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文档简介

一、以下判断是否正确，并说明理由（每小题7分，满分35分）1、实数域R可以看成复数域C上的向量空间。2、一个向量组若有线性无关的部分向量组，则该向量组线性无关。3、若矩阵A与B相似，则A与B的特征值相同。4、是R3上的线性变换。5、若二次型的矩阵是，则二次型为6、数域F上次数小于n的全体多项式以及零多项式，对于多项式的加法和数乘构成F上的向量空间。7、因为全为0时，，所以线性相关。8、都是向量空间V中的线性变换，若，则。9、{R（i=1，2，3）}是R3的子空间。10、二次型的矩阵是。11、数域P上n阶对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的向量空间。12、欧氏空间中的二次型是正定二次型。13、是向量空间V中的线性变换，若是V中线性相关的向量，则也线性相关。14、设是欧氏空间中夹角为的两个非零向量，若R），则为正实数的充分必要条件为。15、{R}是向量空间R3的子空间。16、次实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法，构成实数域上的向量空间。17、（i=1，2，3），是上的线性变换。18、阶矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B的特征多项式相同。19、若线性无关，则+，也线性无关。20、在欧氏空间中，若与，，都正交，则与，，的任意线性组合也正交。二、证明（满分15分）1、和是n维向量空间V的两组基，前者到后者的过渡矩阵为A，设V中向量在这两组基下的坐标分别为和。试证 2、设向量可以由线性表示，若线性无关，则表示法是唯一的。3、已知R3中的两组向量，，，和，，试证：（1）和分别是R3的两组基；（2）求两组基之间的过渡矩阵。4、设是向量空间V的线性变换，在V下的基下的矩阵是A，向量在这组基下的坐标是。试证，在这组基下的坐标满足5、用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换。。6、若是向量空间V的一组基，试证：，，+，+也是V的一组基。7、1、在向量空间R3中，（1）求证：线性无关；（2）把“扩充”成R3的一组基；（3）求出在这组基下的坐标。8、设是向量空间V的线性变换，在V的基下的矩阵为A，向量在这组基下的坐标是。试证，在这组基下的坐标满足9、设，求正交矩阵，使为对角形。10、4、设是线性变换的两个不同的特征值，、是分别属于的特征向量，试证：不是的特征向量。11、是数域F上向量空间V的线性变换，在V的基下的矩阵为求在基下的矩阵，这里。12、2、和是维向量空间V的两组基，前者到后者的过渡矩阵为A，设V中向量在这两组基下的坐标分别是（）和（）试证。13、证明，如果都是线性变换的不变子空间，那么也是的不变子空间。14、用正交变换化实二次型为标准型，并写出所用的正交变换。三、计算（满

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