高一数学新人教版(A版) 必修第1册：函数模型的应用(2)-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA039学科数学年级高一学期第一学期

课题函数模型的应用（2）

书名：高中数学人教A版必修一

教科书

出版社：人们教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师姚未然北京市一七一中学教育集团

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.了解各函数模型的的特点，能根据实际问题的需求，合理选择函数模型解决实际问题；

2.准确把握用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程；

3.在实际问题的解决过程中，感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建

模的数学素养.

教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般

过程．

教学难点：如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．

教学过程

时间教学环节主要师生活动

回顾一下我们曾经用过的函数模型

(1)y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

(2)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

（一）温故(3)y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

2分钟

知新

y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且

(4)

a≠1)

(5)y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

师生活动：学生独立思考、讨论交流．

教师提问：我们一起回顾常见函数模型，而在实际问题中，有的

能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型

加以解决．

设计意图：通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，运用函

数模型分析解决实际问题．

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，

这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．

追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其

中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模

例题教学

14分钟

型吗？

（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标

准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？

（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表

现出的回报资金的增长差异有什么认识？

（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三

种方案的特点吗？

师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量

关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天

数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情

况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．

设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还

要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针

对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的

实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题

转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异

选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型

的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指

数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是

引导学生通过观察增加量体会指数函数y0.42x1（xN*）的

增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“指数增长”

“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，

为下一个问题埋下伏笔．

这里可以提示学生，用数表和图象分别呈现它们的变化趋势，

各有优势，数表准确，但对于趋势的刻画并不直观，而图象则可以直

观刻画出三者的变化趋势，但从图中并不能准确读出精确数据。让学

生学会在不同场景，不同需求下作出正确选择．

问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？关于三种

投资方案的选择，你应当如何判断？

追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方

案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？

师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量

（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可

以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报

的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导

学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2

的基础上，给出本题的完整解答．

指数增长用在收入上是好事，但如果是借钱还款的模式，后果不

堪设想，提醒学生警惕生活中的陷阱，例如“校园贷”、“套路贷”等

骗局，要学会用数学知识保护自己！

设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学

生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时

间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．

例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励

销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行

奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加

而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三

个奖励模型：，，x，其中哪个

y0.25xylog7x1y1.002

模型能符合公司的要求？

提示学生注意，题目的两个条件有选择的先验证，即不能超过

五万；要让学生从思想的角度给出判断和理由，因为这也是在处理实

际问题时必须要关注的一件事，先验证比较容易实现的，或者可以快

速筛选下去不符合条件的选项．

问题3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公

司的要求？

追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函

数模型有什么帮助？

（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断

函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过

观察作出初步的判断吗？

师生活动：教师可以在学生思考问题3的基础上，提出追问中的

问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，

引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．

设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对

性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问

题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；

追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判

断，从而实现将实际问题向函数模型转化．

问题4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？

在给出解答这个环节要注意方法的选择，有的可以通过直接计算

得出结论，有的则需借助趋势判断，有的借助计算工具完成估算，要

注意这里的细节处理．

特别是第二个条件的验证，中间包含了很多数学问题的等价转化

策略，如何利用函数性质和信息技术配合论证等，这些对于处理复杂

的实际问题都有指导意义，注意挖掘．

追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？

（2）能否给出本题的解答过程？

师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问

题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图

象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．

设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质

选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出

判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运

用函数观点分析问题．

为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出

1．Q0

了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运

输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是

______________．

（三）课

5分钟堂练习

②

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：

电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存

车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()

A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)

C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)

C

3．若等腰三角形的周长为