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2.2.3向量数乘运算及其

几何意义邢海1.向量加法三角形法则特点：首尾相接特点:同起点BAO特点：同起点，减向量终点指向被减向量终点2.向量加法平行四边形法则3.向量减法三角形法则复习回顾:情景导入在物理中：位移与速度的关系：S=vt，力与加速度的关系：F=ma.

其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量OAPB问:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a与方向相同一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了λa|λ|aa1.向量数乘的定义:=探究2设为实数，那么特别的，我们有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有2.向量的数乘运算满足如下运算律：例1.计算：解:二.例题讲解探究三:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。

1.对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。

2.若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且3.向量共线定理：思考:为什么要是非零向量?这样会导致问题2中，若=

，则当

=

时

不唯一；当

时

。

例题2:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴

A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA

=a+3b-(a+b)=2b

=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，例题3:AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC

=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断AC与AE是否共线?思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？分析：

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线

3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD一、①λa

的定义及运算律②向量共线定理

b=λa

向量a与b共线课堂小结:

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