一次方程（组）及其应用（核心知识点）-2025年中考数学一轮复习

专题05一次方程（组）及其应用的核心知识点精讲

o复习目标O

1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组.

2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.

3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力

O考点植理O

性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等;

典例引领

【题型1:等式的性质】

【典例1】（2024•贵州•中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入

▲"三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设"■"与"/的质量分别为X,外则下列关系式正

确的是（）

7K~1

甲乙

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=5y

【答案】C

【分析】本题考查等式的性质，设"▲"的质量为。，根据题意列出等式x+y=y+2a,x+a=x+2y,

然后化简代入即可解题.

【详解】解：设"▲"的质量为

由甲图可得x+y=y+2a,即久=2a,

由乙图可得x+a=x+2y,即a=2y,

•••%=4y,

故选c.

即时检温

1.（2022•青海•中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）

A.若/=?，则a=6B.若ac=6c,贝！|a=b

C.若（/=后，则a=6D.若一|久=6,则久=-2

【答案】A

【分析】根据等式的性质，一次判断各个选项，即可进行解答.

【详解】解：A、若沁,则a=b,故A正确，符合题意；

B、若ac=be,且cHO,则。=8，故B不正确，不符合题意；

C、若。2=庐，贝！］同=网，故C不正确,不符合题意；

D、若一孑=6,贝=故D不正确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是掌握：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等

式仍成立.

2.（2022•山东滨州•中考真题）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U,导体的电阻火之间有以

下关系：/=■去分母得/R=U,那么其变形的依据是（）

A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2

【答案】B

【分析】根据等式的性质2可得答案.

【详解】解：/=■去分母得/R=U,其变形的依据是等式的性质2,

故选：B.

【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.

典例引领

【题型2：一次方程（组）的相关概念】

【典例2】（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）点P®y）在直线y=-y+4上，坐标®y）是二元一次方程

5久-6y=33的解，则点P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组12=二3久,

（5x—6y=33

求出点尸的坐标即可判断.

【详解】解：联立方程组,

（5x—6y=33

｛x=6

二产的坐标为（6,—｛），

・••点尸在第四象限，

故选:D.

&⑦即时检测

1.（2024•海南,中考真题）若代数式X-3的值为5,则x等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知％-3=5,解方程即可得到答案.

【详解】解：•.•代数式X-3的值为5,

/.%—3=5,

解得x=8,

故选：A.

2.（2023•浙江衢州•中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（）

人｛；聂B.仁二C.（-I1D,［；=1

【答案】A

【分析】代入的值，逐一判断即可解答.

【详解】解：当时，方程左边=2xl+3x2=8,方程左边=方程右边，故A符合题意；

当时，方程左边=2x2+3X1=7,方程左边H方程右边，故B不符合题意；

当｛，三时，方程左边=2X（—1）+3X2=4,方程左边7方程右边，故C不符合题意；

当时，方程左边=2X2+3X4=16,方程左边H方程右边，故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次

方程的解，是解题的关键.

3.（2023・四川眉山・中考真题）已知关于的二元一次方程组｛%；；：盥tg1的解满足=%则加的

值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】将方程组的两个方程相减，可得到"-，=巾+3,代入久-37=4,即可解答.

【详解】解:⑶真媒疆，

①一②得2%—2y=2m+6,

•••x—y=m+3,

代入％-y=4,可得m+3=4,

解得m=1,

故选：B.

【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键.

典例引领

【题型3：一次方程（组）的解法】

【典例】（2024•浙江・中考真题）解方程组：｛©帛宅二?10

［答案］卜=）

ly=-4

【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①x3+②得，10尤=5,解得x=9,再把x=9代入①求

出y=-4即可.

【详解】解：「咛爽%②

①x3+②得，10%=5

解得V，

把x=9代入①得1—y=5,

解得y=-4

..卜=9

（y=-4

*弓即时检测

1.（2024•江苏苏州・中考真题）解方程组：管之；；，

【答案】｛泮

【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解.根据加减消元法解二

元一次方程组即可.

【详解】解：｛宗3关翦

①一②得，4y=4,解得，y=l.

将y=1代入①得x=3.

•••方程组的解是

2.（2023•浙江衢州•中考真题）小红在解方程等=个+1时，第一步出现了错误：

：：解：2x7x=（4x-l）+l,：：

⑴请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；

（2）写出你的解答过程.

【答案】⑴划线见解析

（2）%=|,过程见解析

【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；

（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可.

【详解】（1）解：划线如图所示：

：：解：2X7X=（4X-1）H,

(2)解：与=彳+1,

2x7%=4x—1+6,

2x7x-4x=-1+6,

10%=5,

1

久，

【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键.

.日典例引领

【题型4：一次方程（组）的应用】

【典例4】（2024•山东济南•中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建48两种光伏车

棚.已知修建2个/种光伏车棚和1个8种光伏车棚共需投资8万元，修建5个/种光伏车棚和3个

B种光伏车棚共需投资21万元.

⑴求修建每个4种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？

（2）若修建43两种光伏车棚共20个，要求修建的/种光伏车棚的数量不少于修建的2种光伏车棚数

量的2倍，问修建多少个4种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？

【答案】⑴修建一个4种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元

⑵修建4种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根

据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式.

（1）设修建一个4种光伏车棚需投资%万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据修建2个/种

光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个力种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资

21万元列出方程组，解方程组即可；

（2）设修建4种光伏车棚小个，则修建B种光伏车棚（20-巾）个，修建4种和B种光伏车棚共投资卬万元,

先根据修建的4种光伏车棚的数量不少于修建的8种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出力的范

围，然后少关于机的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可.

【详解】（1）解：设修建一个4种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据题

意，得1江与二学「

解得｛；：!

答：修建一个4种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元.

（2）解：设修建4种光伏车棚加个，则修建B种光伏车棚（20-机）个，修建4种和B种光伏车棚共投资W

万元，根据题意，得血之2（20-机），

解得TH>y,

W=3m+2(20—m)=m+40,

•・•l>0,

”随M的增大而增大，

当m=14时，勿取得最小值，此时0=14+40=54（万元），

答：修建a种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元.

00）即时检测

1.（2024•海南・中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花

【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设促销活动前每个瘦肉粽的售价为万元，则促销活动前每个

五花肉粽的售价（久-5）元，根据题意列方程求解即可.

【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为久元，则促销活动前每个五花肉粽的售价（久-5）元，

依题意得0.8x[10%+5（%-5）]=160,

解得x=15,

X—5=10,

答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元.

2.（2024•江苏徐州•中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；"今有甲、乙怀钱，各不

知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？"问题大意：甲、乙

两人各有钱币干枚.若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱

币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等.问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一

次方程组解答上述问题.

【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键.

设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据"甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解

即可.

【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱了枚，由题意，得

[X+10=6（y-10）

Ix-10=y+10'

解这个方程组，得《：工

答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币.

3.（2024•江苏南通・中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买/、2两种型号智能机器人进行快递分

拣.

相关信息如下:

信息一

/型机器人台数2型机器人台数总费用(单位：万元)

13260

32360

信息二

.)

A型机器人每台每天可

分拣快递22万件；

B型机器人每天每天可

分拣快递18万件。

/

⑴求/、8两种型号智能机器人的单价；

(2)现该企业准备用不超过700万元购买/、B两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方

案，能使每天分拣快递的件数最多？

【答案】(1)/型智能机器人的单价为80万元，2型智能机器人的单价为60万元

(2)选择购买4型智能机器人5台，购买8型智能机器人5台

【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一

次不等式的应用是解题的关键.

(1)设/型智能机器人的单价为尤万元，3型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计

算结果即可；

(2)设购买/型智能机器人。台，则购买3型智能机器人(10-a)台，先求出。的取值范围，再得出

每天分拣快递的件数=22a+18(io-a)=4a+180,当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多.

【详解】(1)解：设/型智能机器人的单价为x万元，8型智能机器人的单价为y万元，

(x+3y=260

13%+2y=360

解得度霏,

答：/型智能机器人的单价为80万元，8型智能机器人的单价为60万元；

(2)解：设购买/型智能机器人。台，则购买2型智能机器人(10-a)台，

.•・80a+60(10—砌4700,

.,.a<5,

r每天分拣快递的件数=22a+18(io-a)=4a+180,

.•.当a=5时，每天分拣快递的件数最多为4x5+180=200万件,

••・选择购买月型智能机器人5台，购买8型智能机器人5台.

o好题冲关o

.弓基础过关

1.（2024•山东潍坊•模拟预测）已知等式3a=26+5,则下列等式中成立的是（）

A.3ac=26c+5B.3a-5=2bC.a=^b+15D.3a+l=2b+6

【答案】BD

【分析】根据等式的性质逐个判断即可.本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键,

注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的

两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立.

【详解】解：A.3a=2b+5,

等式两边都乘c,得3ac=2bc+5c,故本选项不符合题意；

B.1••3a=2b+5,

.・•等式两边都减去5,得3a-5=26,故本选项符合题意；

C.3a=2b+5,

.・•等式两边都除以3,得a=|b+*故本选项不符合题意；

D.3a=26+5,

二等式两边都加1,得3a+l=2b+6,故本选项符合题意

故选：BD.

2.（2024•甘肃兰州,模拟预测）下列等式是四位同学解方程占-三=1过程中去分母的一步，其中正确的是

（）

A.x—2x=1B.x—2x=—1C.%+2%=x—1D.x—2x=x—1

【答案】c

【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以X-1即可求解.

【详解】解：三=1，

去分母得，x+2x=x-1,

故选：C.

3.（2024•四川攀枝花•模拟预测）下列各数中，是方程2x-l=3x+l的解的是（）

A.x=2B.x=-2C.x=1D.x=1和-2

【答案】B

【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键.依次移项、合并同类

项、系数化1解方程即可.

【详解】解：2x-l=3x+l,

移项得：2比-3%=1+1,

合并同类项得：-久=2,

系数化L得x=-2,

故选：B.

4.（2024・辽宁•模拟预测）在解方程x+1=4久+8时，经过移项后的式子为（）

x+l7

A.3x=-7B.-T-=C.%=--D.%=4%+7

O4x3

【答案】A

【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法.

根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可.

【详解】解：x+1-4x+8,

移项得万-4%=8-1,

化简得3%=-7,

故选：A.

5.（2024•甘肃金昌•模拟预测）《九章算术》中有这样一道题："今有程传委输，空车日行七十里，重车日行

五十里.今载太仓粟输上林，五日三返.问：太仓去上林几何？"其大意为：驾马车在驿站间运送货物,

空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次.问：太仓距上林多少

里？设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为（）

%X5xX5

A-而+而=WB.而一而=§

xx3xx3

C—————D—+—=—

J5070570丁505

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题

的关键.

设太仓到上林的距离为x里，利用时间=路程+速度，结合5日往返3次，即可得出关于x的方程.

【详解】解：设太仓到上林的距离为x里，

依题意得：京+京=|；

故选：A.

6.（2024•山东枣庄•一模）已知x,y满足方程组｛对:，则无论机取何值，x,y恒有关系式是（）

A.%+y=1B.x+y=—1C.x+y=9D.x—y=9

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是

解此题的关键.把②代入①，得：%+y-5=4,整理后即可得出答案.

【详解】解：町对席，

把②代入①，得：%+y-5=4,

即久+y=9,

故选：C.

7.（2024・贵州贵阳•一模）把1-9这9个数填入3x3方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都

相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书.如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方,

则其中x+y的值为（）

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程的应用.根据每行、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元

一次方程，即可解决问题.

【详解】解：由题意得：无+5+y=3+5+7,

x+y—10,

故选：B

8.（2024•江苏镇江•模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一.如图，我们可以用

秤蛇到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重

为x（斤），秤蛇到秤纽的水平距离为y（cm＞下表中为若干次称重时所记录的一些数据：

%（斤）

y（厘米）

当x为11斤时，对应的水平距离y为（

秤布

A.3cmB.3.25cmC.3.5cmD.3.75cm

【答案】B

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等

知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

观察表格数据可以发现y与X之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出y关于X的

函数关系式，然后将久=11代入函数解析式，求出对应的函数值即可.

【详解】解：观察表格数据发现y与%之间存在一次函数关系，故设y=kx+b,

将点（2,1）与（6,2）分别代入，得喘胃:瑞,

②-①，得：4k=1,

系数化为1,得：k=0.25,

将k=0.25代入①，得：2x0.25+6=1,

移项，得：6=1—2x0.25,

合并同类项，得：fa=0.5,

y关于x的函数关系式为y=0.25%+0.5,

将x=11代入上述解析式，得：y=0.25x11+0.5=3.25,

即当x为11斤时，对应的水平距离y为3.25cm,

故选：B.

9.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）小明恰用20元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种

都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（）

A.4种B.3种C.2种D.1种

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.

设买笔记本x个，中性笔y个，且1WXW8,1<y<6,x,y为正整数，依题意得，2久+3y=20,即

%=10-^,然后求解作答即可.

【详解】解：设买笔记本%个，中性笔y个，且1<y<6,%,y为正整数，

依题意得，2久+3y=20,

解得，%=卓=10号，

.•.当y=2时，x=7；

当y=4时，x=4；

当y=6时，x=1；

综上所述，共有3种购买的方案，

故选：B.

10.（2024・贵州贵阳•二模）已知关于%的方程2%-租=。的解是％=-3,则根的值为.

【答案】-6

【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于m的方程，解方程即可.本题考查了一元

一次方程的解，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

【详解】解：把％=—3代入方程中得：

2X（—3）—771=0,

m=-6,

故答案为：-6.

11.（2024•贵州贵阳•二模）某车间有20名工人，每人每天可以生产600个螺母或900个螺丝.一个螺丝需

要配两个螺母，为使每天生产的螺丝与螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母，根据题意可列方程

【答案】600%=2X900（20-%）

【分析】本题考查了列一元一次方程，设安排x名工人生产螺母，则（20-x）名工人生产螺丝，根据题意

列方程即可.掌握列方程解应用题的关键是建立等量关系.

【详解】解:设安排万名工人生产螺母，则（20-吗名工人生产螺丝，

由题意得600久=2X900（20-%）,

故答案为：600x=2X900（20-%）.

12.（2024•广西・模拟预测）点4（—犯2爪+1）在函数丫=一比+1的图象上，则租=.

【答案】0

【分析】本题考查的是一次函数的性质，解一元一次方程，先根据点4（-成2爪+1）在函数y=-久+1

的图象上，即可得出-（—机）+1=2爪+1,然后解一元一次方程即可得出机的值.

【详解】解：点力（一山,2巾+1）在函数y=-x+i的图象上，

•••一（—771）+1=2?7l+1,

解得：771=0,

故答案为：0.

13.（2024•山西•模拟预测）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为

xcm,宽为ycm,可列方程组：.

L口耒,（x+y=40

【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.设每块小长方形地砖的长为％cm,宽为ycm,由图示可得等量关系：①2个长=1个长+3个宽,

②一个长+一个宽=40cm,列出方程组，解方程组即可.

【详解】解：设每块小长方形地砖的长为％cm,宽为ycm,由题意得：

（2x=x+3y

t%+y=40'

故答案为：｛雷二帝.

14.（2024・贵州・模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空

间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者,

他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：

*lf小星:我买了1件甲种飞船］j小红:我买了2件甲种飞船|XRk

4模型和1件乙种飞船模型，I|模型和3件乙种飞船模型，/J**5

禹［共花了40元.J［共花了95元.

⑴求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？

（2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少

种购买方案.

【答案】（1）甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元

（2）有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10

件乙种飞船模型

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列

出二元一次方程（组）是解题关键.

（1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种

飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方

程组，解之即可；

（2）设购进。件甲种飞船模型和6件乙种飞船模型，根据总价=单价X数量，得到关于0、6的二元

一次方程，结合。、6是正整数即可得所有购买方案.

【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元，

根据题意得法：汇累5，

解得

答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；

（2）解：设购买a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，

根据题意得25a+15b=200,

:a=8一—b,

•••a,b均为正整数，

当6=5时，a=5；

当b=10时，a=2,

.,.有2种购买方案如下：

①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；

②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型.

能力提升

1.（2024•山东东营•模拟预测）聪聪买一套4本装的《西游记》和1本《童活故事》共用去84元.如果1本《童

话故事》的价钱是1本《西游记》的3倍，这本童话故事是（）.

A.12元B.21元C.36元D.42元

【答案】c

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设1本《西游记》的价钱是x元，则1本《童话故事》的价钱是

3x元，根据"买一套4本装的《西游记》和1本《童活故事》共用去84元”列出方程求解后可得结论.正

确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.

【详解】解:设1本《西游记》的价钱是x元，贝以本《童话故事》的价钱是3x元，

依题意，得：4%+3%=84,

解得：%=12,

3x=3x12=36（元），

••.这本童话故事是36元.

故选：C.

2.（2024,湖南•模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术"中指出："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至

于不可割，则与圆周合体而无所失矣"，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，

比如在1+]+/+或+/+…中，"…”代表按规律不断求和，设1+J+尚+g+2+“=则有

22/2，22/2，2，

1iliiill

x=l+-x,解得％=2,故1+5+豆+石+—=2.类似地至+亳+京H—的结果为（）

1964

A-iB-8C.gD.-

【答案】A

【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去

1111111

括号、移项、合并同类项、系数化为L设1+城+域+京+…=心知1+5+域+e+…=1+5

（1+白+=+吃据此可得x=l+9再进一步求解可得.

\32343673

【详解】解：设1+/+城+/+...=居

贝U1+/+/+捻+“,=1+/（1+/+蛾+/+…1

1

・,・X=1

解得O

1119

••・1+至+裒+3+…=7

1111

二7+亚+袤+”,=7

故选:A

3.（2024•河北•模拟预测）如图1和图2,天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡,

若1个“□”与几个"的质量相等，贝切的值为（）

\rmAA/xmcTTi/VYYIAA/\/

△△

和图2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系.设1个“□”的质量为K，1个"△"

的质量为y,1个"。”的质量为z,再根据题意列出方程组即可求解.

【详解】解：设1个"□"的质量为x,1个"△"的质量为y,1个"。"的质量为z,

3x+2y=2x+3z

根据题意可得:2y+3z=x+2z'

整理得：｛X+2y=3z(l

2y+z=x@

①一②得：x=2z,

即1个"口"与2个"o”的质量相等,

故选：B.

4.（2024•四川成都•模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走3km,平

路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需要54min,从乙地到甲地需42min.则从甲

到乙地的全程是（）

A.186kmB.90kmC.96kmD.3.1km

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.设从甲地到乙地的上坡长为%km,平路长为ykm,根据时

间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出久，y的值，由此即可得.

【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为xkm,平路长为ykm,则从乙地到甲地的下坡长为xkm,平路

长为ykm,

Xy54

+

-----

3460

%y-42

由题意得:+

---

546O-

解得碇邪，

则甲地到乙地全程是x+y=1.5+1.6=3.1（km），

故选：D.

5.（2024•江苏扬州•三模）设Gtigg，…，。2024是从-L0,3这三个数中取值的一列数，若与+&2+a3H---F

2333

ct.2024=13,a：+城+a|4—+a2024=59,则aj+a2+a3+…+a2024=（）

A.154B.155C.156D.157

【答案】D

【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

根据题意，设这一列数中有久个一1,y个3,可列｛(_：马与丫59，即可求出久与y的值，再将其代

3

入a；+a|+a|+a|024=(—l)^+33y中计算即可.

【详解】解：设这一列数中有%个一1,y个3,

——％+3y=13

可，」1(—1)2%+32y=59，

解得:

,,,a；+a：+a|+■-■+城024

=(-l)3x+33y

=-5+27x6

=157,

故选：D.

6.(24-25七年级上•重庆•阶段练习)下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹

角是65。，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是65。，小李钻研了分钟.

【答案】23夕等

【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度

数关系：分针每分钟走360。+6。=6。，时针每分钟走360。+12+60=0.5。，并且利用起点时间时针

和分针的位置关系建立方程求解.

【详解】解：分针每分钟走360。+60=6。，时针每分钟走360。+12+60=0.5。，

四点整时，时针和分针之间的夹角是4x(360°+12)=120°,

设小李开始钻研时是4点x分，则由题意可得：(120+0.5x)-6尤=65,解得比=10,

即：下午4点10分时，小李开始钻研，

7

设结束时是4点y分，则由题意可得：6%一(120+0.5y)=65,解得y=33五，

即：下午4点33看分时，小李结束钻研，

•••小李钻研了335—10=23,分，

故答案为：23A.

7.(2024・广东•模拟预测)关于x,j的方程组｛黑:就二端的解满足<2,则n的取值范围是.

【答案】n>-2

【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题

的关键.①-②得久-丫=-2n-2,根据x-yW2得出关于〃的不等式求解.

【详解】解：卜黑6M索%),

①一②，^x-y=-2n-2,

'：x—y<2,

**•—271—2<2,

.,.n>—2.

故答案为：九2一2.

8.（2024•广东广州•中考真题）定义新运算：。®6=｛_9工［陡>°6,例如：-204=（-2）2-4=0,

203=-2+3=1.若久01=—z，贝此的值为.

【答案】—9或3

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义.根

据新定义运算法则列出方程求解即可.

【详解】解：:a0b=｛

I—a十u,CLx>U,

3

而x（8）1=4-

・•.①当XWO时，则有%2-1=-%

解得，%=-p

②当x>0时，-x+l=-*

解得，x=3

综上所述，X的值是-J或

故答案为：-j或

9.（2024・江苏宿迁・中考真题）若关于X、>的二元一次方程组｛暇｝J二，的解是｛二32，则关于-）的

方程组｛戈士.二或；/的解是-

【答案】｛J二

【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把｛J=一2,代入=%,得到

廖展整体代入｛对君二弃空中，得到方程组图±2"5比翘，加减消元法解方程组

即可.

【详解】解：把｛J=刍代入晦与二3得：｛言箕3

fax+2y=2a+b

.tcx-2y=2c+d'

Ja%+2y=2a+3a—2,lnfax+2y=5a—2（D

"c%—2y=2c+3c+2'':lc%—2y=5c+2②'

①+②‘得：（a+c）%=5（口+c），

•••方程组｛叫二J二」有解，

•,-a+cH0,

/.%=5,

把％=5代入①，得：5a+2y=5。-2,解得：y=-l；

・••方程组的解集为：｛J=-1;

故答案为：

10.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲

槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每

个小球所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入

不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔

槽小球上所标的数字），完成第一次操作.再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分

之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是—

（从"甲槽"、"乙槽"、"丙槽"中选填）.

【答案】乙槽

【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得了分，第三次操作乙得z分，根据题意，得

x+y+z=10,当y=z=l时，x最大，为8,根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故

第二次操作最小的是乙槽.

本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键.

【详解】设第一次操作乙得X分，第二次操作乙得〉分，第三次操作乙得Z分，根据题意，得

x+y+z^lO,当y=z=l时，x最大,为8,根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故

第二次操作计分最低的是乙槽.

故答案为：乙槽.

◎■真题感知

1.（2024•江苏宿迁•中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之,

绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把

绳四折来量，井外余绳一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（）

1,1Y1X1X

A.-x-4=-x-lB.TX+4=-x-l

3434

1111

C.-x—4=-%+1D.-%+4=-%+1

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键.

【详解】解：设绳长为x尺，列方程为$-4=%—1,

故选A.

2.（2024・江苏无锡•中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢"问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海

飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经

过多少天相遇？设经过X天相遇，则下列方程正确的是（）

A.yx+=1B.=1C.9x+7%=1D.9x—7%=1

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为义，大雁的速度为:设经过

x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程.

【详解】解：设经过“天相遇，

可列方程为：夫+白=1,

故选：A.

3.（2024・山东日照・中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿"问题："一条竿

子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？"译文为："有一

根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短