山西省吕梁市方山县部分学校2025届九年级上学期期末评估数学试卷(含解析)

2024-2025学年山西省吕梁市方山县部分学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1．（3分）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（）A．y＝x+2 B．y＝x2 C． D．解：y＝x+2，y＝x2，y＝不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数；y＝符合反比例函数的定义，它是反比例函数；故选：D．2．（3分）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．解：由＝，得＝＝．故选：D．3．（3分）剪纸艺术是我国传统文化宝库中的优秀瑰宝．下列4个剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：左起第一和第二两个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第三和第四两个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．、所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选：B．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则n的值可能是（）A．﹣1 B． C．0 D．1解：由题知，因为关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，所以Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n）＜0，解得n＜，显然只有A选项符合题意．故选：A．5．（3分）已知反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0），∵反比例函数的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2＝，∴k＝﹣6，即y＝，点（3，2），（﹣2，﹣3），（﹣3，﹣2）代入解析式，均不成立，点（﹣2，3）代入y＝﹣成立，∴点（﹣2，3）在y＝﹣图象上．故选：B．6．（3分）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A． B． C． D．解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；故选：D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，CA＝CD．若∠ACD＝30°，则∠BEC的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．60°解：连接BC，∵CA＝CD，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，∴∠ADC＝∠ABC＝75°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝15°，∵∠BEC是△ACE的一个外角，∴∠BEC＝∠CAB+∠ACD＝45°，故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解：∵k＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．∵A（﹣2，a），B（﹣1，b），∴A，B在第二象限．∵﹣2＜﹣1，∴0＜a＜b．∵C（3，c）在第四象限，∴c＜0．综上，b＞a＞c．故选：B．9．（3分）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为18cm，蜡烛火焰AB的高度是4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）A．4.8cm B．6cm C．7.2cm D．8cm解：根据题意可得：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为18cm，∴由相似三角形对应高之比是相似比可得，∵AB＝4cm，∴CD＝7.2cm，故选：C．10．（3分）如图，O是正方形ABCD的中心，以点O为圆心，作圆心角为90°的扇形EOF，点C恰好在EF上，设∠COE＝α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．不变 B．由小到大变化 C．由大到小变化 D．先由小到大，后由大到小变化解：如图，设OE交BC于点M，OF交CD于点N，设正方形ABCD的边长为a．∵O是正方形ABCD的中心，∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∵∠EOF＝90°，∠COE＝α，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COE＝90°﹣α，∠CON＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣α，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形OMCN＝S△CON+S△COM＝S△BOM+S△COM＝S正方形ABCD，∴S阴影＝S扇形EOF﹣S四边形OMCN＝π•OC2﹣S正方形ABCD＝π×（a）2﹣a2＝a2，∵a是定值，∴S阴影＝a2（定值），∴当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积不变．故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若两个相似图形的周长比为3：1，则它们的面积比为9：1．解：∵两个相似三角形的周长比为3：1，∴两个相似三角形的相似比为3：1，∴两个相似三角形的面积比为9：1．故答案为：9：1．12．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a）和点B（b，2）关于原点中心对称，则a+b的值为﹣1．解：∵坐标系中点A（﹣1，a）和点B（b，2）关于原点中心对称，∴b＝1，a＝﹣2，则a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为6A．解：设反比例函数式I＝．∵把（9，4）代入反比例函数式I＝，∴k＝9×4＝36．∴I＝，∴当R＝6Ω时，I＝6A．故答案为：6．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，BD＝5，，则线段CE的长为．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，CD＝AB＝3，AD∥BC，∵BD＝5，∴AD＝＝4，∴BC＝4，∵，∴DE＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是CB延长线上一点，且∠DAB＝45°，则AD的长为40．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，过B作BH⊥AD于H，∵∠DAB＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝AB＝5，∵∠BHD＝∠C＝90°，∠D＝∠D，∴△DBH∽△DAC，∴，∴＝＝，∴DH＝35，∴AD＝35+5＝40，故答案为：40．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；（2）已知y与x+3成反比例，并且当x＝1时，y＝2，求y关于x的函数解析式．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2＝5．（2）由题知，令y＝，则，解得k＝8，所以y＝，故y关于x的函数解析式为y＝．17．（7分）一个不透明的盒子中有三枚棋子，其中两枚是白色，一枚是黑色，这些棋子除颜色不同外，其余完全相同．（1）从盒子中随机摸出一枚棋子，摸出的棋子是白色的概率是；（2）若小敏从盒子中随机摸出一枚棋子，记录下棋子颜色，放回并摇匀，再随机摸出一枚棋子，记录下棋子颜色，请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的概率．解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的棋子是白色的结果有2种，∴从盒子中随机摸出一枚棋子，摸出的棋子是白色的概率是．故答案为：．（2）列表如下：白白黑白（白，白）（白，白）（白，黑）白（白，白）（白，白）（白，黑）黑（黑，白）（黑，白）（黑，黑）共有9种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的结果有4种，∴摸出的两枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的概率为．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出与△ABC的相似比为2的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1，并写出点C1的坐标．（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点为点A2，B2，C2，并写出点C2的坐标．（3）如果在△ABC内部有一点D（x，y），请写出点D经过（2）变化后的对应点D2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点C1的坐标为（﹣2，8）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．由图可得，点C2的坐标为（﹣4，﹣1）．（3）由题意得，点D2的坐标为（﹣y，x）．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，c），D（3，2），连接OC，OD．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OCD的面积．解：（1）∵反比例函数的图象过点D（3，2），∴m＝3×2＝6．∴反比例函数的表达式为y＝，∵点C（1，c）在y＝上，∴c＝6．∴C点坐标为（1，6），把C，D两点的坐标代入y＝kx+b，得，解得∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+8；（2）在y＝﹣2x+8中，当y＝0时，x＝4，∴A（4，0），∴OA＝4，∴S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD＝﹣＝12﹣4＝8．20．（8分）项目化学习：学校综合实践活动小组针对销售花卉获得最大利润开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务．项目主题：怎样获得最大利润？驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助校外花店的李老板获得最大利润．分步探究：任务一：市场调查李老板的花店以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，项目组同学帮李老板调查了附近A，B，C，D，E五家花店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：花店售价/（元/盆）日销售量/盆A2246B2344C2442D2540E2638任务二：模型建立（1）根据调查记录表中的信息可知，花卉的日销售量y（单位：盆）是售价x（单位：元/盆）的一次（选填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y与x的函数关系式是y＝﹣2x+90．任务三：问题解决（2）根据以上信息，李老板在销售这种花卉，售价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润为多少元？解：（1）根据表格中数据可知，花卉的日销售量y（单位：盆）是售价x（单位：元/盆）的一次函数．设y与x的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），把x＝22，y＝46和x＝23，y＝44代入解析式得：，解得，∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+90，故答案为：一次，y＝﹣2x+90；（2）设李老板每天能够获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣15）y＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为450，答：当售价为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC，AB相交于点E，F，G，连接CG，过点E作⊙O的切线，交AB于点H．（1）求DG的长．（2）求EH的长．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD是直径，∴∠CGD＝90°，∴CG⊥AB，∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝，∴DG＝＝＝；（2）如图，连接OE，DE，过点O作OM⊥AB于点M．∵CD是直径，∴∠CED＝90°，∴DE⊥AC，∵DC＝DA，∴AE＝EC，∵OC＝OD，∴OE∥AB，∵EH是⊙O的切线，∴OE⊥EH，∴∠OEH＝90°，∵∠OEH+∠EHG＝180°，∴∠OEH＝∠EHM＝90°，∵OM⊥DG，∴DM＝MG，∠OMH＝90°，∴四边形OEHM是矩形，∴EH＝OM，∵DM＝MG，OD＝OC，∴OM＝CG＝，∴EH＝OM＝．22．（12分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为P，对称轴交x轴于点D．（1）求抛物线L的解析式和顶点P的坐标；（2）已知抛物线L'与抛物线L关于点M（m，0）对称，点P的对称点为点P'，点D的对称点为点D'，若△PDB∽△MD'P'，求抛物线L'的解析式．解：（1）设抛物线L的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，﹣3）得，﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线L的对称轴为直线x＝1，∴D（1，0），∵P（1，﹣4）．B（3，0），∴BD＝2，DP＝4，设P'（x，y），∵抛物线L′与抛物线L关于点M（m，0）中心对称，点P的对称点为点P'，点D的对称点为点D′，∴△MDP≌△MD'P'，∵△PDB∽△MD′P′，∴△PDB∽△MDP，∴＝，即＝，∴DM＝8，当M在D（1，0）左侧时，M（﹣7，0），∵P（1，﹣4），P'（x，y），∴由中点坐标公式得：，∴，∴P'（﹣15，4），∵抛物线L′与抛物线L关于点M（m，0）中心对称，∴开口方向发生了变化，开口大小没变，∴抛物线L′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4；当M在D（1，0）右侧时，M（9，0），∵P（1，﹣4），P'（x，y），∴由中点坐标公式得：，∴，∴P'（17，4），∴抛物线L′的表达式为y＝﹣（x﹣17）2+4．综上，抛物线L′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4或y＝﹣（x﹣17）2+4．23．（13分）综合与探究如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点M从点B出发，以每秒2cm的速度沿折线B→C→D→A移动，点N从点C出发，以每秒1cm的速度在对角线CA上移动，点M，N同时出发，同时停止移动．设移动时间为t