高中物理：八 电磁感应中的情境变换与模型识别

专题八电磁感应中的情境变换与模型识别

基础梳理

一、分析电磁感应问题的四个基本要素

1.发生电磁感应的回路结构。如:是电阻型的，还是电容型的?是单杆

运动,还是双杆运动?是单一结构,还是组合结构？

2.研究对象的运动特征。如:是匀速,还是匀加速,还是做简谐运动？

3.回路所处的磁场分布特征。如:是匀强磁场，还是变化磁场?是随空

间x变化,还是随时间t变化?是否分区间？

4.作用于回路的外界因素。如:是给定初速度,还是有外力作用的?是

否倾斜?有无摩擦？

二、求解电磁感应综合题的基本思路

电磁感应的各类综合题都在如图甲、乙所示的基本模型的基础上，

就上述四个要素作了某些变换。如:在未知外力作用下,让杆做已知的

运动,或者让某些物理量呈现已知的规律（如:10ct,V8xfa^v）,要

求解某个物理量,等等。一般都需要综合运用牛顿运动定律、动量定

理（守恒）和能量守恒（功能关系）去求解,而模型的识别则是解决问题

的关键。

夯实考点

8^鼬双杆（多杆）模型

[典例1]（2017•浙江4月选考卷）间距为1的两平行金属导轨由水

平部分和倾斜部分平滑连接而成,如图所示。倾角为0的导轨处于大

小为瓦、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间I中,水平导轨上的

无磁场区间静止放置一质量为3m的“联动双杆”（由两根长为1的金

属杆cd和ef,用长度为L的刚性绝缘杆连接构成），在“联动双杆”

右侧存在大小为B2,方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间II,其长

度大于Lo质量为m、长为1的金属杆ab从倾斜导轨上端释放,达到

匀速后进入水平导轨（无能量损失），杆ab与“联动双杆”发生碰撞，

碰后杆ab和cd合在一起形成“联动三杆”。“联动三杆”继续沿水

平导轨进入磁场区间H并从中滑出。运动过程中，杆ab、cd和ef与

导轨始终接触良好,且保持与导轨垂直。已知杆ab、cd和ef电阻均

为R=0.02Q,m=0.1kg,1=0.5m,L=0.3m,0=30°,BFO.1T,B2=0.2

To不计摩擦阻力和导轨电阻,忽略磁场边界效应。求：

⑴杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小vo；

（2）“联动三杆”进入磁场区间H前的速度大小v;

（3）“联动三杆”滑过磁场区间H产生的焦耳热Q。

解析：⑴感应电动势E=BJv°,

电流I-

安培力F=B1I1,

匀速运动条件B：：：°=mgsin9,

1.5R

解得V。二书铲=6m/so

(2)由动量守恒定律有mv0=4mv,

解得v=%=1.5m/so

4

⑶进入磁场区间II,设速度变化量为Av,由动量定理,有

-/B21At=4mAv,

A八cL/

Av=----IL-=-0.25m/s;

6mR

出磁场区间n,同样有

Av=-521L=~0.25m/s,

6mR

出磁场区间n后“联动三杆”的速度为

v'=v+2Av=l.0m/s,

Q=|x4m(v-v/2)=0.25J。

答案：(l)6m/s(2)1.5m/s(3)0.25J

登规律总结;

分析“双杆模型”问题时,要注意双杆之间的制约关系，即“动”杆与

“被动”杆之间的关系，需要注意的是,最终两杆的收尾状态的确定是

分析该类问题的关键。

［备用1］如图所示，水平放置的平行光滑导轨固定在水平桌面上，宽

度为L,处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中。桌面离地面的

高度为Ho初始时刻,质量为m的ab杆与导轨垂直且处于静止,距离

导轨边缘为do质量同为m的cd杆与导轨垂直，以初速度Vo进入磁场

区域。最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为R,导轨

电阻不计，两杆落地点之间的距离为s。求:

(l)ab杆从磁场边缘射出时的速度大小;

(2)ab杆射出时,cd杆运动的距离;

(3)在两根杆相互作用的过程中，回路中产生的焦耳热。

解析：(1)设ab、cd杆从磁场边缘射出时的速度分别为vi、V2,ab杆落

地点的水平位移为x,cd杆落地点的水平位移为x+s,有

X=V1—,x+s=V22H

7gg

从cd杆进入磁场到ab杆开始下落过程中,

根据动量守恒定律有mvo=mvi+mv2,

g“_%_s9

角军得v=^+j—,Vi———

22H222H°

(2)ab杆运动距离为d,对ab杆应用动量定理,有

BILAt=BLq=mvi,

设cd杆运动距离为d+Ax,

2Rmv

q黎嘤，解得31

B2L2'

cd杆运动距离为

d+i券

(3)根据能量守恒定律，电路中产生的焦耳热等于系统损失的机械能,

即

2

1n

y-ZmrO2_-幻m3rl2_Zm\篦r22—~7幻m3r02J-^7gs7

/40/7

答案：(1)当)9

2H

⑵d+翁登描)

2

⑶加。2一嗡

型蛭导轨变式

［典例2］如图所示,光滑金属导轨ab和cd水平固定并相交于0点，

夹角为60°,轻弹簧一端固定而另一端连接质量为m的导体棒,导体

棒放在导轨上并与之接触良好,导轨夹角的角平分线与弹簧轴线重合,

导体棒始终垂直于弹簧轴线,MN是磁感应强度为B、方向竖直向下的

匀强磁场的边界，与。点相距L,导轨和导体棒单位长度的电阻均为r,

将弹簧压缩至距磁场边界一处由静止释放,导体棒进入磁场后恰好做

匀速直线运动，当运动到。点时弹簧恰好恢复到原长,并与导体棒分

离。已知弹簧形变量为X时所具有的弹性势能为*x2,其中k为弹簧的

劲度系数,不计感应电流间的相互作用，则：

(1)证明：导体棒在磁场中匀速运动时所产生的感应电流恒定;

(2)求弹簧的劲度系数和导体棒匀速运动的速度大小；

(3)求导体棒最终静止时与0点的距离。

解析：(1)设导体棒以速度v0匀速运动至某位置处时与导轨构成回路

的长度为y,则有

E=Byv0,E=IR,R=3yr,

由此解得I二器；

v。、B、r均为常量，故I恒定。

即导体棒在磁场中匀速运动时所产生的感应电流恒定。

⑵导体棒由静止释放到刚进入磁场时速度从0增为v0,则由机械能守

恒定律可得

222

|k(^)-lkL=|mv0,

导体棒在磁场中做匀速直线运动的过程中，设某时刻导体棒距0点的

距离为1,根据平衡条件有2BIltan30°=kl,

联立得v。上笋。

12mrz8mr

(3)设导体棒自。点以速度V。向左运动x速度减为v,此时导体棒在回

路中的长度为y',如图，

取一小段时间At,速度变化量为Av,回路面积增加AS,则-FAt=ma

△t,其中F=?比

3yr

p2

即一一EyzvAt=mEaAt

3r

--AS=mEAv

3r

D2

-m%02tan300=O-mvo

解得X。苧。

2422

答案：(1)见解析(2)LBV3LB(3)—L

12mr28mr4

［备用2］如图,关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度

为B的匀强磁场与平面垂直。足够长、质量为m的直导体棒沿x轴方

向置于轨道上,在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加

速度为a的匀加速直线运动,运动时棒与x轴始终平行。棒单位长度

的电阻为P,与电阻不计的轨道接触良好,运动中产生的热功率随棒

3

位置的变化规律为P=k”(SI)。求:

(1)导体轨道的轨道方程y=f(x);

(2)棒在运动过程中受到的安培力巳随y的变化关系式;

(3)棒从y=0运动到y=L过程中外力F做的功。

解析：(1)设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为(土x,y),

此时,切割磁感线的长度为L=2x,

棒有效的电阻为R=2Px,

安培力Fm=BIL==七，

安培力的功率P=FmvW*=kyl,

棒做匀加速运动,有v2=2ay,

代入前式得y=O2x2,轨道为抛物线。

kp

⑵安培力3=用=小再，

Rpv

将轨道方程代入得F正右y。

⑶此过程中克服安培力做功W安二姿L2,

2

棒在y=L处动能Ek=|mv=maL,

由动能定理得W-W安=拆,

2

解得外力F做的功讨=盗L+maLo

答案：⑴y=（警）箕（2）FF券y

⑶篇L2+maL

央考点3；磁场分布变化

[典例3]（2018•浙江H月选考卷）如图所示,在间距L=0.2m的两

光滑平行水平金属导轨间存在方向垂直于纸面（向内为正）的磁场,磁

感应强度的分布沿y方向不变,沿x方向如下：

1T%>0,2m

5%T-0.2m<%<0.2m

（-ITx<-0.2m

导轨间通过单刀双掷开关S连接恒流源和电容C=1F的未充电的电容

器，恒流源可为电路提供恒定电流1=2A,电流方向如图所示。有一质

量m=0.1kg的金属棒ab垂直导轨静止放置于Xo=O.7m处。开关S

掷向1,棒ab从静止开始运动,到达x3=-0.2m处时,开关S掷向2。

已知棒ab在运动过程中始终与导轨垂直。求：

—0.2—0.100.20.7r/m

（提示:可以用F-x图像下的“面积”代表力F所做的功）

⑴棒ab运动到Xi=0.2m时的速度vi；

⑵棒ab运动到x2=-0.1m时的速度V2；

⑶电容器最终所带的电荷量Q。

解析：（1）棒ab所受安培力F=BIL,

加速度a=5

速度Vi=，2a(%0一%\)=2m/s。

(2)在区间-0.2m<x<0.2m

安培力F=5xIL,如图所示。

安培力做功讨二节代/一彩?）

2

由动能定理得W=|mv2-加J,

23/

解得V2=—m/So

（3）设棒ab最终的运动速度为v,

由动量定理得-BLQ=mv-mv3,

电荷量Q=CBLv,

棒ab在x=-0.2m处的速度V3=VI=2m/s,

解得Q二部三。

答案：⑴2m/s(2)Ifm/s⑶"

[备用3]（2020•杭州联考）如图所示,两根相同的平行金属导轨固定

在水平面内，左端用导线相连,在导轨的某位置建立与导轨平面共面

的直角坐标系xOy,x轴紧靠导轨,y轴垂直于导轨。在y轴的右侧分

布着垂直于导轨平面向外的有界磁场,左边界H与y轴重合,右边界

I与y轴平行,磁感应强度的大小沿y轴均匀分布,沿x轴按

B2=B02(2+kx)规律分布(式中k>O,B。、k均为定值且为已知量)。在边

界I的右侧某位置垂直于导轨放置一质量为m的金属棒。现给棒一水

平向左的瞬时冲量，使其向左运动，同时在棒上施加一水平向右的恒

力Fo,棒穿过磁场后继续向左运动,然后再返回磁场,并能从边界I穿

出。已知棒向左运动经过边界I、n的速度及向右返回经过边界n的

速度大小分别为v、［9V是未知量)，棒向左运动离开边界n的最大

距离是磁场两边界间距的n倍(ri〉》，棒向右运动穿过磁场区域的过程

中速度不变,导轨单位长度的阻值是恒定的，导线及金属棒电阻不计，

棒与导轨间的摩擦力大小恒定。求：

n

导G=瞬间冲量

线

(1)棒与导轨间的摩擦力大小Ff;

⑵棒向左、向右两次穿越磁场的过程中产生的电热的比值占；

(3)导线到边界n的距离d；

⑷棒向左、向右两次穿越磁场的过程中所用的时间之比：t2O

解析：(D设导轨间距为L,两边界间距为S,导轨单位长度阻值为r,在

金属棒从边界n向左运动到最大距离的过程中，由动能定理有

|m(^)2=(Fo+Fjns,

在金属棒从最大距离向右运动返回边界H的过程,有

手11(92=(F0-Ff)ns,

24

联立得Ff=O.6F0o

⑵根据功能关系,在从右向左运动第一次穿越磁场区域的过程,有

2-2

-(Fo+Ff)s-Qi=|m(^)1mv,

在从左向右运动第二次穿越磁场区域的过程,有

(F°-Ff)s=Q2,

联立解得约4(3n-l)。

Q2

⑶棒向右穿越磁场过程中速度不变,安培力不变,有

222

2B0L^B0(2+kx)以

2dr2(d+x)r'

解得d=1

k0

解析：⑷棒向左穿越磁场过程中，由动量定理得

-(Fo+Ff)ti-Fti=m,

在任意位置处时,有

2Z22,22

p_BLVX_B0(2+kx)Lvx_kB0L1

2(d+x)r2(^+x)r2rVx，

即RtF丝让Vxtk也变S,

2rx2r

2B2r2Z

棒向右匀速穿过磁场过程中,有F-F=-^,

0f2dr

联立得如=(411-1”,且七2二竺，

VV

所以ti:t2=(4n-l)：4o

答案：⑴O6F0(2)4(3n-l)(3)|(4)(4n-l)：4

k

与简谐运动模型结合

[典例4](2020•浙江1月选考卷)如图甲所示,在xOy水平面内，固

定放置着间距为1的两平行金属直导轨,其间连接有阻值为R的电阻,

电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大)，可动态显示电阻R两端的

电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0

时一质量为m、长为1的导体棒在外力F作用下从x=x。位置开始做简

谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的

正弦曲线。取x°=-空。则简谐运动的平衡位置在坐标原点0。不计

摩擦阻力和其他电阻,导体棒始终垂直导轨运动。(提示:可以用F-x

图像下的“面积”代表力F所做的功)

(1)求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律；

(2)求在0至0.25T时间内外力F的冲量；

(3)若t=0时外力F0=lN,1=1m,T=2冗s,m=lkg,R=1Q,Um=0.5

V,B=0.5T,求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。

解析：(1)由显示的波形可得

U=Usin—21Tt,

mT

1=—sm—t,

RT

「DTIB'Um•2IT

F=-BIi=----sm—to

ART

(2)安培力的冲量

22

B\x0\l

IA=_AqBl=-

R

v=—Ums,m—t,

BlT

由动量定理,有IF+lA=mvm,

_BlUmTTTIUYYY

IFI：-----------------------------十----------

2uRBl

解析：（3）导体棒做简谐运动，有

FA+F=-kx,

当FA=-F时，x=0,v=±Vm=±1m/s;

当FA=F时，设x=x',v=v

FA汨kx「

F0=-kx0,

解得2x'=v

由动能定理得

1

-mv

2

Xi喘m和"垸m/s,

x2'=m和V2'=戈m/s

答案:见解析

［备用4］如图所示，间距L=0.2m的两平行水平金属导轨在x=0.1m

处通过一厚度可不计的绝缘介质（起阻断电流作用）平滑连接起来。两

导轨间存在方向垂直导轨平面的磁场,在x20.1m区域,磁感应强度

大小Bo=O.5T,在x<0.1m区域,磁感应强度大小沿y方向不变,随x

变化。在导轨右侧连接有阻值R=0.1。的电阻，导轨左侧通过开关S

连接恒流源，为电路提供1=2A的恒定电流，方向如图所示。一质量

m=0.5kg>阻值r=0.1。的导体棒ab垂直导轨静止放置于x=-0.2m

处。接通开关S,棒开始运动，从x=-0.2nl至x=0.1m区间,其运动方

程为x=0.2cos(2t+孔)(m),其中时间t单位为s,x单位为m0已知棒

ab在运动过程中始终垂直导轨,且与导轨接触良好,不计导轨电阻和

摩擦，冗七3。求：

(1)在-0.2m<x<0.1m区域,磁感应强度B与x的关系(设磁场垂直

纸面向外为正)；

(2)在x20.1m区域，棒ab运动的速度v与x的关系；

⑶恒流源为电路提供的电能。

解析：(1)在-0.2m<x<0.1m区域，由棒ab的运动方程可知，棒ab

做简谐运动，且a=-4x,BIL=ma,

得B=-5xo

(2)在-0.2m<x<0.1m区域,棒ab受到线性力F=2x作用，设棒ab

在x/=-0.1m处速度为V1,根据简谐运动的对称性可知,棒ab在

Xi=0.1m处的速度为Vi,棒ab由开始运动到运动到x「=-0.1m

有51mzi2=/7Ax,

解得Vi=VO.12m/s,

在xNO.1m区域，根据动量定理可知F安•At=Ap,即

BL

-°(x-Xi)=mv-mvb

R+r

由上可知v=v「W（x』）

v=-0.lx+0.Ol+VO.12^-0.lx+0.36,

且xW(0.l+2g)0173.6mo

⑶恒流源为电路提供的动能W=I2rti+jm^2,

Xi=0.2cos(2ti+Ji),角军得ti=p

联立得W=(W+2)J-0.43JO

15100

答案：(l)B=-5x(2)v=-0.lx+0.36(0.l<x<3.6)

(3)0.43J

⑨1敲多种模型组合

[典例5]（2021•金丽衢校联考）如图所示,有两光滑平行金属导轨，

导轨的间距1=1m,左侧接C=0.1F的电容器,右侧接R=6Q的电阻，

中间MA、ND段光滑绝缘,ABCD区域、EFGH区域、MN左侧均存在垂直

于平面，磁感应强度B=1T的匀强磁场,EFGH区域、ABCD区域的宽度

分别为4=1.2m,d2=3.2m,FG的右侧固定一轻质弹簧。金属杆a、b

的质量均为m=0.1kg,金属杆a以v0=10m/s的速度进入EFGH区域磁

场金属杆b静止在ABCD区域外侧,金属杆a、b的电阻分别为n=3

Q,0=6。，金属杆a、b之间的碰撞均为弹性碰撞，求：

肝AJEF____

十n:哇:H

ND，%--G:

H

⑴金属杆a刚进入磁场时,受到的安培力大小；

⑵全过程金属杆a上产生的焦耳热；

⑶电容器最终的带电荷量。

解析：（1）金属杆a刚进入磁场时,产生的电动势

E=Blvo=lOV,

电路总电阻R总=n+产~=6Q,1=白芸A,

R+上R总3

则金属杆a所受安培力的大小

F$=BI1=-No

女3

⑵金属杆a通过EFGH区域,根据动量定理得

o2

----At=m△v,又di=v,At,

R总

解得Av=-2m/s,

则金属杆a离开FG时的速度

Vi=v0+Av=8m/s,

金属杆a通过与弹簧碰撞以v=8m/s反弹，经过EFGH区域速度再减

小2m/s,变成V2=6m/s,

金属杆a、b发生弹性碰撞,相互间交换速度,金属杆b的速度为vb=6

m/s,

金属杆b通过ABCD区域，电路发生改变

R总/=12+普-=8Q,

R+rr

根据动量定理得

B1Vz

-At'=mAv，其中d2=V'At',

R总

解得Av，=-4m/s,

金属杆b离开AD时的速度vj=2m/s,

金属杆a切割磁感线产生的总焦耳热

22

Qi=|mv0-|mv2=3.2J,

金属杆a产生的热量Qai=|Qi=l.6J,

金属杆b切割磁感线产生的总焦耳热

22

Q2=|mvb-|mvb'=1.6J,

设金属杆a产生的热量为Q必根据串并联关系可得

3(Qa2+^Qa2)+Qa2+^Qa2=l.6J,

=

解得Qa2—15J,

故全过程金属杆a上产生的焦耳热

4

Q=Qi+Q=l.6J+-J^1.87Jo

aaa215

⑶金属杆b进入左侧电容区域，最终金属杆b两端电压和电容器两端

电压相等时匀速,此时速度设为v,电容器上的电荷量和流过金属杆b

的电荷量相等,设为q,根据动量定理得

/

-B/lAt=mv-mvb,

且q=7At=CBlv,

解得q=0.1Co

答案：(1《N(2)1.87J(3)0.1C

［备用5］如图甲所示两光滑导轨由水平、倾斜两部分平滑连接，相互

平行放置且两导轨相距L=1m,倾斜导轨与水平面成。=30°角。倾斜

导轨所处的某一矩形区域BB‘)C内有垂直斜面向上的匀强磁场，

磁感应强度大小为BFIT,B、C间距离为L=2m。倾斜导轨上端通过

单刀双掷开关S连接R=0.8Q的电阻和电容C=1F的未充电的电容

器。现将开关S掷向1,接通电阻R,然后从倾斜导轨上离水平面高

h=l.45m处垂直于导轨静止释放金属棒ab,金属棒的质量m=0.4kg、

电阻r=0.2Q,金属棒下滑时与导轨保持良好接触,在到达斜面底端

CC'前已做匀速运动。金属棒由倾斜导轨滑向水平导轨时无机械能损

失，导轨的电阻不计。当金属棒经过CC'时，开关S掷向2,接通电容

器C,同时矩形区域BB，C'C的磁感应强度氏随时间变化如图乙所示。

水平导轨所处某一矩形区域的CC'»D内无磁场,C、D间距离为L2=8

moD»右侧的水平轨道足够长且两水平轨道内有竖直向上的匀强磁

场，磁感应强度大小为Bz=2T。g取10m/sM求：

⑴金属棒刚进入矩形磁场区域BB'C，C时两端的电压；

⑵金属棒通过矩形磁场区域BB‘UC的过程中电阻R产生的热量；

(3)若金属棒在矩形区域CC，＞D内运动，到达前电流为零。则

金属棒进入DD'右侧磁场区域运动达到稳定后电容器最终所带的电

荷量。

解析：(1)对金属棒进入磁场前的过程,根据机械能守恒定律得

2

mg(h-Lisin30°)=^mv1,

解得Vi=3m/s,

刚进入磁场时的感应电动势Ei=B[vi=lXlX3V=3V,

根据分压关系可得路端电压1＞普=2.4Vo

R+r

(2)金属棒在到达斜面底端CC'前已做匀速运动，

根据平衡条件得mgsin30°=F安，

又F安=8JL-等々

R+r

联立解得V2=2m/s;

金属棒从静止到通过矩形磁场区域BB‘C，C的过程中，根据能量守

恒定律得

1

2

mgh=Q+-mv2)

电阻R产生的热量QR=J-Q,

解得QR=4JO

⑶Bl随时间变化的4S内，电容器板间电压

AR

Uci上丝•LL1=O.5V,

At

金属棒在无磁场区域内匀速运动的时间1上=4s,

“2

则金属棒进入磁场B2时Bi刚好不变。

金属棒在磁场Bz中切割磁感线产生感应电动势，电容器继续充电，当

电容器充电稳定时,UC2=B2LV3,

此过程中电容器所充电荷量AQ=CUC2-CUC1,

设此过程中的平均电流为7,时间为t「根据动量定理有

-B2LIt'=mv3-mv2,

其中7=AQ,

解得y3=22"小，

最终电容器所带的电荷量Q=CUC2==CO

11

答案：(1)2.4V(2)4J⑶白C

11

三蚯电磁感应在现代科技中的应用

[典例6](2020•杭州联考)超级高铁是一种以“真空管道运输”为

理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染

等特点。如图甲所示，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ,

两导轨间距为Br;运输车的质量为m,横截面是半径为r的圆。运输

车上固定着间距为D、与导轨垂直的导体棒1和2,每根导体棒的电阻

为R,每段长度为D的导轨的电阻也为R,其他电阻忽略不计,重力加速

度为go

导体棒1导体棒2

丙

D

N

XXXXXX

XXXXXX

狈＜——

XXXXXX

XXXXXX

PQ

导体棒1导体棒2

(1)如图乙所示，当管道中的导轨平面与水平面成9=30°角时，运输

车恰好能无动力地匀速下滑,求运输车与导轨间的动摩擦因数Po

(2)在水平导轨上进行实验,不考虑摩擦及空气阻力。

①当运输车由静止离站时,在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨

上电动势为E的直流电源,此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B、

垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，如图丙所示。求刚接通电源时运

输车的加速度的大小。(电源内阻不计,不考虑电磁感应现象)

②当运输车进站时,管道内依次分布磁感应强度为B、宽度为D的匀

强磁场,方向垂直导轨平面,且相邻的匀强磁场的方向相反,求运输车

以速度V。从图丁所示位置通过距离D后的速度大小Vo

解析：（1）对运输车进行受力分析,将运输车的重力分解,如图1所示,

导轨对运输车的支持力为F.、FN2,如图2所示。

由几何关系知FNi=FN2=mgcos6,

又fi=LIFNI,f2=HFN2,

运输车匀速运动，有mgsin0=f1+f2,

解得口=10

6

⑵①运输车离站时，电路图如图3所示。

nRR

K总一7

由闭合电路的欧姆定律得1=白，

R总

又0I-p

导体棒1、2所受的安培力分别为

F尸BL•V3r,F2=BI2•V3r,

运输车的加速度a=*,

解得

②运输车进站时，电路图如图4所示。

当车速为v0时，由法拉第电磁感应定律得

Ei=B•V3rv0,E2=B•V3rv0,

由闭合电路的欧姆定律得1=喑，

4H

导体棒所受的安培力Fi=BI•V3r,F2=BI•V3r,

运输车所受的合力F=FI+F2=】T

R

选取一小段时间At,运输车速度的变化量为Av,由动量定理得

-^^At=mAv,

R

即一B.3rAx=mAv,

R

两边求和,可得-3B丁D=mv-mv（）,

R

斛倚v=v°-

答案：（1用⑵①警詈②V。3苧

［备用6］涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式,它

的基本原理如图甲所示,水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条

形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会

对磁铁的运动产生阻碍作用，涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进

行制动的一种方式。某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型来定量

模拟磁悬浮列车的涡流制动过程,车厢下端安装有电磁铁系统,能在

长为LFO.60m,宽为L2=0.20m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁

场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制）,

但最大不超过B尸2.0T,将铝板简化为长大于Lb宽也为L2的单匝矩形

线圈，间隔铺设在轨道正中央,其间隔也为L2,每个线圈的电阻为

Ri=O.10Q,导线粗细忽略不计,在某次实验中,模型车速度为v0=20

m/s时,启动电磁铁系统开始制动,车立即以加速度a=2.0m/s?做匀减

速直线运动，当磁感应强度增加到Bi时就保持不变,直到模型车停止

运动，已知模型车的总质量为叫=36kg,空气阻力不计,不考虑磁感应

强度的变化引起的电磁感应现象，以及线圈激发的磁场对电磁铁产生

磁场的影响。

(1)电磁铁的磁感应强度达到最大时,模型车的速度为多大？

(2)模型车的制动距离为多大？

⑶为了节约能源,将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组,两个相

邻的磁铁磁极的极性相反,且将线圈改为连续铺放,如图丙所示，已知

模型车质量减为ni2=20kg,永磁铁激发的磁感应强度恒为B2R.10T,

每个线圈匝数为N=10,电阻为R2=L0Q,相邻线圈紧密接触但彼此绝

缘,模型车仍以vo=2Om/s的初速度开始减速,为保证制动距离不大于

80m,至少安装几个永磁铁？

解析：(1)假设电磁铁的磁感应强度达到最大时,模型车的速度为vb

则Ei=BiLiVi,I尸等，

F尸BJL,

Fi=mia,

联立并代入数据得Vi=5m/so

2_2

(2)模型车匀变速过程位移为x尸"J，

2a

由第(1)问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后,其任意速度为V

22

时,安培力的大小为F=gT,

对达到速度V1以后模型车的减速过程用动量定理得

-F•t=-B1L1v・t=0-miVi,

Hl

且有5・t=X2,

X=X1+X2,

联立并代入数据得X=1O6.25mo

(3)假设需要n个永磁铁,当模型车的速度为v时，中间每个线圈中产

生的感应电动势为E2=2NB2L1V,

中间每个线圈中的感应电流为12=称，

每个线圈受到的安培力为F2=2NBJ2L1,

两边两个线圈中产生的感应电动势为E3=NB2LIV,

线圈中的感应电流为L今，

两边两个线圈受到的安培力为F3=NB2LL,

n个磁铁受到的阻力为

F合二(n-l)F2+2F3=(4n-2)”岑鱼X,

R2

由第(2)问同理可得(4n-2)安宜x'=ni2V。，

R2

代入数据解得n^3.97,即至少需要4个永磁铁。

答案：(l)5m/s(2)106.25m(3)4个

(°〃/〃〃///课堂训练技师备用

1.(双杆模型)如图所示，竖直平面内有无限长、不计电阻的两组平行

光滑金属导轨,宽度均为L=0.5m,上方连接一个阻值R=1Q的定值电

阻,虚线下方的区域内存在磁感应强度B=2T的匀强磁场。完全相同

的两根金属杆1和2靠在导轨上,金属杆与导轨等宽且与导轨接触良

好，电阻均为r=0.5Qo将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁

场内)，金属杆2从磁场边界上方ho=O.8m处由静止释放,进入磁场后

恰做匀速运动(g取10m/s2)o

(1)金属杆的质量m为多大？

⑵若金属杆2从磁场边界上方h尸0.2m处由静止释放,进入磁场经

过一段时间后开始匀速运动,此过程中流过电阻R的电荷量q为0.65

C,则在此过程中整个回路产生的电热为多少？

(3)金属杆2仍然从离磁场边界h尸0.2m处由静止释放,在金属杆2

进入磁场的同时由静止释放金属杆1,两金属杆运动了一段时间后均

达到稳定状态,试求两根金属杆各自的最大速度。

解析：(1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动，刚进入磁场时的速度

为

v=，2g/i0=，2义10X0.8m/s=4m/s,

金属杆2进入磁场后受力平衡mg=BIL,

1F

且E=BLV>1二万萩

联立解得m=0.2kgo

(2)金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中,根据安培力与重力平

衡可知杆2匀速运动的速度也为v,设金属杆2在磁场内下降h2,则

人工BLvBLh2

q=7,At=---At二

2r+R2r+R‘

解得h?=咤曳■=1.3m,

金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中，由能量守恒定律有

2

mg(hi+h2)=|mv+Q,解得Q=l.4Jo

(3)金属杆2刚进入磁场时的速度

v'=yj2gh1=>j2X10X0.2m/s=2m/s,

释放金属杆1后,两杆受力情况相同,且都向下加速,合力等于零时速

度最大,设金属杆1、2的最大速度分别为vi、V2,都达到最大速度时,

有

mg=BI'L,且I'Ei=BLvi,E2=BLv2,

整理得到V|+V2=M%：；R),

代入数据得VI+V2=4m/so

因为两个金属杆任何时刻受力情况都相同，因此任何时刻两者的加速

度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即v[0=V2-v「代入

数据得V2=VI+2m/s,

联立求得.=1m/s,V2=3m/so

答案：(l)0.2kg(2)1.4J(3)1m/s3m/s

2.(相对运动问题)如图,质量为M的足够长金属导轨abed放在光滑的

绝缘水平面上。一电阻不计,质量为m的导体棒PQ放置在导轨上,始

终与导轨接触良好,PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为P,棒

左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨be段长为L,开始时PQ左侧

导轨的总电阻为R,右侧导轨单位长度的电阻为Roo以ef为界,其左

侧匀强磁场方向竖直向上,右侧匀强磁场水平向左,磁感应强度大小

均为Bo在t=0时,一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的be边上，

使导轨由静止开始做匀加速直线运动,加速度为a。

/0।

(1)求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；

⑵经过多少时间拉力F达到最大值,拉力F的最大值为多少？

⑶某一过程中回路产生的焦耳热为Q,导轨克服摩擦力做功为W,求

导轨动能的增加量。

解析：(1)感应电动势为E=BLv,

导轨做初速度为零的匀加速运动,v=at,s=|at2,

则E=BLat,

感应电流的表达式为1=白，

R总

又R,fe=R+2R0s,

联立得I=-^o

2

R+R0at

(2)导轨所受安培力F安=笈1=鲁4，

z

R+Roat

由牛顿第三定律可知,导轨所受摩擦力为

p2r2oj-

Ff=nU(mg+BIL)=n[mg+------],

FN=z

R+Roat

对导轨由牛顿第二定律有F-F安-Ff=Ma,

1

贝J拉力F=Ma+umg+(1+n)-----z

7?+7?oat

上式中当台「如即长、看时外力F取最大直

aR0

Fmax=Ma+Pmg+-(1+口)B2L2/—。

2ARRn。

（3）设此过程中导轨运动距离为s,由动能定理W合二△Ek,

摩擦力为Ff=u（mg+F安）,

摩擦力做功为W=umgs+uW安=umgs+uQ,

解得s="丝，

导轨动能的增力口量DE=Mas=—（W-uQ）

k林mgo

答案：（l）E=BLat1=与%

z

R+Roat

limg

3.（与实际问题相联系）学校“创客”小组利用磁场来研究汽车在斜坡

上的减速效果。在一总质量为m的绝缘材质模型车底面,安装一个长

为3L、宽为L的N匝导线组成的矩形线圈，导线总电阻为R,面积可认

为与小车底面积相同，其平面与一倾角为。的斜面平行。斜面上有垂

直斜面向上的匀强磁场区域,磁感应强度大小为B,沿斜面长为3L,如

图所示。若小车在行驶过程中受到的斜面阻力恒为已无动力的小车

第一次以速度V。进入磁场,车头到达边界2时车速为V1;在相同的时间

内，第二次以2v。进入磁场,此时车尾到边界2。

边界1

B

边界2

⑴求第一次刚进入磁场时的感应电流I的大小和从开始进入磁场到

车头到达边界2的过程中通过导线横截面的电荷量q；

⑵求第一次进入磁场开始前进3L过程线圈产生的电热Q；

⑶求第二次车尾到边界2时速度v2的大小；

(4)若f=mgsin。，则从第一次车头到边界1开始,求车速v与前进距

离x的关系(xW6L)。

解析：(1)刚进入磁场时，线圈产生的感应电动势为

E=NBLv0,

感应电流「岁誓，

从开始进入磁场到车头到达边界2的过程，小车前进了3L,则

磁通量的变化量为△①=B-3L2,

这个过程中的平均感应电动势为后二嗒，

平均电流为运，

q=7,At,

联立解得q=畔。

⑵由能量守恒定律得

22

|mv0+mg,3Lsin0=Q+f•SL+jm^,

2_2

贝Q=|mv0|mV-L+3mgLsin9-3fLo

(3)第一次前进3L,由动量定理得

（mgsin9-f）,LF安]・t=mvi-mv0,

此过程中安培力为户安

而此过程中电荷量为q=7it,

第二次前进的距离为6L,由动量定理得

(mgsin0-f)•LF安2,t=mv2-m,2v0,

此过程中安培力鼠=NB/2L,

而此过程中电荷量为q2=72t，

由于口2=等

可解得V2=Vo+V13NBL

mR

(4)由动量定理可得(mgsin6-f)•t-F安•t=mv-mv0,

v

因f=mgsin0,F安=NB7L,7=r,x=vt,

贝I]v=v。-史变X。

mR

22

答案：(1)号生岑二(2)|mv0-|mv1+3mgLsino-3fL(3)v+

RRZZ0

3N2B2L3/八N2B2l7

V1------—⑷Vo-———x

mRmR

4.（周期性问题）如图所示，间距为1的两条足够长的平行金属导轨与

水平面的夹角为0,导轨光滑且电阻忽略不计。磁感应强度为B的条

形匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁场区域的宽度为八间距为d2,两

根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上,并与导

轨垂直。（设重力加速度为g）

(1)若a进入第2个磁场区域时,b以与a同样的速度进入第1个磁场

区域,求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能AEko

⑵若a进入第2个磁场区域时,b恰好离开第1个磁场区域;此后a

离开第2个磁场区域时,b又恰好进入第2个磁场区域,且a、b在任

意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等。求a穿过第2个磁

场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Qo

⑶对于第⑵问所述的运动情况,求a穿出第k个磁场区域时的速率

Vo

解析：(l)a和b不受安培力作用，由机械能守恒定律知，

AEk=mgdisin。。

⑵设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为vb刚离开无磁场区域时

的速度为V2,由能量守恒定律知，在磁场区域中，

22

-mv1+Q=-mv2+mgdisin9,

在无磁场区域中,，i〃22=$%之+mgd2sin0,

解得Q=mg(di+d2)sin。。

(3)在无磁场区域,根据匀变速直线运动规律

v2-vi=gtsin0,

且平均速度空产二果

在磁场区域,棒a受到合力F=mgsin。-BI1,

感应电动势E=Blv,

感应电流I啖

R2/寸

角用得F=mgsin9—Z—R,

根据牛顿第二定律,在t到t+At时间内

EAv=E—At,

m

_R2

则有XAv=E[gsin。-丁

2mR

o212

角用得Vi-v=gtsin9—d

22mRb

联立解得Vk鬻詈sin。-警富，

zz

Bld18mR

由题意知v=vk驾警sin。-a也。

8212dl8mR

答案：(l)mgdisin。(2)mg(di+d2)sin。

/\4mgRd.B2l2d-i

(o3；———2sm0A------

B222dl8mR

5.(电感线圈问题)如图所示,两平行光滑轨道MN和PQ竖直放置，间距

1=0.5m,其中EG和FH为两段绝缘轨道,其余均为金属轨道,轨道末端

NQ间连接一个自感系数L=0.01H的线圈，其直流电阻可以忽略。在

ABDC、CDFE、GHJI区域内存在垂直轨道平面的匀强磁场，磁感应强度

大小B1=B2=B3=0.2T,方向如图，图中d=0.4mo两导体棒a、b通过轻

质绝缘杆连接，总质量m=0.02kg,b棒电阻R=0.2Q,a棒电阻不计；

现将a、b连杆系统从距离AB边高h处由静止释放,a棒匀速通过ABDC

区域,最终a棒以1.6m/s的速度穿出EF边。导体棒与金属轨道始终

垂直且接触良好。(glZ10m/s2)

M

A...................

XXXX

x-x-x"x-"H

XXnXX

XX

XXXX

......L........J

___/YYYY\__0

(1)求h的值；

⑵求a棒从进入AB边到穿出EF边的总时间；

⑶若a棒通过GH边时轻质杆突然断裂，以该位置为原点，竖直向下为

x轴，求a棒在向下运动过程中电流i与位移x的大小关系。(已知线

圈上的自感电动势为E=L・此过程中导体棒b仍在EFHG区域运动)

解析：⑴设导体棒a进入ABDC区域磁场时速度为q，

产生的电动势E=BJvi,电流1=生普，

R

因匀速通过ABDC区域,有mg=B1Il,

解得Vi=4m/s,

2

a、b连杆系统自由下落，则h=—=0.8mo

2g

⑵a、b连杆系统在ABDC区域磁场匀速下落的时间tF-=0.1s,当导

V1

体棒a经过CD位置时,a、b连杆系统开始减速,经过时间导体棒a

到达EF位置，当a、b连杆系统速度为v时电动势为E=(Bi+Bz)lv,电

流为等匕安培力为F=(B】+?2"V,

riR

此过程中由动量定理得

,{B+B')2l2vt

mgt---1---2----=2mv-mvi,

2H2

即mgt--------d=mv2-mvi,

2R

解得t2=o.16s,

总时间t=ti+t2=0.26So

(3)因为线圈与a棒所组成的回路的总电阻为0,所以,a棒切割产生的

电动势等于线圈自感电动势，

/

BPB31V=L小得B3I/At=LAi,

两边累加求和得B31X=L(i-io),

根据电感线圈的特性(电流不突变)io=O,

得i=詈x=10x(A)o

答案：(l)08m(2)0.26s(3)i=10x(A)

课时训练(A)

何基础巩固

1.(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为P、密度为d的均匀导体

材料做成一个半径为r0(r«r0)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的

径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上,圆环所在位置的磁感

应强度大小均为Bo圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v,忽略

电感的影响，则(AD)

A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流

B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落

C.此时圆环的加速度2=与

pd

D.如果径向磁场足够长,则圆环的最大速度v岑

解析:将圆环等效为一段段的小直导线，根据右手定则可判断感应电

流的方向为顺时针方向，选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环

受到的安培力方向向上，选项B错误;圆环垂直切割磁感线,产生的感

p2r

应电动势E=Blv=B•2Jir0,v,圆环的电阻R=*^°,则圆环中的感应

电流,圆环所受安培力F安=m-2口r。，圆环的加速度

RP

2

a=g女,m=d•2Jir0•nr,可得加速度a=g-弋,选项C错误;当重力

mpd

等于安培力时速度达到最大,可得V/等,选项D正确。

2.（多选）如图所示,空间中存在一匀强磁场区域,匀强磁场的磁感应

强度大小为B,磁场方向与纸面垂直,磁场的上、下边界均为水平面且

间距为L,纸面（竖直平面）内磁场上边界的上方有一质量为m、电阻为

R的正方形导线框abed,其边长为L,上下两边均与磁场边界平行。将

导线框以初速度V。水平抛出，导线框恰能匀速进入磁场,重力加速度

为g,不计空气阻力，则（AC）

ab

XXXXXX

XXXXXX

A.导线框抛出时ab边距离磁场上边界的高度为需

2B4L4

B.导线框进入磁场的过程中通过导线框某横截面的电荷量为学

C.导线框通过磁场的过程中水平位移为空也

mgR

D.导线框通过磁场的过程中cd边产生的热量为2mgL

解析:导线框下边界进入磁场时,有mg=BIL,根据闭合电路欧姆定律有

1=爷,在竖直方向上,根据运动学公式有%2=2gh,解得h=需,A正

确；导线框进入磁场的过程中通过导线框某横截面的电荷量q=7t=|

△t=¥=字,B错误;导线框在磁场中匀速运动的时间t=4,水平位移

RRVy

X=Vot,解得x="粤,C正确；导线框进入磁场后做匀速直线运动,减

mgR

少的重力势能转化为电能,根据能量守恒定律有Q=2mgL,则cd边产生

的热量Q'哼错误。

42

3.（多选）如图所示，足够长的光滑水平轨道，左侧轨道间距为0.4m,

右侧轨道间距为0.2mo空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度

大小为0.2To质量均为0.01kg的金属棒M、N垂直导轨放置在轨

道上,开始时金属棒M、N均保持静止,现使M棒以5m/s的速度向右

运动,两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触,M

棒总在宽轨上运动,N棒总在窄轨上运动,直到M、N达到稳定状态。

已知两金属棒接入电路的总电阻为0.2Q,轨道电阻不计，g取

10m/s?,下列说法正确的是（AD）

A.M、N棒在相对运动过程中，回路内产生顺时针方向的电流（俯视）

B.M、N棒最后都以2.5m/s的速度向右匀速运动

C.从开始到最终匀速运动电路中产生的焦耳热为6.25X1CTJ

D.在两棒整个的运动过程中，金属棒M、N在水平导轨间扫过的面积之

差为0.5m2

解析:M棒向右运动后，穿过M、N棒与导轨组成的闭合回路中的磁通

量减小，根据楞次定律可得回路内产生顺时针方向的电流(俯视)，A正

确;两棒最后匀速时，电路中无电流，即BLM=BL2V2,解得V2=2VI,选取

水平向右为正方向,对M、N棒分别利用动量定理可得,对N棒