第一章空间向量与立体几何夯实基础-07空间中直线平面平行

第一章空间向量与立体几何07空间中直线、平面平行一、问题导学问题：如何利用直线的方向向量和平面的法向量判断直线、平面之间的平行？二、知识构建：空间中直线、平面的平行1.设u1,u2分别是直线l1,l线线平行：l1∥l2⟺u1∥u2⇔∃λ∈R，使得2.设u是直线l方向向量,n是平面α的法向量，线面平行l∥α⇔u⊥n⟺u∙n=0.3.设n1,n2分别是平面面平行：α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，三、类型归纳类型一：空间向量研究直线与平面的平行类型二：空间向量研究直线与直线、直线与平面的平行类型三：存在性问题四、类型应用【例1】（2425高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在长方体中，.

(1)求平面的法向量.(2)线段中点为点，求证平面.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量；（2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证.【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面的法向量为；（2），则，故，因为，所以，又平面，所以平面.【跟踪训练11】（2223高二·全国·课堂例题）已知正方体中，M，N分别是与的中点．求证：面．【答案】证明见解析.【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，以A为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，

令正方体的棱长为1，则，线段的中点，线段的中点，则，因为平面，则是平面的一个法向量，而且，显然，因此，又平面，所以面.【跟踪训练12】（2122高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，，，平面，平面.【跟踪训练13】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点，.求证：平面；【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；【详解】在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.【例2】（（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且，E为中点．求证：面【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两者垂直，即可证明结论.【详解】由题可知底面，，故两两垂直．则以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建系，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，而，所以，又面，∴面；【跟踪训练21】（（2025·辽宁大连·一模）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点.证明：平面；【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的坐标运算可得线面平行；【详解】在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，又，点是棱上靠近端的三等分点则.，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则，又，可得，因为平面，所以平面.【跟踪训练22】（2425高二上·浙江杭州·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点．求证：平面；【答案】证明见详解【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，计算即可得证；【详解】由平面，，以点为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由，E是的中点，F是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，所以，令，得，所以，又平面，所以平面【例3】（2021高二·江苏·课后作业）如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．【答案】证明见解析【知识点】空间共线向量定理的推论及应用、空间位置关系的向量证明【分析】利用空间向量共线定理证明.【详解】证明：．因为，，所以，，．又因为P为中点，所以，从而与为共线向量．因为直线MN与BP不重合，所以．【跟踪训练31】（2324高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.

求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明；（2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明；（3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．

依题意知：，，，，∴，，∴，∴，即.（2）设平面ACD1的法向量为，∵，，，∴，，由可得，，即，令，则，∴，又，∴，∴，又平面，∴平面．（3）证法一

∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面，又由（2）知平面，而，且平面，平面,∴平面平面.证法二

设平面的法向量为则即∴令，得，∴，由（2）知平面ACD1的一个法向量，∴，∴，∴平面平面.【跟踪训练32】（2324高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面.【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.因为，即，所以平面平面.五、随堂检测1．（2425高二下·福建龙岩·阶段练习）设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、空间位置关系的向量证明【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断.【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立，当时，则必有，必要性成立，故是的必要不充分条件.故选：B.2．（2425高二下·浙江·开学考试）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（

）A．7 B． C．2 D．【答案】B【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果.【详解】∵直线l与平面平行，∴，∴，解得.故选：B.3．（2425高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【知识点】空间位置关系的向量证明、由空间向量共线求参数或值【分析】由已知可得，设，列方程求.【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，，所以，设，则，所以，.故选：A.4．（2425高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明、由空间向量共线求参数或值、平面法向量的概念及辨析【分析】根据向量共线即可求解.【详解】∵，∴∴，即∴，解得，∴，故C正确.故选：C.5．（2425高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（

）A．2 B．4 C．4 D．2【答案】C【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值.【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为，，，设，即，，.故选：C.6.（2425高二上·山西太原·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于.【答案】4【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式计算得解.【详解】由，得，从而，即，解得.故答案为：47．（2425高二上·北京丰台·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则.【答案】/【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解．【详解】根据题意，若，则，又，，所以，解得，所以.故答案为：.8.（2122高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证；（2）证明也是平面MNP的一个法向量即可.【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，，．

由正方体的性质，知平面，所以为平面的一个法向量．由于，则，所以．又平面，所以平面．（2）证明：因为为平面的一个法向量，由于，，则，即也是平面MNP的一个法向量，所以平面平面．六、素养提升（2021高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使