圆锥曲线中的圆问题（原卷版）

专题38圆锥曲线中的圆问题

【方法技巧与总结】

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1、曲线「：5+5=1的两条互相垂直的切线的交点尸的轨迹是圆：x2+y2=a2+b2.

ab

22

2、双曲线=-==1（a>6>0）的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆f

ab

3、抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上.

4、证明四点共圆的方法：

方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则

可肯定这四点共圆.

方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其

顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）.

方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，

则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内

对角）.

方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂

线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）.

【题型归纳目录】

题型一：蒙日圆问题

题型二：内圆与外圆问题

题型三：直径为圆问题

题型四：四点共圆问题

【典例例题】

题型一：蒙日圆问题

例1.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.

⑴已知动点尸为圆O:f+y2=/外一点，过尸引圆。的两条切线必、必，A、3为切点，若丽・丽=0,

求动点尸的轨迹方程；

22

⑵若动点。为椭圆”:方+卷=1外一点，过。引椭圆M的两条切线QC、QD,C、。为切点，若

QCQD=Q,求出动点。的轨迹方程；

22

（3）在（2）问中若椭圆方程为3+2=1（。>6>0）,其余条件都不变，那么动点。的轨迹方程是什么（直

ab

接写出答案即可，无需过程）.

例2.已知椭圆C:[+《=l（a>6>0）的一个焦点为（S',0）,离心率为0.

ab2

（I）求椭圆C的标准方程；

（H）若动点尸（尤0,%）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

例3.已知椭圆C：W+M=l（a>6>0）的左、右焦点分别为£（-6，0）,鸟（6，0）,离心率为且.

ab3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点尸（七,%）为椭圆C外一点，且点尸到椭圆C的两条切线相互垂直，求点尸的轨迹方程；

（3）若过椭圆C上任意一点。的切线与（2）中所求点P的轨迹方程交于A,3两点，求证:

\QM-\QB\^QFX\-\QF.\.

变式1.已知椭圆C:4+4=1（”>匕>。）的右焦点为（«，0）,离心率为好.

a2b-3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点尸（七,%）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

变式2.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.

（1）已知动点尸为圆O:/+y2=产外一点，过尸引圆O的两条切线以、依.A、3为切点，若丽・丽=0,

求动点尸的轨迹方程；

22

（2）若动点。为椭圆+'=l外一点，过。引椭圆M的两条切线QC、QD.C、。为切点，若

ec2D=o,猜想动点。的轨迹是什么，请给出证明并求出动点。的轨迹方程.

变式3.设椭圆C的中心在原点，焦点尸在无轴上，垂直x轴的直线与椭圆相交于A、B两点，当AE4B的

周长取最大值时，|AB|=U.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过圆D：f+y2=4上任意一点尸作椭圆C的两条切线机、〃，直线"7、〃与圆。的另一交点分别为加、

N:

①证明：m±n；

②求AMZVP面积的最大值.

变式4.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为半，并与直线y=x+2相切.

(I)求椭圆C的方程；

(II)如图，过圆。:尤?+;/=4上任意一点尸作椭圆C的两条切线沉，〃.求证：m±n.

22_________

变式5.给定椭圆C:0+当=l(a>6>0),称圆心在原点O,半径为-始+福的圆是椭圆C的“准圆”.若

ab

椭圆C的一个焦点为/(6,0),其短轴上的一个端点到尸的距离为几.

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线4交”准圆”于点〃，N.

①当点尸为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线乙的方程并证明乙，4；

②求证：线段的长为定值.

题型二：内圆与外圆问题

22

例4.已知椭圆=+马=l(a>6>0)及圆。:尤2+丁=",过点3(0,°)与椭圆相切的直线入交圆o于点A,

a~b~

若ZAOB=60。，求椭圆的离心率.

例5.已知椭圆。：3+当=1(。>6>0)和圆。:f+/="，G(T,。)，耳(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，

ab

过耳且倾斜角为a(ce(0,1D的动直线/交椭圆C于A,3两点，交圆O于尸，。两点(如图所示，点A在

x轴上方).当夕=工时，弦尸。的长为旧.

(1)求圆O与椭圆C的方程；

(2)若A区,BF2,AB依次成等差数列，求直线尸。的方程.

例6.如图，已知椭圆C:1+与=l(a>6>0)和圆O:/+;/=尸(其中圆心。为原点)，过椭圆C上异于

ab"

上、下顶点的一点P(x0,%)引圆O的两条切线，切点分别为A,B.

(1)求直线AB的方程；

(2)求三角形。4B面积的最大值.

变式6.如图，椭圆C:：+马=1(°>5>0)和圆。:尤2+/=凡已知椭圆。的离心率为其1,直线

ab3

缶-2y-遥=0与圆O相切.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)椭圆C的上顶点为3,£F是圆O的一条直径，£F不与坐标轴重合，直线BE、所与椭圆C的另

一个交点分别为P、Q,求ABPQ的面积的最大值及此时尸。所在的直线方程.

22

变式7.已知椭圆C:=+Z=l(a>6>0)和圆O:/+y2=/,片(T,O),凡(1,0)分别是椭圆的左、右两焦

ab

点，过耳且倾斜角为e(ae(0,—])的动直线/交椭圆C于A,3两点，交圆O于尸，。两点(如图所示，点

A在x轴上方).当c=?时，弦尸。的长为内.

(1)求圆O与椭圆C的方程；

(2)若2|也冒=|钻|+|A5|,求直线尸。的方程.

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变式8.已知椭圆和圆。:/+；/=62,过椭圆上一点「引圆。的两条切线，切点分别

ab

为A,B.

(I)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；

b1

(II)设直线9与X、y轴分别交于点M,N,问当点P在椭圆上运动时，‘=+J是否为定值？请

'ON2OM2

证明你的结论.

变式9.已知椭圆C:=+与=1(°>6>0),其右焦点为爪白，0),点“在圆/+尸=从上但不在》轴上,

ab

过点M作圆的切线交椭圆于P,。两点，当点M在X轴上时，|「。|=若.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当点M在圆上运动时，试探究AFPQ周长的取值范围.

题型三：直径为圆问题

尤2V2

例7.已知椭圆C:=十斗=l(a＞，＞0)的右焦点为尸(1,0),上下顶点分别为尾，B,,以点尸为圆心理为

ab

半径作圆，与X轴交于点7(3,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(2,0),点A,3为椭圆C上异于点尸且关于原点对称的两点，直线P4,依与y轴分别交

于点A1,N,记以MN为直径的圆为OK,试判断是否存在直线/截0K的弦长为定值，若存在请求出该

直线的方程，若不存在，请说明理由.

例8.已知动圆。过定点7(2,0),且与y轴截得的弦长为4,设动圆圆心。的轨迹为C.

(1)求轨迹。的方程.

(2)设尸(1,2)，过尸(1,0)作不与尤轴垂直的直线/交轨迹C于A,3两点，直线R4,PB分别与直线x=-l

相交于O,E两点，以线段上为直径的圆为G.判断点尸与圆G的位置关系，并说明理由.

例9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过P的直线/与抛物线C交于A,3两点，过A,3分别向抛物

线的准线作垂线，设交点分别为〃，N,R为准线上一点.

(I)若ARUFN,求出国的值；

\MN\

(II)若点R为线段跖V的中点，设以线段为直径的圆为圆E,判断点R与圆E的位置关系.

变式10.已知抛物线和双曲线都经过点”(1,2),它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶

点为坐标原点.

(1)求抛物线和双曲线标准方程；

(2)已知动直线机过点尸(3,0),交抛物线于A,3两点，记以线段"为直径的圆为圆C,求证：存在垂

直于x轴的直线/被圆C截得的弦长为定值，并求出直线/的方程.

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变式11.已知椭圆C:=+与=1(。＞匕＞0)的左、右焦点分别为《，B，动直线/过F，且与椭圆C相交于A，

ab

B两点,且|4月|+|3月|的最大值为

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如图，已知尸(%,%)(%*0)为抛物线£:/=4约上一点，广为抛物线E在点P处的切线，1与椭

圆C有两个不同的交点N,当以为直径的圆过原点。时，求色.

%

22

变式12.已知尸「工分别为椭圆£:3+《=1的左、右焦点，过《的直线/交椭圆E于A、B两点.

(1)当直线/垂直于x轴时，求弦长|AB|；

(2)当次•砺=-2时，求直线/的方程；

(3)记椭圆的右顶点为T,直线AT、3T分别交直线x=6于C、。两点，求证：以CD为直径的圆恒过

定点，并求出定点坐标.

变式13.已知动圆加与圆A:(x+&V+y2=4及圆8:(x-石＞+y2=4中的一个外切，另一个内切.

(I)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(II)若直线/与轨迹C相交于P、。两点，以线段PQ为直径的圆经过轨迹C与x轴正半轴的交点D,证

明直线/经过一个不在轨迹C上的定点，并求出该定点的坐标.

变式14.如图，已知椭圆C:=+丁其左、右焦点分别为冗，F2,过右焦点弱且垂直于x轴的

a

直线交椭圆于第一象限的点P,且sinNP£F,=L

123

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(0,-g)且斜率为左的动直线/交椭圆于A,3两点，在y轴上是否存在定点使以AB为直径

的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

题型四：四点共圆问题

Y2V2LA/2

例10.已知椭圆C：F+与=1(。＞6＞0)的左、右焦点分别为《，F2,左顶点为A(-&,0),且禺心率为L.

ab2

(1)求C的方程；

(2)直线y=fcv(人力0)交C于E,尸两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,求证：M,F,,N,

B四点共圆.

例11.已知椭圆。:=+丁=1（。>0）的右顶点为点4,直线/交C于M,N两点，O为坐标原点.当四边

a

/7T

形AMON为菱形时，其面积为生.

2

（1）求C的方程；

（2）若NM4N=90。，是否存在直线/,使得A,M,O,N四点共圆？若存在，求出直线/的方程，若

不存在，请说明理由.

22

例12.已知椭圆C:工=1（。>6>0）的左、右焦点分别为F、，F,,左顶点为A（-272,0）,且过点（壶,布）.

ab~

（1）求C的方程；

（2）过原点。且与x轴不重合的直线交C于E,P两点，直线花，AF分别与y轴交于点"，N,求证:

M,K，N,乙四点共圆.

变式15.已知双曲线C:2f一丁=2与点p（］,2）.

（1）是否存在过点尸的弦他，使得他的中点为尸；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，证明：A、B、C、。四点共圆.

变式16.已知抛物线C:y2=2px（p>0）,A是C上位于第一象限内的动点，它到点2（3,0）距离的最小值为

2应.直线钻与C交于另一点。，线段AD的垂直平分线交C于E,F两点.

（1）求p的值；

（2）若中|AB|=2夜，证明A,D,E,尸四点共圆，并求该圆的方程.

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变式17.已知椭圆石:r三+=v=1伍〉。〉0）的离心率为1L且经过点（-1」3）.

ab22

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设椭圆E的右顶点为A,点O为坐标原点，点3为椭圆E上异于左、右顶点的动点，直线/:x=f（f>a）

交x轴于点尸，直线尸3交椭圆E于另一点C,直线54和C4分别交直线/于点〃和N,若。、A、M、

N四点共圆，求f的值.

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变式18.在平面直角坐标系xQy中，双曲线C:当-3=1（。>0力>。）的离心率为四，实轴长为4.

（1）求C的方程；

（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线/过点尸（0,。且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直

线交C于G,H两点,直线AG,A"分别与/交于N两点，若O,A,N,M四点共圆，求点P的

坐标

2，

变式19.椭圆£:r^+今V=1（。>6>0）的离心率为1上,右顶点为A,设点O为坐标原点，点3为椭圆E上

a2b22

异于左、右顶点的动点，△。钻面积的最大值为A/L

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线/:x=f交x轴于点P,其中f>a,直