答案为：15n.

巩固训练

4.（2024•浙江模拟）圆锥的底面直径是10c加，母线长为12°加，则它的侧面展开图的圆心角的度数为

150°.

【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为"。，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.则根据弧长公式得到得n”兀T2=然后

解关于"的方程即可.

【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为武，

根据题意得£E±=10n,

解得〃=150,

所以它的侧面展开图的圆心角的度数为150。.

故答案为150°.

5.（2022秋•金华期末）用一