轴对称与等腰三角形（原卷版）

考点01轴对称与等腰三角形

知识框架

「轴对称图形与轴对称的概念

轴对称图形的性质

线段的垂直平分线的性质和判定

基础知识点角平分线的性质和判定

画轴对称图形

等腰（等边）三角形的概念、性质定理和判定

等腰三角形“三线合一”

’判断轴对称图形

轴对称性质的应用（折叠）

线段的垂直平分线性质的运用

角平分线性质的运用

重难点题型

等腰三角形的性质与判定

复杂的尺规作图

利用轴对称性质求最值

等腰（等边）三角形与全等三角形综合题

基础知识点

知识点1-1轴对称图形与轴对称的概念

1）轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

注：①对称轴必须是一条直线例：太极图不是对称图形

△:△电

②对称图形是一幅图例I不是I是

③轴对称，对称轴可将图形分为两个全等部分，但被对称轴分为全等两个部分的图形不一定是对称图形。（即仅

翻折，平移、旋转不可）

例：

3）轴对称：将一个图形沿某一条直线折叠，它能与另一图形重合。我们称这两个图形关于这条直线（成轴）对

称。这条直线叫作对称轴。折叠后重合的点叫作对应点

注：①对称轴必须是直线；②对称图形是两幅图形；③轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定轴

对称.

1.（2021•江苏省天一中学九年级三模）下列图形中，是轴对称图形的是（）

4fB❷4一监

2.（2021•扬州中学教育集团树人学校九年级三模）横撇竖捺，构架成一个个文字，在下列表示生肖的方块字中,

是轴对称图形的是（）

鼠B牛。马。羊

3.（2021•江苏九年级二模）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，下面四幅

设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（）

A②B⑤"卷）0（^）

4.（2021•河北七年级期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）

①角;②线段;③等腰三角形;④等边三角形;⑤一般三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2021•江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质,那么在下列各数中也满足上述性质的是

D.808

知识点1-2图形轴对称的性质

1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线

2）中垂线的画法：（尺规）

原理：AC=BC=BD=AD/.△ACD^ABCD.-.ZACO=ZBCO--AACO^ABCO

AO=OB且/COA=NCOB=90。，CD为AB的中垂线

3）画2个轴对称图形，连接对应点，寻找规律

①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线

4）确定对称轴的方法：找出一组对应点，连线后作中垂线即为对称轴。

1.（2021北京市八年级期中）下列说法中正确的是（）

①对称轴上没有对称点；②如果AABC与△A3。关于直线L对称，那么SAABC=Sd,夕c；③如果线段=直

线L垂直平分A4，，则和A8关于直线L对称；④射线不是轴对称图形.

A.②B.①④C.②④D.②③

2.（2021•江苏八年级专题练习）如图,若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，ZABE=90°

,则NF的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

3.（2021•黑龙江八年级期末）如图所示，ZMON=45。，点P为NMON内一点，点P关于OM、ON对称的对称

点分别为点片、鸟，连接。P、。6、%、理、啊耳鸟分别与。M、ON交于点A、B,连接ARBP,则N4PB的

度数为________

4.（2021•安徽九年级一模）如图，在四边形A3CD中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于5。的对称点

P：②作射线PC交3。于点。；③连接AQ.试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（）

A.ZPCB=ZAQBB.ZPCB<ZAQBC.NPCB>ZAQBD.以上三种情况都有可能

5.（2021•黑龙江哈尔滨市•八年级期末）下列说法正确的是（）

A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形

B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形

C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形

D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形

5.（2021•河南驻马店市•八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方

向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图

①）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对

应点所具有的性质是.

C

承AK

图①图②

6.（2021学年七年级数学下学期期末专项复习）如图，“BC中，C、。关于对称，B、9关于AC对称，。、

£分别在A3、AC上，S.CD//BC//B'E,BE,CD交于点F,若NBFD=a,/BAC=/3,则a与£之间的关系为

（）

A.2£+a=180。B.a—2,/3C.a=1■/D.a—180°-1■/

知识点1-3线段的垂直平分线的性质和判定

1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

cPA=PB

2）判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。.

3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点

外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等

1.（2021•河北保定市•八年级期末）AMC内一点尸到三边距离相等，则点P一定是AABC（）

A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三条高的交点D.三条中线的交点

2.（2021•全国九年级专题练习）如图，在AABC中，AB=6,AC=8,8C=11,A8的垂直平分线分别交AB,BC

于点。、E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,则AAEG的周长为_.

3.（2021•辽宁九年级二模）如图，在RMABC中，/。=90。,/3=22。,「。垂直平分48,垂足为。，交8c于点

P.按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC,A8于点。，E；分别以点。，E

为圆心，以大于;的长为半径作弧，两弧相交于点B作射线AR射线AF与直线尸。相交于点G,则/AG。

的度数为度.

4.（2021•江西八年级期末）如图，在AABC中，DE是边AC的垂直平分线，交AC于点。，交AB于点E,点、P

是直线DE上的一个动点，若AB=5,则加+PC的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

5.（2021•山东济南市•七年级期末）如图，在AABC中，ZBAC=12.0°,分别作AC,AB两边的垂直平分线PM、

PN,垂足分别是点M、N.以下说法正确的是（填序号）.

①/尸=60。；®ZEAF=ZB+ZC；®PE=PF；④点P到点3和点C的距离相等.

p

B

5.（2021•内蒙古中考真题）如图，在KAABC中，NACB=90。，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是

A.ZBDE=ZBACB./BAD=NBC.DE=DCD.AE^AC

6.（2021•辽宁九年级二模）如图，将AABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',点C的对应点为点C',C®的延

长线交BC于点。，连接AD则下列说法错误的是（）

A.AABC=AAB'CB.AB'/IBCC./CDC'=/CAC'D.AD平分/BDB'

知识点1-4角平分线的性质和判定

1,角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图，已知OC平分NAOB,CD±OA,CELOB,则CD=CE.

3、利用尺规，作NAOB的平分线.

求作：射线OC,使=

作法：（1）在Q4和。8上分别截取O。，OE,使O£>=OE.

（2）分别以。，石为圆心、以大于‘DE的长为半径作弧，两弧在/A05内交于点C.

2

（3）作射线OC.OC就是N496的平分线.

1.（2020•呼和浩特市启东中学八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路

的距离相等，则可供选择的地址有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021•江苏南通市•八年级期末）如图①,已知443C,用尺规作它的角平分线（如图②）.

尺规作图具体步骤如下，

第1步：以3为圆心，以「为半径画弧，分别交射线54,5。于点RE；

第2步：分别以为圆心，以加为半径画弧，两弧在NABC内部交于点歹；

第3步：画射线8尸.射线即为所求.下列说法正确的是（）

A.厂有最小限制，机无限制B.r>0,加的长

2

C.r..0,加<二。后的长D.连接。E,则OE垂直平分BE

2

3.（2020•福建省福州民族中学八年级月考）如图，已知AABC.（1）尺规作图：作NBAC的角平分线交BC于

点D,作/ABC的角平分线交AC于点E,且AD、BE交于点O（保留作图痕迹）。（2）连接OC,若AB=6,

BC=4,AC=8,求S^ABO:SAACO-Sgco的比值•

A

B

4.（2020•浙江省绍兴市锡麟中学八年级月考）如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别

交AB,AC于E,F两点；再分别以点E,F为圆心，大于上EF长为半径作弧，两条弧相交于点G,作射线AG

2

交CD于点H.若NC=140。，则/AHC的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

5.（2021•广东中山市•八年级期末）如图，已知AABC.

（1）尺规作图：作NABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）如果AB=8,BC=12,AABG的面积为18,求AC8G的面积.

6.（2021•四川八年级期末）如图，在用AABC中，ZC=90°,利用尺规在班，2C上分别截取=3N；分别

以点Af,N为圆心，以大于1皿的长为半径作弧，两弧在/C附内部交于点E；作射线BE交AC于点产.若

CF=2,点H为线段上的一动点，则的最小值是.

知识点1-5画轴对称图形

1）关于对称轴1成轴对称图形的性质：

①两个图形完全相等（全等）；②对应点的连线组成的线段被对称轴1垂直平分

2）画一个与已知图形关于对称轴对称图形步骤：

①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端对为对应点

③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线

注：①折线部分：特殊点之间直线连接即可；②曲线部分：选取曲线中的特殊点，找出这些特殊点，再用曲线连

接。

例：I以圆心为特殊点

1.（2021•浙江九年级一模）如图，己知图形X和直线/.以直线/为对称轴，图形X的轴对称图形是（

X'

2.（2021•河北秦皇岛市•九年级一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③

④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（）

D.④

3.（2021•江苏苏州中学八年级期中）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，AABC的三个顶点落在小正

方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△A3c成轴对称的三角形共有

__________个.

4.（2021•河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以

多次反弹），则球最后落入的球袋是（

1号袋2号袋

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

5.（2021•湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（

6.（2020•无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是弓［,则实际的号

码为—.

7.（2021•湖北八年级期末）如图，3c的顶点A,B,。都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求

画图.

（1）画△A4G，使它与AA5c关于直线/成轴对称；

（2）在直线/上找一点p,使点p到点A,点3的距离之和最短；

（3）在直线/上找一点。，使点。到边AC,的距离相等.

知识点1-6等腰三角形的概念、性质定理和判定

1）等腰三角形：有两条边相等的三角形

腰：相等的两边底边：不相等的那条边

顶角：两腰的夹角底角：腰与底边的夹角

注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性质都满足；②等腰三角形是轴对称图形

2）性质一：等腰三角形的两个底角相等。等角O等边

证明：作中线、作高、作角平分线皆可证明

注：涉及等腰三角形的角或边时，一般要指出顶角、底角，底边、腰。若未指出，会存在多解情况。

例：等腰三角形，一边长7cm,另一边长8cm,则三角形周长为:

3）等腰三角形的判定

等腰三角形~两个角相等

应）

两个边相等

4）等边三角形的性质与判定:

性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

判定：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

L（2021.江苏八年级期中）有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形

的中线、高线和角平分线互相重合；④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高

线其中正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

2.（2021•山东九年级一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6,E,尸是边上的三等分点.分别过点E,

厂沿着平行于R4,C4的方向各剪一刀，则剪下的△。口的周长是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2021•江苏中考真题）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A5,在网格中再找一个格点C,

使得aABC是等腰直角三角形，满足条件的格点。的个数是（）

B.3C.4D.5

4.（2021•福建九年级二模）如图，正五边形ABCDE中，尸为8边中点，连接AF,则NBAF的度数是（）

A.50°B.54°C.60°D.72°

5.（2021广东九年级一模）如图，在△ABC中，AB=AC=8,AD是角平分线，座是中线，则。石的长为（）

BDC

A.3B.4C.5D.6

6.（2021•辽宁九年级一模）如图，AABC是等边三角形，AO是2C边上的中线，点E在AD上，且=

则NAFE=（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

7.（2021•广西钦州市•八年级期末）如图,△ABC是等边三角形,是中线，延长3C至E,使CE=CE>,则下

列结论错误的是（

A.ZCED=30°B.NBDE=120°C.DE=BDD.DE=AB

8.（2021•广东八年级期末）如图，ZABE=ZACD,ZEBC=ZDCB,则下列结论正确的有（）

®AB=AC；@AD=AE；③BD=CE；®CD=BE.

C.3个D.4个

9.（2021•重庆八年级期末）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,点。是3c边的中点，点P是AC

边上一个动点，连接PO,以尸。为边在PO的下方作等边三角形PQ。，连接CQ.则02的最小值是（）

p

Q

A.走B.1C.V2D.-

22

10.（2021•四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，A,B,E三点在同一直线上，AABC,△（?£>£都是等

边三角形，连接AD,BE,OC:下列结论中正确的是（）

①△ACD0ZXBCE；②△CPQ是等边三角形；③0c平分NAOE；④△BP。丝△即。

11.（2021•淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，ZAOB=60°,C是延长线上一点，若OC=18cm,动点

尸从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点。从点。沿Q4以1cm/s的速度移动，如果点P、。同时出发，用心）

表示移动的时间，当》=s时，△PO。是等腰三角形？

知识点1-7等腰三角形“三线合一”

1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）

注：①“三线合一”仅指等腰三角形中的一条线、另外两条线无此规律；

②利用“三线合一”，可判断等腰三角形；

③只要“两线合一”，则必定“三线合一”（用全等易证）

1.（2020•广东深圳•中考真题）如图，已知AB=AC,BC=6,尺规作图痕迹可求出（）

A

A.2B.3C.4D.5

2.（2021•上饶市第二中学初二期中）如图，在△A5C中，48=&。,七＞为5。的中点，有下列四个结论：①

其中正确的结论有（）

ZB=ZC；②ADLBC；③NBAC=2/BAD；@SAABD=SAACD.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2020•广东广州•绿翠现代实验学校初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，BD=4cm,

贝!]BC=cm.

4.（2020•福建中考真题）如图，A。是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,则CD等于（）

A.10B.5C.4D.3

5.（2021•上海风华初级中学初二月考）如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,ZB=ZE,点F

是CD的中点，求证：AFXCD.

6.（2021•成都市初二月考）如图AD是等腰△ABC的顶角的平分线,E点在上,尸点在AC上，且AD平分NEE*,

则下列结论错误的是（）

A

ZBDE=ZCDEC.?BED?CFDD.ZBDE=ZDAE

重难点题型

题型1判断轴对称图形

方法技巧：掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么

称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

注意：理解轴对称图形的定义应注意两点:

（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。

（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。

1.（2021•云南师大附中初二期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，危难时刻,

全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（）

齐鲁医院华西医院湘雅医院协和医院

2.（2021•湖北武汉初三二模）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（）

嗓。瓜A

3.（2021•广东高州•初二期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

B（§）

4.（2021•湖南师大附中高新实验中学初三二模）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）

5.（2020•江苏仪征初三一模）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（）

6.（2020•江苏吴江•初二期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴

对称图形的是（）

题型2轴对称性质的应用（折叠）

方法技巧：常见应用为折叠问题。折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。

1.（2021•江苏七年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，ADHBC,将长方形纸片沿8。折叠，点A落在点E

处，DE交边BC于点、F,若NAD3=2O。，则NOR?等于（）

C.50°D.40°

2.（2021•石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）如图，将长方形A3CD沿折EF折叠后，ED与8尸交于G点,

若NEFG=50。，则的度数为（

C.120°D.130°

3.（2021•江苏七年级期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD//BC,AB//CD,把纸片沿折叠后，点C、D

分别落在C'、DC的位置.若NEFB=65。,则ZAED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

4.（2021•重庆七年级期末）如图，为等腰直角三角形，NC=90。、将AABC按如图方式进行折叠，使点A

与BC边上的点尸重合，折痕分别与AC、AB交于点。、点E.下列结论：@Z1=Z2;②4+N2=90。；③

/3+/8=90。；@DF//AB.其中一定正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2021•江苏七年级期中）如图，将四边形纸片A8C。沿MN折叠，点A、。分别落在点4、d处.若/1+

6.（2021•湖北襄阳市•八年级期末）如图，四边形48CZ）中，AD//BC,DCLBC,将四边形沿对角线折叠,

点A恰好落在。C边上的点E处，若/EBC=2Q°,求/防。的度数.

题型3线段垂直平分线性质的应用

方法技巧：掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

1.（2021•河南八年级期末）如图，在nABCZ）中，连接AC,按以下步骤作图：分别以点A,C为圆心，以大于

gAC的长为半径画弧，两弧分别相交于点"，N,作直线MN,交8于点E,交A3于点歹.若A3=5,BC=3,

则AADE的周长为（）

D

A.7B.8C.9D.10

2.（2021•山东临沂市•八年级期末）如图，AABC中，AB=AC,BC=3,S^BC=6,于点。，EF是AB

的垂直平分线，交A5于点£,交AC于点尸，在石尸上确定一点P,使必+夕。最小，则这个最小值为（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

3.（2021•广东七年级期末）如图，在△A3C中，ZB=65°,ZC=28°,分别以点A和点。为圆心，大于;AC画

弧，两弧相交于点"，N,作直线MN,连接A。，则NBA。的度数为一.

4.（2021•山东八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6,BC=1,AC=4,直线加是△ABC中BC边的垂直平

分线，2是直线加上的一动点，则4相。的周长的最小值为.

5.（2021•河北九年级二模）如图，已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹.

CH

①一

②

步骤1：以C为圆心，C4长为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，班长为半径画弧②，交弧①于点。；

步骤3：连接AD,交的延长线于点H.

则下列说法不正确的是（）

A.A”是AABC中2C边上的高B.AH^DHC.AC平分ZS4D

D.作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

6.（2021.江苏八年级期中）如图，AABC中，边AB,3C的垂直平分线交于点P.

（1）求证：PA=PB=PC.⑵点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由.

7.（2021•湖南怀化市•八年级期末）如图.在AABC中,ZC=90°,ZA=30°.

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交A3、AC于。、E,交8c的延长线于F,连接班.（不写作法,

保留作图痕迹）（2）求证：平分NABC.（3）求证：AE=EF.

题型4角平分线的运用

1.（2021•广东深圳市•八年级期末）如图，Rt^ABC中，NC=90。，AD平分44C,交BC于点。，AB=18,

^^ABD=27,则6的长为（)

2.（2021•河南七年级期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,AABC的面积为10,3。平分ZABC,若M、

N分别是80、8C上的动点，则C0+MN的最小值为（）

A.4B.5C.4.5D.6

3.（2021•湖南八年级期中）在AABC中，NC=90。，角平分线交BC于点D,BC=32,BD：CD=9：7,则

D点到AB边的距离为（）

A.18B.16C.14D.12

4.（2021•重庆南开中学七年级期末）如图，在胆AABC中，ZACS=90°,点。在2C边上，连接AD,点E、F

分别为A8边，AC边上的点，连接。E、DF,使得DA平分NEDF,MDE=DF,过点。作。GLA8于点G.（1）

若DFHAB,求证：AE=DE；（2）求证：DG=CD.

5.（2021•福建九年级一模）如图，将AABC绕点A按逆时针方向旋转NZMC的度数得到AA£D.

（1）尺规作图：确定AAED的顶点E的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；

（2）连接AE,DE,设BC的延长线交DE于点G,连接AG.求证：AG平分

D

C

6.（2021•湖北）（1）模型:如图1,在AMC中，AD平分44C,Z）E_LAB,求证：:SAADC=AB:AC.

（2）模型应用：如图2,AD平分/E4c交BC的延长线于点。，求证：AB:AC=BD:CD.

（3）类比应用：如图3,A3平分N2ME,AE=AD,/Z）+/E=180。，求证：BE:CD=AB:AC.

7.（2021•江苏七年级期末）如图，任意画一个44c=60。的AABC,再分别作AABC的两条角平分线班和8,

BE和CO相交于点尸，连接AP,有以下结论:①NBPC=120。；②:S^p=AB:AC；③尸£>=尸石；④AD=AE；

⑤BD+CE=BC.其中正确的结论为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型5等腰三角形的性质

方法技巧：掌握等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

1.（2021•广东清远市•八年级期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=50°,8。为NA8C的平分线，则

A

2.（2021•江苏九年级二模）顶角是36。的等腰三角形叫做黄金三角形.如图，AC.AD,3E是正五边形钻3的

3条对角线，图中黄金三角形的个数是.

3.（2021•山东济南市•八年级期末）如图，AABC和△。所是两个等腰直角三角形，/BAC=/DFE=9。。,AB=

AC,FD=FE,ADEE的顶点E在边8C上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线

段。1相交于点。，当E为2C中点，连接AE、PQ,若AP=3,AQ=4,PQ=5,则AC的长=.

4.（2021•重庆南开中学八年级期末）如图，在等边"BC中，点。、E分别在边AC、BC上，AD=CE,连接

AE,点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN,MN=ME,若/DBC：ZBEN=8：7,则NAEN的度数为

5.（2021•重庆八中八年级期末）如图，在AASC中，4=30。，M、N为边AB、BC上的两个动点，将ABMN沿

翻折，翻折后点8的对应点。落在直线8c上方，连接CQ,ZDCB=2ZAMD,且N/WD>20。，则当△CZW

是等腰三角形时，ZAMD=度.

6.（2021•四川）如图，已知/MON=30。，点A、4、A3…在射线QV上，点耳、星、鸟…在射线上，△4月4、

△&BH、△444…均为等边三角形，若0A=1，则△4。2。22。2。4⑼的边长为

7.（2021•陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形A8CD中，AB=6,4。=8。=3,E为AB边中点,

且NCE£>=120。，则边0c长度的最大值为.

题型6复杂的尺规作图

方法技巧：熟悉尺规作图的五种基本做法，结合题设要求解题即可

1.（2021•成都市初二月考）某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路AB、AC的

交叉区域内设置一个垃圾投放点P,现要求尸点到两条道路的距离相等，且使PM=PN,请你通过尺规作图找

出这一尸点（不写作法，保留作图痕迹）

2.（2021•浙江九年级一模）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个

城镇A,8的距离必须相等，到两条高速公路机和〃的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？请用尺规作

图标出它的位置.

m

B

o

n

3.（2021•北京七年级期末）已知：点尸是三角形ABC内一点.

（1）过点P作AC的平行线交于点E,交2C于点色（2）过点尸作AB的垂线，垂足为点。；

（3）测量NEPQ=°；（4）测量线段瓦三cm.

4.（2021•广东八年级期末）如图，在AABC中，平分NABC,ZA=80°,ZC=40°.

（1）作边上的高A。，求NBA。的度数；（2）作NA4C的平分线AE,分别交BC,BF于点E,O,求/AOB

的度数.（要求尺规作图，保留作图痕迹.不写作法）

5.（2021•重庆八年级期末）在RtMBC中，ZA=90°,AB=4,ZC=30°.

（1）用尺规完成以下基本作图：作D8的平分线交AC于点£）,过£>作直线BC的垂线交8c于点E；

（2）求ADEC的周长.

6.（2020•江阴初级中学初三月考）如图，在MAABC中，ZC=90°,点。是AB的中点，AC<BC.

（1）试用无刻度的直尺和圆规，在3c上作一点E,使得直线瓦（平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作

图痕迹）.（2）在⑴的条件下，若。E分尺柩48。面积为1：2两部分，请探究AC与BC的数量关系.

题型7利用轴对称性质求最值

1.如图，RaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分别是A8,BC,AC边上的动点，则ADEP的周长的

最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

2.如图，NAO3=25。，点M,N分别是边Q4,。8上的定点，点P,。分别是边。3,上的动点，记=&,

ZPQN=J3,当MP+PQ+QV的值最小时，尸―。的大小=（度）.

Q

M

3.如图，在Rt^ABC中.ACIBC,若AC=5,BC=12,AB=13,将Rt^ABC折叠，使得点C恰好落在

AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD上一动点，则的周长最小值为一.

4.如图，点。是锐角NAOB内一点，DELOA于点E,点尸是线段OE的一个动点，点G是射线的一个动

点，连接。尸、FG、GD,当A£>^G的周长最小时，NEDG与NAO3的数量关系式是.

5.下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输

气管线最短？(不写做法，保留作图痕迹)

A镇

I-----!燃气管

6.如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G(-3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对称，ZGAH

=60°,P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

7.如图，在四边形ABDE中，C是的中点，AB=3,BD=4,DE=5,若NACE=120。，则线段AE的最大

值为___________

题型7等腰三角形与全等三角形综合题

1.如图，在锐角AABC中，点。在线段C4的延长线上，8C边的垂直平分线分别交边于点E,交/54c的

平分线于点交BAD的平分线于点N,过点C作AM的垂线分别交AM于点孔交MN于点O,过点。作OG

_LAB于点G,点G恰为边的中点，过点A作A/LBC于点/,交OC于点H,连接。4、08,则下列结论中，

(l)ZMAN=90°；(2)ZAOB=2ZACB；(3)OH=2OG；(4)AAF0^AAFH；(5)AE+AC=2AG.正确的是.(填

序号)

2.如图1,在等边三角形A3C中，ACBC于RCELAB于与CE相交于点0.

(1)求证：04=200；(2)如图2,若点G是线段AD上一点，CG平分N3CE,ZBG尸=60。,G尸交CE所在直

线于点厂.求证：GB=GF.(3)如图3,若点G是线段OA上一点(不与点。重合)，连接3G,在BG下方作

ZBGP=60。,边G尸交CE所在直线于点尸.猜想：OG,OF.OA三条线段之间的数量关系，并证明.

3.如图1,在AABC中，2。_14(7于点。，AO=BO=3,0C=l,过点A作A8/BC于点X,交2。于点P.(1)

求线段0P的长度；(2)连接。/，求证：/OHP=45。；

(3)如图2,若点D为A8的中点，点M为线段8。延长线上一动点，连接过点。