高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：双曲线及其标准方程-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA038学科数学年级高二学期

课题双曲线及其标准方程

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（A版）

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师陈凤飞北京一七一中学教育集团

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标

（1）能通过建立适当的坐标系，根据双曲线上的点满足的几何条件列出双曲线上的点

的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到双曲线的标准方程，发展直观想象、数学运算

素养．

（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方

法的运用，提高学生的观察与探究能力；

教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导。

教学过程

时教学

主要师生活动

间环节

双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经

验，节课我采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1）以类

比思维作为教学的主线（2）以自主探究作为学生的学习方法

采用多媒体辅助教学。体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给

学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。

一、知识引入

椭圆、双曲线都是平面截圆锥所得，由于截面与圆锥对称轴的角度不同，

它们的形状存在差异。我们想，这两类图形存在某种联系.

一、我们首先复习一下椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

知

识师生活动：打开几何画板，我们回顾椭圆的生成过程.然后改变图中的条件，调

引整，使得为常数，动画生成一种新的曲线.

入

12

5（�在�动画的过�程�中，−请�同�学们不仅要观察生成的曲线，还要观察第一象限的各

分个参数值的变化，追问学生，这个常数有什么要求？）

钟

我们称该曲线为双曲线.双曲线的��定1义−其�实�就2是动点满足的关系式。

问题1双曲线定义是什么？

平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于)

的点的轨迹叫做双曲线�1.这�两2个定点叫做双曲线的焦点，|�1�2|

两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

二、定义辨析

追问1：类比椭圆，双曲线定义中哪些关键字？

师生活动：引导学生用类比的方法发现定义中的关键词

追问2：若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？

2.1、平面内到两个定点的距离之差等于常数小于的点的轨迹是什么？

2.2、平面内到两个定点的距离之差的绝对值为,常数|�1等�2于|的点的轨迹是

什么？,|�1�2|

2.3、平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数大于的点的轨迹是

什么？,|�1�2|

2.4、平面内到两个定点的距离之差为0的点的轨迹是什么？

三、标准方程的推导

问题2回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法，能否类比椭圆试着推导双曲线的

标准方程？

师生活动：通过类比椭圆标准方程的研究过程与方法，研究双曲线的方程．

追问1：如何建立适当的平面直角坐标系？

师生活动：观察发现双曲线具有对称性，与求椭圆方程的建系过程完全类似，

建立以点F1和F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴的平面直角坐标

二

系．教学中应再次强调，把握所研究的几何对象的基本特征（如对称性、

定��

特殊点等），对于合理建立坐标系、简化代数运算、得出特征明显的代数方程等

义���

辨等都是非常重要的．

析追问2：如何写出曲线上的点M所满足条件的集合？

师生活动：求曲线方程的实质是要找到曲线上的点所满足的条件．一般情况下，

可以由确定曲线的几何条件得到．根据双曲线的定义，双曲线上的点M满足条

5件的集合是，．

PMMF1MF22a02aF1F2

分

钟让学生类比椭圆标准方程的建立过程，认识把两个定点之间的距离设为

2a，可以为运算带来方便，并且使标准方程的表达式简洁．教学时还应让学生

认识它的几何意义，以及它与椭圆长轴长的区别．

追问3：如何根据点M的坐标满足的条件的集合写出方程f(x,y)0？

师生活动：将，中的等式解析化，也

PMMF1MF22a02aF1F2

就是用坐标表示集合中的等式，可以得到关于x,y的方程

(xc)2y2(xc)2y22a，记为f(x,y)0．

坐标法的基础是建立平面直角坐标系，然后由集合P得到方程f(x,y)0，

把几何条件代数化，从而获得方程．

追问4：如何化简方程？

师生活动：为了用方程研究曲线的性质，需要化简方程．将

�(�,�)=0f(x,y)0f(x,y)0

等价变形为(xc)2y2(xc)2y22a，然后类比椭圆标准方程的化简

过程：

(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=±2a

\（(x+c)2+y2）2=（(x-c)2+y2±2a）2

\cx-a2=-a(x-c)2+y2

\(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)

222

令c=a+b，代入化简得：（强调优化结构）

22

5x-y=>>

221(a0,b0)

分ab

三、

钟从上述过程可以看到，双曲线上的任意一点的坐标都是上述方程的解，反

标准过来，以上述方程的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为

方程2,即以上述方程的解为坐标的点都在双曲线上，所以上述方程是双曲线的标准

方程。

的推�

导

追问5：焦点在y轴上的双曲线标准方程？

师生活动：得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程后，让学生类比回答焦点在y

轴上的双曲线的标准方程是什么．当学生类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，

y2x2x2y2

回答1（a＞0，b＞0）后，可通过如下两个方面对1，

a2b2a2b2

y2x2

1（a＞0，b＞0）进行比较：一是两个焦点的位置（在轴上还是在y

a2b2

轴上）与负号的位置，二是方程中x,y与a,b的对应位置，要使他�们认识到：若

x2项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上；若y2项的系数是正数，则双曲

线的焦点在y轴上．对于双曲线，要强调a不一定大于b，因此不能像椭圆那

样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上．

四、

例四、例题

题例1设双曲线的两个焦点分别为双曲线上一点与，的距离差

分

1212

析的绝对值等于6，求双曲线标准方程�.(−5,0),�(5,0),���

解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

x2y2�

-=1(a>0,b>0)

a2b2

由，，得，，

因此2�，=102�=6=16.�=5�=3

222

所以，双�曲=线5得−标3准方程为

3

x2y2

分-=1.

916

钟

例2已知，两地相距800m，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2s，且声速为340m/s，

求炮弹爆炸�点�的轨迹方程．��

分析：双曲线的应用。

解：由题意，PA-PB=2´340

所以，点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支。

���

\2a=680,\a=340

|AB|=800,\2c=800,c=400,\b2=c2-a2=44400

|PA|-|PB|=680<800