最值模型之逆等线模型解读（学生版）-2025年中考数学

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最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查,逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类

考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分

析，方便掌握。

目录

例题讲模型..............................................................................1

模型1.最值模型一逆等线模型（三角形边上的逆等线）.....................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）........................................3

模型3.景值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）........................................4

模型4.就值模型一逆等线模型（朴殊平行四边形的逆等微）................................6

模型5.最值模型-小权逆等线模型.....................................................7

习题练模型..............................................................................9

例题讲模型

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点:动线段长度相等，并且位置错开。

条件:如图，在△ABC中，418。=a,及7=馆，47=九,点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,求

CD+BE的最小值。

n

a

证明思路:①A。在△A。。中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CF〃AB,且CF=AC。（构造一边一角，得全等）;③构造出2ADC也/XCEF（SAS）；证出

=CD；

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求，此时,B、E、F三点共线;

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。

1.（23-24九年级上•广东广州•期中）在等边三角形△ABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B

运动，同时，边8。上的点E从顶点B出发，向顶点。运动，两点运动速度的大小相等，设

40,9=AE+CD,y与C的函数图象如图，图象过点（0,4）,则图象最低点的纵坐标是（）

2.（23—24九年级上.江苏无锡.期末）如图，在等腰△4BC中，=AC=5,6,点D、E分别是

AB.AC上两动点，且AD=CE^^CD、BE,CD+BE最小值为.

3.（23—24九年级下•广东广州♦阶段练习）如图，在电ZVLBC中，48=3,AC=4,ZBAC=90°,D,E

分别是边AB,AC上的动点，且3。=AE,则CD+BE的最小值为

4.（24—25八年级上■四川成都•期中）如图，在△4BC中，N4BC=45°,NR4C=75°,AC=2,点E与点

D分别在射线与射线4D上，且AD=8E,则AE+的最小值为,AE+ED的最小值

为.

模型2.最值模型一逆等线模型（非边上的逆等线）

条件:已知三角形ABC中，4B=a,=6,CD为高，CE=BF,求AF+BE的最小值。

证明JB路:①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点口作BG〃CE,且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）;

③构造出△BECn/\GFB(SAS)；证出EB=FG；

@AF+BE^AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，4F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

1.（2024•安徽合肥•一模）如图，为等边△ABC的高，E、斤分别为线段AC上的动点，且AE=

CF,当BF+CE取得最小值时，ZAFB=

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

2.（2023・四川成都・一模）如图，在三角形△ABC中，ABAC=50°,AB=AC,8。，47于。，M,N分

别是线段上的动点，⑻W=CN,当⑷W+AN最小时，4MAD=

3.（2024.四川乐山.二模）如图,等腰AABC中,ABAC=100°,BD平分/ABC,点N为BD上一点,点

M为上一点，且BN=MC,若当4W+4V的最小值为4时，AB的长度是

模型3.最值模型一逆等线模型（同边上的逆等线）

条件：已知在Rt^ABC中,AACB=90°,AB=a，点E、。是线段4B上的动点,且满足AD=BE,

求CD+CE的最小值。

c

证明思路:①BE在ABEC中，以人。为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点人作且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）;

③构造出ABEC空/\ADF（SAS）；证出CE=FD；

④CD+CE=CD+即,根据两点之间，线段最短，连接CF,则CF即为所求，此时，F、。、。三点共线;

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=也可。

4.（23-24八年级上•北京朝阳・期末）如图，Rt/XABC^,AACB=9Q°,AB=30°,D,E为AB边上的两

个动点，且4D=8E,连接CD,CE,若4。=2,则。0+0£；的最小值为

5.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如图,在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F,连接

BE和BF,若AE=CF,AC-AB=9,AC—2,则BE+口尸的最小值是

模型4.最值模型-逆等线模型（糊秆行四边形的逆等线）

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABCD中，AD=a,AB=6,点E、F是边BD上的动点,且满足BE=DF,

求AF+AE的最小值。

证明思路:①跳;在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作ZFDG=/ABE=90°,且OG=AB=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出4ABE空△GDF（SAS）；证出力E=FG；

@AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短,连接AG,则AG即为所求，此时，4F、G三点共线;

⑤求AG。先利用相似求出和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条

线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

1.（2023•山东德州•校考一模）如图,在菱形4BCD中，N4BC=60°,4B=4,E,F分别是边和对角

线8D上的动点，且BE=。尸，则AE+AF的最小值为.

2.（2023•陕西西安・模拟预测）如图，矩形4BCD中，4B=6,AD=8,点E、F分别是边及7和对角线

口。上的例2.动点，且=则AE+4F1的最小值是

3.（2024•福建南平•一模）如图,在菱形ABCD中，4B=2,AABC=120°，点瓦尸分别在48,CD上，且

=连接小，人尸，则OE+AF1的最小值为.

模型5.量值模型一加权逆等线模型

条件：已知在/\ABC中，/ACB=a,AB=a,AC=b,点、E、D是线段AB,BC上的动点,且满足BE=k-

AD,

求+的最小值。

证明思路:①AD在XADC中，以跳;为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；

②即过点8作2EBF=ADAC=90°,且BF=%•4。=筋。（构造一边一角，得相似）；

③构造出AEBF^ADAC（SAS）；证出EF=k-DC-,

④40+上。。=40+的,根据两点之间,线段最短,连接人干,则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线;

⑤求AF。先确定/GBF=/4CB=a,再利用三角函数求出BG和FG,最后利用勾股定理求出AF即可。

1.（24—25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在等边△ABC中，BC=6,分别是边AB、AC上

的动点,且满足CF=2BE,则BF+2CE的最小值为

2.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，4B=5,BC=6,E、F分别为BC、

CD上的动点，且6E=2DF，则DE+2AF的最小值为.

3.（2024・四川成都•校考一模）如图，平行四边形ABCD,AB>AD,AD=4：,AADB=60°,点E、F为对

角线3。上的动点，£©=2BF,连接AE、CF,则AB+2CF的最小值为.

4.（2024•吉林•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，AB=4,ZABC=60°,斤分别是80,CD上的

点，若BE=2CF，则[斤+]AE的最小值是.

E

BC

习题练模型

1.（23—24九年级上•河南安阳•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线人。上有两动点E和F,连接

BE和若AE=CF,AC—AB=4,AC—BC=2,则+B尸的最小值是（）

C.6D.20

2.（2024.河南商丘.八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为边上的高,点M、N分别在AD.AC1.,

且4W=CN,连BAl'BN,当BM+8N最小时，的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

3.（23-24八年级下•安徽安庆・期末）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别是BC,CD边上的动

点，且BE=CF.（1）若BE=CF=1,则人石+人夕=；（2）AE+A尸的最小值为.

4.（2024.四川绵阳.三模）在Rt/\ABC中,ABAC=90°,AB=AC,点。，E分别为48,上的动点,

且AD=BE,AB=3四.当AB+CD的值最小时，CE的长为.

E

5.（23-24八年级下•江苏宿迁•期末）如图，边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60°,E,尸分别是4D,

BD上的动点，DE=连4F,CE,则人尸+CE的最小值为.

6.（23-24八年级上•四川成都•期末）在△4BC中，ABAC=90°,AB=5,AC=^~,D,E分别为射线

O

与射线AC上的两动点，且=连接入。，点,则人。+跳；最小值为；\AD-BE\的

最大值为

7.（2024.陕西西安.二模）如图，正方形ABCD的边长为2,E、F分别是对角线人。和边CD上的动点，满

足AE=DF.当BE+8尸=2通时，线段CF的长度为.

8.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，48=2,40=4,E、斤分别是边CD、AD

上的动点，且CE=。尸.当+CF的值最小时，则CE=.

9.（2024.湖北武汉.二模）如图，M为矩形4BCD中边中点，E、尸分别为反入CD上的动点，且BE

=2。尸,若AB=1,口。=2,则知石+2人尸的最小值为

10

M

AD

F

BEC

10.（23—24九年级上.福建福州・期末）如图，在平行四边形ABCD中，46=2四，8c=6,NADC=

120°,点E,尸分别在边AD,AB上运动，且满足连接BE,CF,则。尸+四班的最小值

是.

11.（2024.黑龙江绥化.模拟预测）如图：等边三角形/及7中，1,E、尸分别是边48、47上的动点,

且CF=28E,则BF+2CE的最小值为.

12.（2024.山东济南•二模）如图，在正方形ABCD中，夙斤分别是BC、CD边上的动点，且BE=2CF,若

4B=1,则DE+2BF的最小值是.

13.（23—24九年级上•陕西咸阳•阶段练习）如图，在△ABC中，48=4,AC=6,以点8为直角顶点、

为直角边向下作直角"CD,且8C=2皿,连接40,则AD的最大值是.

A

D

14.（23—24九年级上.四川成都.期末）如图所示，在矩形4BCD中，4B=4,8C=3,E,尸分别是AC,

CD上的动点，且然=已连接8后,8斤，当E为入。中点时，则BE+瓦』；在整个运动过程

CJT0

中9的最小值为

O

15.（2024•广东深圳•模拟预测）如图,在菱形ABCD中，乙4=22B,AB=2,点E和点尸分别在边48和

边上运动，且满足AE=CR，则。尸+CE的最小值为（）

A.4B.V3+V7C.2V3D.6

16.（23—24九年级上•四川成都・开学考试）如图，在矩形4BCD中，AB=2,ZACB=3Q°,P,O分别为

对角线AC边CD上的两点，且4P=CQ,BP+的最小值为.

17.（2024•江苏连云港・中考真题）【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形

面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图