对坐标的曲线积分课件

机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则机动目录上页下页返回结束积分的一个特征.说明:1.第二类曲线积分与积分曲线方向有关,

这是第二

机动目录上页下页返回结束类曲线积分的一个重要特征,也是区别与第一类曲线

2.若积分为闭路,这时对于每种情形,都要说明积分是沿什么方向.3.平面闭路只要方向不变,第二类曲线积分的值与起点无关.二、对坐标的曲线积分的计算定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:

下面先证其中机动目录上页下页返回结束分别对应于曲线L的起点A和终点B,对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理目录上页下页返回结束应与终点.注:1.计算公式中,积分上、下限的安排应与曲线积分

机动目录上页下页返回结束所沿的曲线方向相一致,即下限对应于起点,上限对

2.若空间曲线Γ有一段是与YZ平面平行的直线段,则在中沿该段直线的积分必等于0.例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为机动目录上页下页返回结束例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取

的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束切向量的指向与L的方向一致类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为

例6.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.机动目录上页下页返回结束2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束3.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束2.

设曲线